考点18复数7种常见考法归类-2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019)（原卷版）

考点18复数7种常见考法归类1、解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b；(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(3)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．所以解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．①复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=z;③z∈R⇔z2≥0.②复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+z=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0.2、复数的模设eq\o(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z＝a＋bi，则向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的长度叫做复数z＝a＋bi的模，|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)3、复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式4、复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为(1)当Δ≥0时，x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)；(2)当Δ<0时，x＝eq\f(－b±\r(－b2－4ac)i,2a).5、复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的（依然满足韦达定理）．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．6、在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.7、对复数几何意义的再理解(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up7(→))；(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．8、两个复数的差的模的几何意义两个复数的差的模的几何意义是∶复平面内与这两复数对应的两点之间的距离.即设复数在复平面内对应的点分别是，则=一般地，设复数对应的点分别是,则复数z对应的点Z的轨迹如下：①若，则为圆；②若，则为圆环，但不包括边界；③若，则为垂直平分线；考点一复数的有关概念（一）复数的实部与虚部（二）共轭复数（三）复数相等（四）复数分类考点二待定系数求复数考点三复数的模考点四复数的四则运算（一）复数的运算（二）复数范围内方程根的问题考点五复数的几何意义（一）与复数对应点(向量)有关的运算（二）复数对应点所在的象限（三）复数对应点的轨迹考点六复数的综合应用考点七复数的新定义问题考点一复数的有关概念（一）复数的实部与虚部1．（2023春·北京海淀·高一中央民族大学附属中学校考开学考试）若复数满足，则的虚部是（

）A．3 B．3 C． D．2．（2023春·河南安阳·高一安阳一中校联考阶段练习）若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（

）A．2 B． C．1 D．3．（2023·宁夏·六盘山高级中学校考一模）设复数满足，则复数的虚部是（

）A． B．5 C． D．4．（2023·辽宁·校联考一模）若是纯虚数，，则的实部为______.5．（2023春·上海宝山·高一统考阶段练习）设i为虚数单位，若复数，则z的实部与虚部的和为______．6．（2023春·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知复数的实部为，则的值为（

）A．2 B．4 C． D．（二）共轭复数7．（2023·全国·高一专题练习）设复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．8．（2023·四川巴中·统考一模）设复数满足，则（

）A． B．1 C． D．29．（2023·浙江·校联考三模）若，则（

）A． B． C． D．10．（2023·湖南张家界·统考二模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（三）复数相等11．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（

）A．3 B．4 C．5 D．712．（2023春·全国·高一专题练习）已知，则=（

）A．3 B． C． D．213．（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）若实数x，y满足，则（

）A． B．1 C．3 D．14．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）已知（，i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．15．（2023秋·河南驻马店·高一统考期末）已知a，b为实数，复数，若，则（

）A． B． C．1 D．2（四）复数分类16．（2023·高一单元测试）“”是“复数为纯虚数”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知复数，，若为纯虚数，则实数a的值为（

）A． B．1 C． D．218．（2023·高一单元测试）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为______.19．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考开学考试）已知复数，，且为纯虚数，则实数___________20．（2023·全国·高一专题练习）已知复数，．(1)若是实数，求的值．(2)若是纯虚数，求的值．21．（2023春·全国·高一专题练习）已知为虚数单位，若复数，则实数的值为__________．22．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习）设为实数，若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是（

）A． B． C． D．考点二待定系数求复数23．（2023·全国·高一专题练习）复数z满足：（

）A． B． C． D．24．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）若复数满足，则（

）A． B． C． D．25．（2023秋·全国·高一校联考阶段练习）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数为，且，则（

）A． B． C． D．26．（2023春·天津武清·高一天津市武清区杨村第一中学校考开学考试）已知复数z满足，则z的虚部为______.27．（2023春·全国·高一专题练习）满足的复数为______．28．（2023·全国·高一专题练习）已知复数是纯虚数，是实数，则（

