2023年中考数学真题解析8压轴题2(含答案)

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(2023年1月最最细)2023全国中考真题解析120考点汇编众

压轴题2

41.(2023黑龙江大庆，28,8分)二次函数：y=ax2-bx+b(a>0,b>o)图象顶点的纵坐

b

标不大于-

(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；

(2)假设该二次函数图象与x轴交于A,B两点，求线段AB长度的最小

值.考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质。

分析：(1)先求出y=ax2-bx+b(a>0,b>0)的顶点的纵坐标，依据题意得出枭3,

即可得出该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；

(2)设/(X),0),B(x2，0)(Xj<x2),则\、x2是方程ax?-bx+b=O的两根，由求根

公式得出X]、X2,依据4B=|X2・X]|求出线段A8长度的最小值.

4ab-d2

解答：解：(1)由于y=ax2-bx+b(a>0,b>0)图象的顶点的纵坐标为4a

4ab-ft2bb

则4aW-9得无胫3,

・•・该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围是不小于3：

(2)设力(xr0),B(x2，0)(Xj<x2)

则方程ax?-bx+b=0的两根，

b-|b2-4abb+jb2-4ab

得X尸—F-----，X2=-F---------，

从而AB=lx2-xtl=.4ab

a

rbF

(_)2-4--

Vaa

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b

由（1）知会6・

bb

由于当56时，随着K的增大，J（£-2”-4也随着增大，

所以%时，线段AB长度的最小值为2，3

点评：此题是一道综合性的题目，考察了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的性质，

是中考压轴题，难度较大.

42.（2023•郴州）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0,1）和（1,0）,

P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m,1-m）（m为常数）.

（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式：

（2）当P点在线段AB上移动时，过（）、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动

而转变；

11

（3）当P移动到点（7，刃时，请你在过0、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使

每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标.

考点：二次函数综合题。

分析：（1）设出抛物线的解析式，依据抛物线经过原点，B点，P点可列出方程求出a,b

的值确定解析式；

（2）求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变；

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(3)可作出对称轴与x轴的交点为K,过K点作PB的垂直平分线，交抛物线于两点，这

两点就符合要求.

解答：解(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

由于抛物线过原点O(0,0).所以c=0.

aXl2+dXl=0

axm2+bxm=l-m

所以y=-奇2+正x；

1i

(2j由(1)可知抛物线的对称轴是x=--~~丁1、-至

所以它不会随P的移动而转变；

(3)点O(0,0)可满足.

设抛物线的对称轴与x轴交于K,过K作PB的垂直平分线交抛物线于Q1,Q2两点，则

oQ|PB,z\Q2PB是等腰三角

形.由于P点的坐标是(2,2).

所以Q&的解析式是：产x-；,抛物线的解析式为：y=-2X2+2X.

、弓+1,VST1-v5、片+1

所以直线和抛物线的交点Qi，Q2两点的坐标是(―5—,—4—),(—4—,--4").

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点评：此题考察二次函数的综合运用，其中考察了通过坐标来确定二次函数式，求抛物线的对

称轴，以及依据等腰三角形的性质求出坐标.

43.（2023湘西州）如图,抛物线y=-x2-2x+3与x轴相交于点A和点B,与y轴交于点

C.

（1）求点A、点B和点C的坐标.

（2）求直线AC的解析式.

（3）设点M是其次象限内抛物线上的一点，且SAMAB=6,求点M的坐标.

（4）假设点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动（不与B,A重合），同时,

点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动.设运动的时间为t秒，恳求

出^APQ的面积S与I的函数关系式，并求出当I为何值时，△APQ的面积最大，最大面

积是多少？

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考点：二次函数综合题。

专题：综合题。

W：(1)令y=()求得抛物线与横轴的交点坐标，令x=0求得图象与y轴的交点坐标即可.

(2)利用的两点的坐标依据待定系数法求得•次函数的解析式即可.

(3)设出点M的坐标为(x,-X2-2X+3),然后表示出其面积

5C~x2-2x+3?X4=6,解得即可.

(4)证明△BNPs/XBEO,由令y=0求出点E的坐标，利用线段比求出NP,BE的长.求出

S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值.

