2023年中考第二次模拟考试卷：数学（湖南长沙卷）（解析版）

2023年中考数学第二次模拟考试卷

数学•全解全析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的）

12345678910

BCBCDAADBC

1.B

【分析】利用最简二次根式定义：（I）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

判断即可.

【详解】解：A、原式=3而，不符合题意；

B、原式为最简二次根式，符合题意；

C、原式二？工5^，不符合题意；

D、原式=等，不符合题意.

故选：B.

【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键.

2.C

【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案.

【详解】由几何体可知，该几何体的左视图为：

故选：C.

【点睛】本题考查三视图的画法：用到的知识点为：三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面

图形：注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示.

3.B

【分析】科学记数法的表示形式为4X10”的形式，其中1工忖＜1°，〃为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成“时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃是正数;

当原数的绝对值<1时，〃是负数.

【详解】解：将数2720000用科学记数法表示为2.72x106.

故选:B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中1<H<10,〃为

整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

4.C

【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行判断即可.

【详解】A、在YA8CO中，AB二CD,ABCD,

・•・ZABE=NCDF,

'：BE=DF,

AI3E^CDF(S\S)；

B、在YABCO中，AB=CD,ABJCD,

・•・"BE=NCDF,

AEfCFf

:.ZAEF=NEFC,

/.Z6=Z5,

△A8E经△CDP(AAS)；

C、不能证明；

D、在YA8c。中，AB=CD,ABCD,

，公BE=4CDF,

,/ZI=Z2,

...△A^E^ACDF(ASA)；

故选：C.

【点睛】本题考杳了平行四边形的性质以及全等三角形的判定笔知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是

解题的关键.

5.D

【分析】根据众数和中位数的定义进行解答即可.

【详解】解；将全班41名同学的成绩中出现次数最多的是76分，因此众数为76,将全班41名同学的成绩

从小到大进行排序，排在第21位的是80分，因此中位数为80,故D正确.

故选:D.

【点睛】本题主要考杳了求一组数据的中位数和众数，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义，中位

数是将•组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这

组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数值.

6.A

【分析】先根据垂直的条件可计算出NAOC=70。，再根据圆周角定理得到乙$C=35。，然后利月OB=OC得

至=即可.

【详解】解：VZDCO=20°,

・•・ZZ）CO+ZAOC=90o,

，ZAOC=90°-Z£）CO=70°,

JZABC=-ZAOC=-x700=35。，

22

VOB=OC,

Z/?C（9=ZA/?C=35°.

故选:A.

【点睛】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的一半.也考查了等边对等角，直角三角形两锐角互余.掌握圆周角定理是解题的关键.

7.A

【分析】观察图象得：y=f+〃与y轴交于负半轴，反比例函数位于第一、三象限内，可得〃<0,-k<0,

即可求解.

【详解】解：观察图象得：y=T+〃与y轴交于负半轴，反比例函数位于第一、三象限内，

/.b<0,k>0,

A-k<0,

・•・函数），=云-2的图象经过第二、三、四象限.

故选：A

【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键.

8.D

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到乙4。8=20。，再利用垂径

定理得到弧相等进而得到平行线，利用两点之间线段最短可知D项错误.

【详解】解：由作法得：MC=CD=DN,OM=ON=OC=OD,

:•命=&>=而，

，/COM=/COD=ADON,

，A选项的结论正确；

'：OM=MN,OM=ON,

・•・△MON是等边三角形，

/.//WON=60。，

・•・NAOB=；/MON=20。，

・・・B选项的结论正确：

作半径OE_LCD,如图，

•**CE=DE'

：.OEYMN,

:.MN//CD,

・・・C选项的结论正确；

•••圆周角NMM）所对的弧为曲,圆心角ZMO/）所对的弧为而,

4MoD=2/MND,

；5OD>/COD,

・•・2ZMND>ZCOD,

・・・D选项错误：

故选：D.

【点睛】本题考查了尺规作图，圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握几何图形的基本作

法是解题的关键.

9.B

【分析】根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为(X+1)天，快马所需的

时间为(4-3)天，利用速度=路程+时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此

题得解.

【详解】解：规定时间为x天,

二慢马所需的时间为(x+1),快马所需时间为(x-3),

又快马的速度是慢马的2倍,

・・•可列出方程77Tx2=u，

故选:A.

【点睛】本题考查/由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题

的关键.

10.C

【分析】由平行四边形的性质得出48/CD,AD/8C,证出「仍叱屹〃石一人成〜FHG,线=空

EBCD

Af:RFAdRG

得出对应边成比例而=而'而=而’即可得出结论.

【详解】解：四边形A8CD是平行四边形,

AABfCD,AD〃BC,

EHDH

，一ABESQHE,、ABGS,FHG,—=—

EBCD

AEBEAGBG

EDEHFGGH

.・选项A、B、D正确，C错误;

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握

平行四边形的性质是解决问题的关键.

