第三节-系统的传递函数

第二章

系统的数学模型第三节

传递函数

一、传递函数的定义1.定义传递函数是线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

设线性定常系统的微分方程为：

2.关于传递函数的几点说明传递函数是在拉氏变换的基础上导出的，而拉氏变换是一种线性积分变换，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。传递函数是描述系统动态特性的一种数学模型，但它是在系统工作在某个相对静止状态时得出的。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律。传递函数只表示输出量与输入量的关系，是一种函数关系。这种函数关系由系统的结构和参数所决定，与输入信号和输出信号无关。一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，所以只适用与单输入单输出系统的描述，而且系统内部的中间变量的变化情况，一个传递函数也无法全面反映。

⑤传递函数可以写成零极点表达式一般地，零点和极点可以为实数或复数。若为复数，必共轭成对地出现，这是因为系统结构参数均为正实数的缘故。把传递函数的零、极点表示在负平面上的图形，称为传递函数的零、极点分布图，如下图2-7所示。图中零点用”○”表示，极点用”╳”表示。图2-7

系统的零极点分布图

二、典型环节及其传递函数

在控制工程中，常常将具有某种确定信息传递关系的元件、元件组成或元件的一部分称为一个环节，经常遇到的环节则称为典型环节

1.比例环节

输出量以一定的比例复现输入量，不失真不滞后的环节，称为比例环节。图2-8数字运算放大器如图所示是齿轮传动副，T1为输入转矩，T2为输出转矩。

2.惯性环节输出量与输入量之间能用一阶线性微分方程描述的环节称为惯性环节。其特点是存在储能元件和耗能元件，在阶跃状态下，输出不能立即达到稳态值。故它的输出量的变化落后于输入量。图2-10RC电路图2-11机械转动系统

3.积分环节输出量与输入量的积分成比例的环节，称为积分环节。其显著特点是输出量取决输入量对时间的积累过程。输入量作用一段时间后，即使输入量消失为零，输出量仍将保持在已达到的数值，故积分环节有记忆功能。

例2-13

如图所示的液压缸，如果以流量q为输入量，以活塞的位移x为输入量，并忽略液压缸的泄漏及缸体和油液的弹性。

4.微分环节输出量与输入量的微分成比例的环节，称为微分环节。

当输入量为单位阶跃信号时，输出量就是脉冲函数，这在实际中是不可能的。因此，理想的微分环节不能实现，在实际中用来执行微分作用的都是近似的，称为实际微分环节，其传递函数具有如下形式：图2-14无源微分电路这个电路的传递函数是微分环节的传递函数与惯性环节的传递函数相乘，所以，实际的微分环节都是具有惯性的。当这个电路的TD=RC<<1时，可近似得到理想微分环节，即G(s)≈TDs。

例2-15

如图2-15所示，在工程中测量转速的测速发电机实质上是一台直流发电机。图2-15测速发电机

5.一阶微分环节和二阶微分环节

一阶微分环节和二阶微分环节的微分方程分别为：

相应的传递函数分别为：

与微分环节一样，一阶微分环节和二阶微分环节在物理系统中也不会单独出现，在其组成中必然包含有惯性环节或振荡环节。系统中引入一阶微分环节和二阶微分环节主要是用于改善系统的动态品质。

例2-16如图2-16所示的无源RC电路，根据基尔霍夫定律和欧姆定律可求得其传递函数为:

可见，该电路的传递函数是由比例环节、一阶微分环节及惯性环节组成。

6.振荡环节

振荡环节包含两种储能元件，并且两种能量能够相互转换。因此，振荡环节的输出带有振荡的性质。

图2-1所示的机械移动系统和图2-3所示的RLC路，当0<ε<1时，其运动规律可用振荡环节描述。

图2-1机械移动系统

图2-3RLC电路

在机械移动系统中，两种储能元件是储存动能的质量m和储存势能的弹簧k。在RLC电路中，两种储能元件储存电场能的电容c和磁场能的电感L。

7.延迟环节延迟环节又称时滞环节、滞后环节等。

延迟环节与惯性环节的区别在于:惯性环节从输入开始时刻起就有输出，只是由于惯性，输出要滞后一段才接近于所要要求的输出值；延迟环节从输入开始之初并无输出，但t=之后，输出就完全等于输入，如图2-17所示。

图2-17延迟环节的输入-输出关系

a)输入信号b)输出信号

8.几点说明典型环节不是具体的元件，而是表示元件或系统运动特性的数学模型。在