第2课时平面向量的基本定理及坐标表示

第2课时平面向量基本定理及坐标表示编写：廖云波【回归教材】1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.向量与坐标的关系设eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标．3.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算设a=（x1，y1）b=（x2，y2）则a+b=(x1+x2，y1+y2)ab=(x1x2，y1y2)λa=(λx1，λy1)(2)向量的坐标求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2x1，y2y1)，

|AB|=(x4.向量平行与垂直的条件设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔x1y2x2y1=0.

a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0【典例讲练】题型一平面向量的基本定理及其应用【例11】下列各组向量中，不能作为平面的基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】根据基底的定义分别判断各个选项即可得出答案.【详解】解：对于A，因为两向量不共线，所以能作为一组基底；对于B，因为，所以，所以两向量不能作为一组基底；对于C，因为两向量不共线，所以能作为一组基底；对于D，因为两向量不共线，所以能作为一组基底.故选：B．【例12】已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】建立直角坐标系，用坐标表示出、和，并设，联立方程组求出和即可.【详解】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则，，，设向量，则，所以.故选：A【例13】半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则______.

【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，由，，可得．由，可得，又，，利用向量相等可得出，，进而得解．【详解】建立直角坐标系，如图所示，，，，即，，即，，解得．．故答案为：归纳总结：【练习11】若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可.【详解】不共线的向量能作为基底，因为，所以向量，共线，故排除A；假设，解得，无解，所以向量，不共线，故B正确；因为，所以，共线，故排除C；因为，所以，共线，故排除D，故选：B【练习12】如图，平面四边形ABCD中，，，，，，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】法一：构建以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴的直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求x、y即可求值；法二：过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，利用向量加法的平行四边形法则可得求x、y，进而求值；法三：应用转化法，结合平面向量数量积的运算律、及已知条件构建方程求x、y即可.【详解】法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，由，，则且，又，，即，∴，由，有，解得，故.法二：如图，过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，∴.由，及，易知：B是线段AE的中点，于是.由，，得，易知，，∴，则，故，于是，又，∴，即.法三：设，由，，得，，由，得，又，则.又，，∴，于是，故.故选：B.【练习13】已知点，，是函数，图象上的动点，若，则的最大值为______.【答案】##【解析】【分析】由题可得，然后利用向量的坐标关系可得，然后利用函数单调性即得.【详解】由题可知，又，，，∴，∴，即∴，当时，函数与为增函数，所以在为增函数∴的最大值为.故答案为：.题型二平面向量坐标的基本运算【例21】在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，（1，4），若点满足.则点的坐标为_____．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，解方程组即可求解.【详解】设，则，，因，所以，解得，因此点的坐标为.故答案为：.【例22】已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为______．【答案】【解析】【分析】设，根据即可求出P的坐标.【详解】由题可知，设，则，，，∴.故答案为：.归纳总结：【练习21】已知向量，，，若，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】【分析】利用向量的坐标运算列方程求解，即可.【详解】解：由，所以，，解得，，所以，故选：A．【练习22】已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为___________.【答案】或【解析】【分析】分点在线段的反向延长线、点在线段上以及点在线段的延长线上三种情况，结合平面向量的线性坐标运算即可求出结果.【详解】若点在线段的反向延长线上，又因为，则有，设，则，所以，解得，即；若点在线段上，又因为，则有设，则，所以，解得，即；若点在线段的延长线上，又因为，则显然不成立；故答案为:或.题型三平面向量平行与垂直的坐标表示【例31】已知向量，，当为何值时，(1)与垂直？(2)与平行？平行时它们是同向还是反向？(3)若，，且A、B、C三点共线，求实数的值．【答案】(1)(2)，反向(3)【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示，列方程后解出的值(1)向量，，∴，∵，∴∴，解得，∴当时，与垂直；(2)若与平行，则，解之得，这时，它们是反向．(3)∵A、B、C三点共线，∴，∴存在实数，使得，又与不共线，∴，∴．归纳总结：【练习31】设x，，向量，，，且，，则（

）A． B．1 C．2 D．0【答案】D【解析】【分析】由题知，进而解方程即可得答案.【详解】解：因为向量，，，且，，所以，解得，所以.故选：D【练习32】已知向量，，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据，可得，再利用同角之间的公式化简，代入即可得解.【详解】因为向量，，，即故选：A【完成课时作业（三十三）】

【课时作业（三十三）】A组础题巩固1．下列各组向量中，可以用来表示向量的是（

）A．B．C．，D．【答案】D【解析】【分析】在平面向量中能作为基底的充分必要条件是一组不平行的非零向量，按照这个条件逐项分析即可.【详解】对于A，是零向量，不可以；对于B，，是平行向量，不可以；对于C，，是平行向量，不可以；对于D，不存在实数使得成立，是一组不平行的非零向量，可以；故选：D.2．已知向量，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.【详解】解：因为，，，所以，又，所以，解得.故选：B3．在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．4．如图，在正方形网格中，向量，满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由向量加减法运算法则，得到所求向量为，再由向量减法的三角形法则，以及向量数乘运算，计算答案.【详解】由题意得，故选：C.5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，若，则角B的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据向量平行列方程，结合正弦定理求得正确答案.【详解】由于，所以，由正弦定理得，，，，由于，所以，所以，由于，所以.故选：B6．正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（

）A．线段 B．直线 C．射线 D．圆【答案】D【解析】【分析】可以利用平面向量数量积的运算性质得，即，来确定动点C的轨迹；或者可以利用三角形的特点合理建系，结合向量的坐标运算，设动点C的坐标，利用已知条件计算轨迹方程，来确定C的轨迹.【详解】解：方法一：由题可知：，又所以，即所以点C的轨迹是圆.方法二：由题可知：，如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，所以设，又所以整理得：所以点C的轨迹是圆.故选：D.7．已知向量，若，则__________．【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．8．已知三点、、在一条直线上，点，，且，则点的坐标为______.【答案】；【解析】先设点，再结合向量相等的坐标表示求解即可.【详解】解：设点，由，，则，，又，则，解得，即，故答案为：.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，重点考查了向量相等的坐标表示，属基础题.9．已知两点M（7，8），N（1，－6），P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．【答案】【解析】【分析】利用向量的坐标运算即得.【详解】由题意可得，设P（x，y），则（－6，－14）＝3（x－7，y－8），∴，解得即.故答案为：.10．如图，在平面直角坐标系中，，，．(1)求点B的坐标；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可；（2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可(1)由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为(2)由题意，，又，故，且不共线，故11．已知，(1)当为何值时，与共线；(2)若直角三角形中，为直角，，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式和性质进行求解即可.(1)因为，所以，，当与共线时，有；(2)因为，所以，因为为直角，所以.B组挑战自我1．在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为，因为，所以有，，设，，因此有因为，所以有，而，所以，当时，xy有最大值，当，或时，xy有最小值，故选：B【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.2．如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】建立直角坐标系，设，可表示出点的坐标，根据向量相等的坐标表示，可以用角分别表示出，进而根据三角函数求最值.【详解】依题意，以为原点，以分别为轴，建立直角坐标系，如图，设，则，，，，，，，其中，，当且仅当时取等号，的最大值是.故选：A.3．在直角三角形中，在线段上，，则的最小值为___________.【答案】##【解析】【分析】由题可知，，，设，则，将模长和数量积代入由二次函数的性质求出最小值.【详解】由题可知，，，设，则则所