）A．－ B． C．－2 D．2考点三复数的模29．（2023·陕西商洛·统考一模）若复数，则（

）A． B． C． D．30．（2023·陕西商洛·统考一模）若a与b均为实数，且，则（

）A．3 B．4 C．5 D．631．（2023·新疆·统考一模）设为虚数单位，且，则（

）A．1 B． C．2 D．32．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知复数，且，其中为实数，则（

）A． B． C． D．433．（2023·全国·高一专题练习）若复数满足，则（

）A． B． C．5 D．1734．（2023春·广东惠州·高一校考阶段练习）已知复数满足，则复数为（

）A． B． C． D．35．（2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（

）A． B．2 C． D．4考点四复数的四则运算（一）复数的运算36．（2023·全国·高一专题练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).(7)(8)37．（2023春·宁夏石嘴山·高一平罗中学校考阶段练习）已知是虚数单位，则（

）A． B． C． D．38．（2023·全国·高一专题练习）若,则（

）A． B．C． D．39．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．40．（2023·全国·高一专题练习）计算．(1)；(2)．(3)；(4)；(5).41．（2023·全国·高一专题练习）计算：(1)；(2)．(3)i＋2i2＋3i3＋…＋2020i2020＋2021i2021.（二）复数范围内方程根的问题42．（2023·高一课时练习）若关于x的方程无实根，则实数p的取值范围是______．43．（2023·全国·高一专题练习）若是实系数一元二次方程的一个根，则（

）A．， B．，C．， D．，44．（2023·河南·统考模拟预测）已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（

）A．0 B．1 C．2 D．445．（2023·高一课时练习）设关于x的实系数方程的两个虚根为、，则______．46．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二中校考开学考试）已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（

）A． B． C． D．47．【多选】（2023·高一单元测试）已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（

）A． B． C． D．若，则48．（2023·全国·校联考一模）已知是关于的方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点五复数的几何意义（一）与复数对应点（向量）有关的运算49．（2023春·天津和平·高一天津一中校考阶段练习）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则______.50．（2023·四川·校联考一模）已知复数在复平面对应的点分别是，则（

）A． B． C． D．51．（2023秋·广东·高一统考期末）如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，且复数，若复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（

）A． B． C． D．52．（2023·高一单元测试）复平面上给定四个点可以构成一个平行四边形，其中四个点对应的复数分别为，，，则______．53．（2023·全国·高一专题练习）已知复数在复平面上对应的点是一个正方形的3个项点，则这个正方形的第4个顶点所对应的复数（

）A． B． C． D．54．（2023·高一课时练习）设，，复数和在复平面内对应点分别为A、B，O为原点，则△AOB的面积为______．（二）复数对应点所在的象限55．（2023春·安徽安庆·高一校考阶段练习）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限56．（2023春·全国·高一专题练习）若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限57．（2023·全国·高一专题练习）已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限58．（2023·全国·高一专题练习）已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限59．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）若复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．60．（2023·全国·模拟预测）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．（三）复数对应点的轨迹61．（2023·高一单元测试）设且，满足，则的取值范围为________________．62．（2023春·广西柳州·高一统考阶段练习）已知,且,i为虚数单位,则的最大值是_______．63．（2023·高一单元测试）若，则的最大值与最小值的和为___________.64．（2023·全国·高一专题练习）复平面上复数满足，则复数对应的点的轨迹是（

）．A．抛物线 B．直线 C．线段 D．圆65．（2023秋·广东广州·高一广东实验中学校考期末）设复数满足，则在复平面上对应的图形是66．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则（

）A．当时，必有B．复平面内复数所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆C．D．考点六复数的综合应用67．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（

）A．B．C．若，则D．若，则68．【多选】（2023·高一单元测试）设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（

）A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限C． D．69．【多选】（2023春·安徽·高一校联考开学考试）若复数，，则下列说法正确的是（

）．A．B．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限C．的实部为13D．的虚部为70．【多选】（2023·广东惠州