解容(1)令-x?-2x+3=0,(x+3)(x-I)=0»X|=-3,x2=l,

A(-3,0)B.(1,0),C(0,3)；

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,

由题意，得"3k+h=0解之得依一+3；

(3)设M点的坐标为(x,-x2-2x+3),

AB=4,由于M在其次象限，所以-X2-2X+3>0,

所以;2

6-X-2x+3?X4=6,

解之，得X]=0,x2=-2,

当x=0时，y=3,(不合题意)

当x=-2时，y=3.所以M点的坐标为(-2,3)；

(4)由题意，得AB=4,PB=4-t,

VAO=3,CO=3,

•••△ABC是等腰直角三角形，AQ=2t,

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所以Q点的纵坐标为‘2t

s=jXV2tX—¥俨+2V2t11<t<4)

・S=栏e-41+4-4)--(t-2)+2V2,

2

••・当t=2时，△APQ最大，最大面积是2&.

点评：此题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大学问点有抛物线的顶点公式和三角形的面

积求法.在求有关动点问题时要留意分析题意分状况争论结果.

44（2023西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在其次象限，斜靠

在两坐标轴上，点C为（-1,0）.如F图，B点在抛物线尸我以・2图象上，过点B作

BD_Lx轴，垂足为D,且B点横坐标为-3.

(1)求证：△BDCgACOA；

（2）求BC所在直线的函数关系式;

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P,使^ACP是以AC为直角边的直角三角形？假设存在,

求出全部点P的坐标；假设不存在，请说明理由.

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考点：二次函数综合题。

W：(1)首先依据题意推出NBCD=NOAC,然后BC=AC,依据全等三角形的判定定理

“AAS淀理，即可判定^BDC^ACOA；

(2)首先(1)所得的结论，即可推出OC=BD=1,即可得B点的纵坐标，设出直线的函数

关系式，把B,C两点的坐标代入，求出k、b,即可推出结论；

(3)首先依据二次函数表达式，求出抛物线的对称轴，然后分状况进展分析①以AC为直

角边，A点为直角顶点，依据题意推出Pi点为BC与抛物线的对称轴的交点，依据直线BC

的解析式和抛物线的解析式，即可推出P1点的坐标，②以AC为直角边，C点为直角顶点，

做AP2±BC,设与抛物线的对称轴交于P2点，确定点与的位置，由OA=CD,即可推出A

点的坐标，依据AP2〃BC,即可推出直线AP2的的解析式，结合抛物线对称轴的解析式，

即可推出P2的坐标.

解答：解(1)证明：VACB1BC,BD1CD,

AZBCD=ZACO=90°,ZACO+ZOAC=90°,

AZBCD=ZOAC,

:△ABC为等腰直角三角形，

/.BC=AC,

•・•在△BDC和^COA中

(ABDC=ACOA=9Q0

乙BCD=Z.OAC

BC=AC

/.△BDC^ACOA(AAS),

(2)VABDC^ACOA,

r.BD=CO,

・.・C点的坐标为(-1,oi,

/.BD=OC=1,

AB点的纵坐标为1,

IB点的横坐标为-3,

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・・・B点的坐标为(-3,11,

设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b,

-k+b=0

-3k+h=l

k=T

・•・解方程组得，；

「・直线BC所在直线的解析式为：y二-；x-

(3)存在，

;抛物线的解析式为：y=1x2+^x-2.

1.1

•・y=5x2+5x-2

11,17

=2(x+2)2-百，

.•・二次函数的对称轴为x=・；，

①假设以AC为直角边，C点为直角顶点，做CP|_LAC,

VBC±AC,

・・.P1点为直线BC与对称轴直线x=-；的交点，

•・,直线BC所在直线的解析式为：y=・方・),

11

X

2一2

1

2

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1

=2

••・解得，=1

3

・•・Pi点的坐标为(-J,-J)；

②假设以AC为直角边，A点为直角顶点，对称釉上有一点P2，使AP^LAC,

••・过点A作AP2〃BC,交对称轴直线x=-；于点P2，

VC)B=3,OC=1,

・・・0A=CD=2,

，A点的坐标为(0,2),

直线AP-,的解析式为y=-£+2,

1+2

2X

1

-

2

1

=-2

得

*解•9

=4

19

・62点的坐标为(-去一卬，

1119

，P点的坐标为Pi・卬、P2(・9・4)・

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点评：此题主要考察全等三角形的判定与性质，待定系数法求出抛物线的解析式，依据解析式

