2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.7.1简单几何体的侧面积学案含解析北师大版必修2

PAGE7简洁几何体的面积与体积7．1简洁几何体的侧面积考纲定位重难突破1.进一步相识柱体、锥体、台体及其简洁组合体的结构特征，了解它们的有关概念．2.记住柱体、锥体、台体的侧面积的计算公式．3.会利用柱体、锥体、台体的侧面积、表面积公式解决一些简洁几何体.重点：求简洁几何体的侧面积和表面积．难点：常与三视图、线面位置关系的证明结合命题．方法：函数与方程思想的应用.授课提示：对应学生用书第23页[自主梳理]一、圆柱、圆锥、圆台的侧面绽开图及侧面积公式几何体侧面绽开图的形态侧面积公式圆柱矩形S圆柱侧＝2πrl圆锥扇形S圆锥侧＝πrl圆台扇环S圆台侧＝π(r1＋r2)l其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆台的上、下底面半径．二、直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积几何体侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝ch正棱锥S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′正棱台S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′其中c′，c分别为上、下底面周长，h为高，h′为斜高．[双基自测]1．将一个边长为a的正方体切成的27个全等的小正方体，则表面积增加了()A．6a2 B．12C．18a2 D．24解析：边长为a的正方体的表面积为S1＝6a2，由边长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S2＝27×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))2))＝18a2，因此表面积增加了12a2，故选B项．答案：B2．已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为()A．6π B．8πC．9π D．10π解析：因为圆柱的表面积为2πr2＋2πrl，r＝1，l＝2，所以圆柱的表面积为6π.答案：A3．正六棱柱(底面是正六边形，各侧面是全等的矩形)的高为5cm，最长的对角线为13cm，则它的侧面积为________．解析：设正六棱柱的底面边长为a，则底面正六边形的最长对角线长为2a，∴52＋(2a)2＝132，a＝6，∴S正棱柱侧＝6ah＝180(cm2)．答案：180cm24．圆柱的轴截面面积为S，则圆柱的侧面积为________．解析：设圆柱底面半径为r，高为h，则2rh＝S，S侧＝2πrh＝πS.答案：πS5．正四棱柱的高为3cm，对角线长为eq\r(17)cm，则正四棱柱的侧面积为________cm2.解析：设底面边长为acm，则eq\r(\r(2)a2＋32)＝eq\r(17)，∴a＝2，∴S侧＝ch＝4×3×2＝24(cm2)．答案：24授课提示：对应学生用书第24页探究一旋转体的侧面积、表面积[典例1]圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比．[解析]如图，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r、R，圆锥母线长为l，则有eq\f(r,R)＝eq\f(R－r,R)，即eq\f(r,R)＝eq\f(1,2).∴R＝2r，l＝eq\r(2)R.∴eq\f(S圆柱表,S圆锥表)＝eq\f(2πr2＋2πr2,πR·\r(2)R＋πR2)＝eq\f(4πr2,4\r(2)πr2＋4πr2)＝eq\f(4πr2,4\r(2)＋1πr2)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.在解与旋转体有关的问题时，常常须要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题．1．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为______cm2，表面积为______cm2.解析：如图所示，∵轴截面是边长为4cm的等边三角形，∴OB＝2cm，PB＝4cm，∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π(cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π(cm2)．答案：8π12π探究二直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积[典例2]一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．48 B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17) D．80[解析]由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，所以该直四棱柱的表面积为：S＝2×eq\f(1,2)×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2eq\r(1＋16)×4＝48＋8eq\r(17).[答案]C1．正棱锥和正棱台的侧面分别是等腰三角形和等腰梯形，只要弄清相对应的元素求解很简洁．2．多面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和，对正棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形求解，对正棱台则须要构造直角梯形或等腰梯形求解．2．设正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的全面积．