求点的坐标，关键在于(I)推出NBCD=NOAC,(2)依据(1)的结论，推出B点的坐标

13)留意分状况争论，①假设以AC为直角边，C点为直角顶点，推出P1点为直线BC

与对称轴直线x=-；的交点，②假设以AC为直角边，A点为直角顶点，由A点的坐标，求出

直线AP2的解析式.

45.(2023青海)一元二次方程x2-4x+3=O的两根是m.n且mVn.如图，假设抛物线y=

-x?+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(O»n).

(1)求抛物线的解析式.

(2)假设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C.依据图象答复，当x取何值时，抛物

线的图象在直线BC的上方？

(3)点P在线段OC上，作PEJ_x轴与抛物线交与点E,假设直线BC将4CPE的面积分

成相等的两局部，求点P的坐标.

考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；解一元二次方程•因式分解法；待定系数法求

一次函数解析式；抛物线与x轴的交点；三角形的面积。

专题：计算题。

分并(1)求出方程的解，得到B、A的坐标，代入抛物线得到方程组，求出方程组的解即

可；

(2)求出C的坐标，依据B、C的坐标求出即可：

(3)设直线BC交PE于F,P点坐标为(a,0),则E点坐标为(a,-a2-2a+3),依据三

角形的面积求出F的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b,把B、C的坐标代入求出直线

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BC,把F的坐标代入求出即可.

解答：解⑴・・・x2・4x+3=0的两个根为X[=l,X2=3,

•1A点的坐标为(1,0),B点的坐标为(0,3),

又•・•抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(1,0)、B(0,3)两点,

.-l+b+c=0^^b=-2

=3U=3

・•・抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,

答：抛物线的解析式是y=-x2-2x+3.

(2)解：作直线BC,

由(I)得，y=-x2-2x+3,

•••抛物线y=-x2-2x+3与x轴的另一个交点为C,令-x2-2x+3=0,

解得：Xj=l,x2=-3,

・・・C点的坐标为(-3,0i,

由图可知：当-3<xV0时，抛物线的图象在直线BC的上方，

答：当-3VxV()时，抛物线的图象在直线BC的上方.

(3)解：设直线BC交PE于F,P点坐标为(a,0),则E点坐标为(a,-a2-2a+3),

•・,直线BC将4CPE的面积分成相等的两局部，

・・・F是线段PE的中点，

・。2-2a+3

即F点的坐标是(a,5),

丁直线BC过点B[S3)和C(-3.0).

3=b

设直线的解析式是代入得:

BCy=kx+b,0=-3A+b'

k=1

b=3

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，直线BC的解析式为y=工+3,

•・•点F在直线BC上,

••・点F的坐标满足直线BC的解析式,

・Q2-2a+3

即=a+3

解得a|=-1,a2=-3（此时P点与点C重合，舍去）,

，P点的坐标是（7,0）,

点评：此题主要考察对用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与X轴的交点，解一

元二次方程，解二元一次方程组，三角形的面积等学问点的理解和把握，综合运用这些性质进展

计算是解此题的关键.

46.12023•湖南张家界，25,12）如图，抛物线y=ax?+bx经过点A（-4,0）、B（-2,2）,

连接OB、AB,

（1）求该抛物线的解析式.

（2）求证：△OAB是等腰直角三角形.

（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135。，得到△6VB。写出AB，的中点P的坐标,

试推断点P是否在此抛物线上.

（4）在抛物线上是否存在这样的点M,使得四边形ABOM成直角梯形，假设存在，恳求

出点M坐标及该直角梯形的面积，假设不存在，请说明理由.

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分析：(1)将A(-4,0\B(-2,2)代入抛物线解析式尸ax2+bx,列方程组求a、b的

值即可；

(2)依据所求抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，推断三角形的外形；

(3)依据△OAB的外形，旋转方向，旋转角，画出图形，可求A<B，的坐标，依据中点坐

标公式求P的坐标，代入抛物线解析式进展推断；

(4)存在.过点0,作0M〃AB交抛物线于点M,依据△0AB为等腰直角三角形，可求

直线OM的解析式，与抛物线解析式联立，可求M点坐标，同理，过点A,作AM//OB

交抛物线于点联立方程组可求的坐标，由图形的特别性可知，两种状况L梯形面

积相等，依据梯形面积公式求解.

解答：解(1)由A(-4,0)、B(-2,2)在抛物线y=ax2+bx图象上，

〔2=«(-2)2+-(-2)

解之得：a=-Lh=-2

2

1

，该函数解析式为：y=--x2-2x.(4^>)

2

(2)过点B作BC垂直于X轴，垂足是点C.(6分)

*.*y=y=~--V2-2x=-1]x+2)2+2,

22

••・线段CO、CA、CB的长度均为2,

「•△ABC和^OBC为全等的等腰直角三角形，

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.\AB=OB

且NABO=ZABC+ZOBC=9()°

•••△OAB是等腰直角三角形(8分)

(3)如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135。，得到△OA，B，

其中点正好落在y轴上且BW/7x轴.

又・・・OB，和AB，的长度为2JI,

AB，中点P的坐标为(、位-2金)，明显不满足抛物线方程，

・••点P不在此抛物线上(10分)

易求出直线OM的解析式为：y=x

y=x

联立抛物线解析式得：〈1

^=--x2-2x

解之得点M(-6,-6),

明显，点M(-6,-6)关于对称轴x=-2的对称点M1(2,-6)也满足要求,

故满足条件的点M共有两个，坐标分别为(-6,-6)和(2,-6)

十3=—x4x2+—x4x6=16(12分)

ABOMMBOMOM22

(注：此题方法较多，只要合理均可给分)

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点评：此题考察了二次函数的综合运用.关键是依据题意求抛物线解析式，依据解析式确定图

形的特别性.

47.(2023株洲,24,)孔明是一个宠爱探究钻研的同学，他在和同学们一起争论某条抛物线

y=ax2(a<0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点0,两

直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

(1)假设测得OA=OB/(如图1),求a的值：

(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BFlx轴

于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标-4；

(3)对该抛物线，孔明将二角板绕点O旋转任意角度时惊异地觉察，交点A、R的连线段

总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标.

考点：二次函数综合题。

专题：代数几何综合题；压釉题。

分析：(1)先求出B点坐标，代入抛物线y=ax2(a<0)得a的值；

(2)过点A作AE±x轴于点E,可证△AEO-AOFB,得出AE=2OE,可得方程点A的

横坐标.

2

(3)设A1-m,-l^](m>0),B(n,-1^2)(n>0),易知△AEOS^OFB,依据

22

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相像三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点(0,-2).

解答：解(I)设线段AB与y轴的交点为C,由抛物线的对称性可得C为AB中点,

VOA=OB=2-JT,ZAOB=90°,/.AC=OC=BC=2,AB(2,-2)(2分)

将B(2,-2)代入抛物线y=ax2(a<0)得,a=._0分)

(2)解法一：过点A作AEJ_x轴于点E,

I

•・•点B的横坐标为1,・・.B[1,-彳)，(4分)

1

ABF=-.又・・・/AOB=90°,易知/AOE=NOBF,

又NAEO=N()FB=9()。，AAEO^AOFB,

AUnp1

=2.AAE=2OE15分)

"OEBF1

2

1

__>2)贝

设点A(-m,(m>0),"OE=m,AE=­m2,

22

1

A_r7?2=2m,・・.m=4,即点A的横坐标为-4.(6分)

2

解法二：过点A作AE_Lx轴于点E,

1

•・•点B的横坐标为1,，B(1,(4分)

OF1

AtanZOBF="=1=2，

BFJ_

2

VZAOB=90°,易知NAOE=NOBF,

AE

：.--=tanZAOE=tanZOBF=2,AAE=2OE(5分)

OE

1

设点A(-m,错误！未找到引用源。)(m>0),则OE=m,AE=亍叱，

m=2m

2

・・・m=4,即点A的横坐标为-4.(6分)