解析：设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′，如图所示，过O点作OE⊥AB，连接SE，则SE⊥AB，即SE＝h′.∵S侧＝2S底，∴eq\f(1,2)·3a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴OS2＋OE2＝SE2.∴32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)·\r(3)h′))2＝h′2，h′＝2eq\r(3).∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3).∴S侧＝2S底＝18eq\r(3).∴S全＝S侧＋S底＝9eq\r(3)＋18eq\r(3)＝27eq\r(3).探究三与表面积有关的综合问题[典例3]正四棱台两底面边长分别为3和9.(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．[解析](1)如图，设O1，O分别为上，下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1由题意知∠C1CO＝45°，CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝eq\f(\r(2),2)×(9－3)＝3eq\r(2).在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝3eq\r(2)，又EF＝CE·sin45°＝3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝3，∴斜高C1F＝eq\r(C1E2＋EF2)＝eq\r(3\r(2)2＋32)＝3eq\r(3).∴S侧＝eq\f(1,2)(4×3＋4×9)×3eq\r(3)＝72eq\r(3).(2)由题意知，S上底＋S下底＝32＋92＝90，∴eq\f(1,2)(4×3＋4×9)·h斜＝32＋92＝90.∴h斜＝eq\f(90×2,12＋36)＝eq\f(15,4).又EF＝eq\f(9－3,2)＝3，h＝eq\r(h\o\al(2,斜)－EF2)＝eq\f(9,4).解决该类问题，关键是正确找出几何体中相对应元素，把它们放在一个平面图形中，利用平面几何的学问解决．体现了空间问题平面化的思想．3．如图是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2千克，问须要油漆多少千克？(尺寸如图，单位：米，π取3.14，结果精确到0.01千克)解析：建筑物为一组合体，上面是底面半径为3米，母线长为5米的圆锥，下面是底面边长为3米，高为4米的正四棱柱．圆锥的表面积S表＝πr2＋πrl≈3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36.四棱柱的一个底面积S底＝32＝9，四棱柱的侧面积＝S侧＝4×4×3＝48.所以外壁面积S≈75.36－9＋48＝114.36(平方米)．故需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.88(千克)．答：共需约22.88千克油漆．函数思想在求几何风光 积最值中的应用[典例]在底面半径为R，高为h的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．[解析]如图，设圆柱的高为x，其底面半径为r，则eq\f(r,R)＝eq\f(h－x,h)，所以r＝eq\f(Rh－x,h).圆柱的侧面积S侧＝2πrx＝eq\f(2πR,h)·x(h－x)＝－eq\f(2πR,h)(x2－hx)＝－eq\f(2πR,h)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(h,2)))2－\f(h2,4)))＝－eq\f(2πR,h)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(h,2)))2＋eq\f(πhR,2).当x＝eq\f(h,2)时，S侧最大值＝eq\f(πhR,2)，即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为eq\f(h,2)，此时侧面积的最大值为eq\f(πhR,2).[感悟提高](1)在遇到旋转体的问题时，常常通过轴截面、侧面绽开图来解决问题，体现了“以面代体”．(2)几何体的面积最值问题常常利用函数思想求解，而几何体表面及截面长度最小值问题常转化为平面问题利用几何性质加以解决．[随堂训练]对应学生用书第25页1．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为()A．6B．12C．24D．48解析：∵正四棱锥的斜高h′＝eq\r(52－32)＝4，∴S侧＝4×eq\f(1,2)×6×4＝48.答案：D2．一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图都是腰长为5、底边长为8的等腰三角形，俯视图是边长为8的正方形，则此几何体的侧面积为()A．48 B．64C．80 D．120解析：依据几何体的三视图，可知该几何体是正四棱锥，其底面边长为8，斜高为5，则该几何体的侧面积为4×eq\f(1,2)×8×5＝80，故选C.答案：C3．若一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形，则该圆柱的表面积是()A．16πB．24πC．20π D．28π解析：由已知得圆柱的底面半径为2，高为4，于是侧面积为2π×2×4＝16π，一个底面面积为π×22＝4π，于是表面积S＝16π＋4π×2＝24π.答案：B4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．解析：设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，则l＝eq\f(1,