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1

解法三：过点A作AEJ_x轴于点E,•・•点B的横坐标为1,AB（1,-,），（4分）

15

设A（-m,错误！未找到引用源。）则0B2=：+（,）2=不，

115

OA2=m2+—m4,AB2=（l+m）2+（-,+错误！未找到引用源。）2=—,

VZAOB=90°/.AB2=OA2+OB2,/.（l+m）2+（-未找到引用源。）2=（l+m）2+（-_+错

22

误！未找到引用源。凡

解得：m=4,即点A的横坐标为-4.（6分）

（3）解法一：设A（-m.错误！未找到引用源。）B（n,错误！未找到引用源。）

(n>0),

I1

I-mk+b=一一n?2

设直线AB的解析式为：y=kx+b,则｛2,(7分)

\nk+b=-1m

I2

(1)xn+(2)xm得,

(m+n)b=-5(m2n+mn2)

1

b=--mn,(8分)

・AEOE.0.5m?_m

又易知△AEO^AOFB，••=f•____________mn=4(9分)

~0F~BFn0.5〃2

-*=-2.1

♦•*b=B=--x4=-2.

由此可知不管k为何值，直线AB恒过点（0,-2）（10分）

（说明：写出定点C的坐苏就给2分）

1212

解法二：设A（・m,）（m>0）,B（n,一二门）2。）,

SAoc+S^BOU

直线AB与y轴的交点为C,依据S.AOB=SWBFE-AAOE

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可得

112111

22-・m•-.-n*-n2=-

2*<|n+|m?(m+n)22rn222

OC•m+^OC•n

1

化简，得OC=‘mn.(8分)

.AE—OE0.5m?—m,,、

又易知△AEOs/\OFB,:•郁一群,，一^-----:5，Amn=4(9分)

•••002为固定值.故直线AB恒过其与y轴的交点C[0,-2）（10分）

说明：mn的值也可以通过以下方法求得.

24224

由前可知，。/=m4-im,OB=n+-n

44

AB2=(m+n)2+C--m2+-n2?2,

22

由OA2+OB2=AB2,得

(m2+-m4?+(n2+-n4>=

44

,211.2

6n+n?x+(z--nr7+-TT2)

72

化简，得mn=4.

本答案仅供参考，假设有其他解法，请参照本评分标准评分.

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点评：此题着重考察了抛物线的对称性和相像三角形的判定和性质，第（3）问求出nm=4

是解题的关键，综合性较喉，有肯定的难度.

48.12023湖南湘潭市，26,10分）,AB是。。的直径，AB=8,点C在。O的半径

OA上运动，PC1AB,垂足为C,PC=5,PT为。O的切线，切点为T.

（1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；

（2）如图（2）,当C点运动到A点时，连接PO、BT,求证：PO〃BT；

理.专题：计算题.

分析：（1）连接OT,依据题意，由勾股定理可得出PT的长；

（2）连接OT,则OP平分劣弧AT,则NAOP=NB,从而证出结论；

（3）设PC交。0于点D,延长线交。。于点E,由相交线定理，可得出CD的长，再由切

割线定理川.得出y与x之间的关系式，进而求得y的最小值.

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解答：解：(1)连接0T

VPC=5,0T=4,

・••由勾股定理得，PT/PG-CT2=3；

(2)证明：连接OT,・・・PT,PC为。0的切线，

・・・OP平分劣弧AT,

/.ZPOA=ZPOT,

VZAOT=2ZB,

.\ZAOP=ZB,

・・・PO〃BT：

(3)设PC交。O于点D,延长线交。O于点E,

由相交线定埋，得CD2=AC・BC,

VAC=x,BC=8-x>

/.CD=Jx(8-x),

・••由切割线定理，得PT2=PD・PE,

VPT2=y,PC-5,

Ay=[5-Jx(8-x)][5+Vx(8-x)],

.*.y=25-x(8-x)=x2-8x+25,

100-64

・・・y最小F—=%

点评：此题是一•道综合题，考察了切线的性质、二次函数的最值以及勾股定理的内容，是中

考压轴题，难度较大.

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49.(2023湖南益阳,21,12分)如图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三

角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC//ED,N£4C=60。，AE=\.

(1)证明：△ABE丝ACBD；

(2)图中存在多对相像三角形，请你找出一对进展证明，并求出其相像比(不添加关心线，

不找全等的相像三角形)；

(3)小红觉察AM=MN=NC,请证明此结论：

(4)求线段BD的长.

考点：相像三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾

股定理；等腰梯形的性质.

专题：证明题.

分析：(1)由A是等力三角形，^AB=BC,ZBAC=ZBCA=60°t由四边形ACDE是等

腰梯形，得力E=CD,N4CO=/G4E=60。，利用“SAS”判定△

(2)存在.可利用AB//CD或AE//BC得出相像三角形；

ANAB11

(3)由(2)的结论得"—二一一二2,即CN=_4C,同理，得4M=-/C,可证/M=MN=NC；

CNCD33

(4)作。"_L。。交的延长线于凡在RsCD”中，由NC£>"=30。，CD=AE=\,可求

CF,DF,在RtZiBDF中，由勾股定理求

BD.解格(1)证明：是等边三角形，

：.AB=BC,NBAC=NBCA=60°.(1分)

丁四边形ACDE是等腰梯形，ZE/1C=6O°,

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：,AE=CD,ZACD=ZCAE=60°,

:.ZBAC+ZCAE=120°=ZBCA+ZACDt

即/A4E=NBCD（2分）

在△/BE和△BCD中，A3=BC,ZBAE=ZBCD,AE=CD,

•••△/BEg/XCBD（3分）

（2）存在.答案不唯一.如4

/BNs^CDN.证明：'：ZBAN=60°=ZDCN,

ZANB=ZDNC,

•••△ANBs/\CND.（5分）

AB2

其相像比为：:行=7=2：（6分）

ANAB

⑶由⑵得示=方=2，

11

ACN=-/1N=-/1C,（8分）

1

同理AAI=-AC,

・・・41仁MN=NC（9分）

(4)作DFLBC交8c的延长线于产,

VZBCD=120°,

AZDCF=60°.（1O分）

在RtACDF中，JZCDF=30°,

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I1

：.CF=-CD=

22

：.DF=（II分）

在Rt△皿™亍十

/N乙

：.BD=^BFi+DFz=J（-）2+（-^-）2=-7?.（12分）

点评：此题考察了相像三角形.全等三角形的判定与性质，特别三角形，等腰梯形的性质,

勾股定理的运用.关健是依据等边三角形，等腰梯形的特别性质得出平行线，构造直角三角形,

利用勾股定理解题.

50.（2023吉林长春，26,10分）如图，NC=9O。，点48在NC的两边上，CA=30,CB=20,

连接AB.点P从点B动身，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停顿.当

点、P与B.C两点不重合时，作PD工BC交AB于。，作OfJL/C于E,F为射线CB上

一点，且NCE尸=N4BC.设点P的运动时间为x（秒）.

（1）用含有x的代数式表示CE的长.

（2）求点F与点B重合时x的值.

（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠局部图形的面积为y

（平方单位）.求y与x之间的函数关系式.

（4）当x为某个值时，沿PD将以D.E.F.B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用

这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形.请直接写出全部符合上述条件的x

值.

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考点：相像三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质.

姗：(1)首先证明△ABCsADBPs^FEC,即可得出比例式进而得出表示CE的长；

(2)依据当点F与点B重合时，FC=BC,即可得出答案：

DO

⑶首先证明R必DOERRSCEF,得出=,即可得出y与x之间的函数关系式;

CE

DECF

(4)依据三角形边长相等得出答案.

解答：解(1)VPD1BC,DELAC,且NC=90。，

・•・四边形DECP为矩形,

：.DE=PC,DP=EC,

又,：/CEF:/ABC,

：.AARCsADRPsAFEC,

•FC—DP—AC

\*CA=30,CB=20,BP=4x,

FCDP_30

，'~EC~lx~20,

.••尸C=9x,DP=EC=6x.

(2)当点F与点8重合时，FC=BC,

：.FC;BC,

A9x=20,

20

解得：x=--,

y

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2020

(3)当仆<x<.时，

1jy

矩形DECP中DP//EC,

:.NDOE二/FEC,

DOEsRtxCEF,

DOCE

•_

••9

DEC%

DO6x

•_

**20-4x9x'

2

ADO=-(20-4x),

1121

AS=-DO-DE=-x-(20-4x)(20-4x)=-(20・4K)2；

o

20405

⑷F朽万一，产厂

A

E

点评：此题主要考察了相像三角形的判定与性质以及勾股定理和矩形的性质与判定，依据题

意得出△ABCsMBPsAFEC以及RSDOE^RtLCEF是解决问题的关键.

51.（2023•江西，25,10）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题

进展了探讨：

定义：假设一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角

形的内接正方形.

结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：

甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在_____.个、_______个、_____•个大小

不同的内接正方形.

乙同学：在直角三角膨中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.

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丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较

小.任务：（1）填充甲同学结论中的数据：

（2）乙同学的结果正确吗？假设不正确，请举出一个反例并通过计算赐予说明，假设正确,

请给出证明；

（3）请你结合（2）的判定，推想丙同学的结论是否正确，并证明.

考点：相像三角形的判定与性质；正方形的性质。

分析：（1）分别画一下即可得出答案；

（2）先推断，再举一个例子；例如：在RQABC中，ZB=90°,AB=BC=1,则AC=应.

（3）先推断，再举一个例子：设^ABC的三条边分别为a,b,c,不妨设a>b>c,三条

边上的对应高分别为％,hb，%,内接正方形的边长分别为xb，xc.

解答:解（1）1,2,3.（3分）

（2）乙同学的结果不正确.14分）

例如：在RSABC中，ZB=90°,AB=BC=1,则AC=£.

如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形.

设它的边长为a,则依题意可得：£=匕£,・・・QJ,

1I2

如图②，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形.

Cb

设它的边长为b,则依题意可得：牛=上一，・・・8=交・

V2y/23

2

Aa>b.（7分）

（3）丙同学的结论正确.

设△4BC的三条边分别为不妨设a>b>c，三条边上的对应高分别为人,h,h,内接正

abc

方形的边长分别为X,X,X.

abc

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依题意可得：立.=2二，，・・・x..同理X=」也-.

°ba+hb+ha+hb+ha+hb+h.

0bQbab

ab/

2Sz.瓦瓦）

一（布）（人0产厂—"

=2S；，•U-a）G-2S'

（a+h）（b+h）〔abj

1F八

又「b2Q,h<b,,（匕一Q）1-<0,

0Iab.I）

X<X，即X2<X2•

••・在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小（10

点评：此题是一道难度较大的题H,考察了相像三角形的判定和性质以及正方形的性质，举出

例子是解此题的关键.

52.（2023年江西省，25,10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设NBAC=。（0。＜。＜90。）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线

上.活动一：

如图甲所示，从点A1开头，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处相互垂直，AA2为

第1根小棒.

数学思考：

（I）小棒能无限摆下去叫？答：能［填”能”或”不能”）

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(2)设AA=AA=AA=1.

11223

①0=22.5度；

②假设记小棒分,/21[的长度为(n为正整数，如A[A宁A//a?，…)，求出此时a?，

a?的值，并直接写出an(用含n的式子表

示).活动二：

如图乙所示，从点A।开头，用等长的小棒依次向右摆放，其中A42为第1根小棒，且

AA=AA.

121

数学思考：

(3)假设已经向右摆放了3根小棒，则％=20,2。=3。,3O=401用含0的式子表示)；

(4)假设只能摆放4根小棒，求。的范围.

图甲

考点：相像三角形的判定与性质；一元一次不等式组的应用；平行线的判定与性质；勾股定

理；等腰直角三角形.

专题；规律型.

分析：(1)此题需先依据条件NBAC=0(00<G<90°)小棒两端分别落在两射线上，从而

推断出能连续摆下去.

(2)此题需先依据条件AA『A|A/A.,A-1,A,A±A得出A.,A.<和AA?的值，推断出

A1A,〃A°A八AA//AA,即可求出NA=NAA°A产NAA，A/N