11.3(1)

【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式可进行求解.

【详解】解：原式=3(l-2x+f)=3(x-l『；

故答案为

【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

12.%2-1且不工2

【分析】根据题意可得x+120且工-2工0,求出x的取值范围艮1可.

【详解】解:•・・正亘有意义，

x-2

•••H+1Z0且X—2HO,

・W-1且xH2,

故答案为：xN—l且XH2.

【点睛】本题考查二次根式的有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题

的关键.

13.120。##120度

【分析】首先可求得圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，再利用弧长公式可求得圆锥的侧

面展开图中扇形的圆心角.

【详解】解：•••圆锥的底面半径为O8=2cm,

，圆锥的底面周长为4>rcm,

设扇形的圆心角为废，

解得〃=120,

故圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120。，

故答案为：120。.

【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，理解圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题关键.

14.a<\

【分析】若方程为一元二次方程，贝U有。工0,△=〃-44=4-4心()，求解，求解；若。=0,方程为一元

一次方程，判断2工+1=0有实数根，进而求解取值范围即可.

【详解】解：若方程为一元二次方程，则有。工0，△=从-4«=4-4〃20,

解得a41且aM0

若“=0,方程为一元一次方程，2x+l=0有实数根

故答案为：（1<\.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别，--元••次方程的根.解题的关键在于全面考虑。=0，。/0的情

况.

15.；##0.5

【分析】利用勾股定理逆定理得出/3C是直角三角形，再根据切线长定理求出圆的半径，分别求出三角形

和圆的面积即可.

【详解】解：vA^=10m,AC=8m,BC=6m,

:.AB2=l（X）nr,AC2=64m2,BC2=36m2,

/.AB2=AC2+BC2,

，ZC=90°,

如图设三角形内切圆为。O,与三边分别相切于点E、F、G,连接OE、OF.OG,

VAE=AG,BF=BG,CE=CF.

:.AE+BF=AG-^BG=AB=\O,

...CE+CF=AC+BD-（AE+f3F）=6+3-\0=4f

・•・2CF=4,

CF=2,

VACA-OE,BCrOF,

・•・AOEC=Z.OFC=ZC=90°,

・•・四边形。石c尸是矩形，

：・OE=CF=2,

S,M=；AC8C=24nf，圆的面积为12m

从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率为舞j

故答案为：

【点睛】本题考查了勾股定理逆定理和三角形内切圆，简单的概率公式，解题关键是利用切线长定理求出

三角形内切圆半径.

16.兔子

【详解】如果老虎说谎了，那么狐狸和兔子讲的是真话，推知狐狸第二，兔子第三，老虎第一，与老虎说

谎矛盾，所以老虎说的是真话.如果狐狸说谎了，那么老虎和兔子讲的是真话，推知老虎第一，狐狸第三,

兔子第二，与题意相符.如果兔子说谎了，那么兔子第一，与老虎说的是真话矛盾.

综上所述，说谎的是狐狸，得第二名的是兔子.

17.-3

【分析】分别根据绝对值的性质、零指数及负整数指数基的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，

再根据实数混合运算的法则进行计算即可.

【详解】解：原式=（_i）xl-夜x等（2-6）

=-1-V3+V3-2

=-3.

【点睛】本题考杳的是实数的运算，熟知绝对值的性质、零指数及负整数指数幕的运算法则、特殊角的三

角函数值是解题的关键.

【分析】根据分式的混合运算法则即可化简.再解方程，得出。的值，最后由分式有意义的条件确定。的值,

代人化简后的式子求值即可.

a2-2a+4Qa2+4«+4

【详解】解:a+2+----------

a-\------J\-a

a2-2a+4a(a-\)2(«-l)(a+2y

+米—;-----r

a-\---a-\-----67-1J

i?2-+4-a2+a+2a-2(〃+2y

a-\一（〃一1）

「+2二一(〃_1)

Q-](a+2)?

1

~~a+2'

解方程：a~-4a=-3>

a2-4。+4=—3+4,

(«-2)~=1,

a—2=±l,

解得：6=3,4=1.

,/a—1^0,。+2#0,

，〃工1,aw—2,

.*.«=3,

【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，分式有意义的条件.掌握分式的混合运算法则和解

一元二次方程的方法是解题关键.

19.（l）9m

（2）24m

【分析】（1）过点。作OE_L8C：交8C的延长线于点E,在RtVOCE中，可得

4

C£=CDcosa=15x-=12（m）,再利用勾股定理可求出OE,即可得出答案.

(2)过点。作_LA8于尸，设=在Rl-ADF中，/«»30°=—=—=—,解得。产=J5.J

DFDF3

在中，A8=(x+9)m,BC=(Gx-12)m,

360°=竟=，昔2="，求出工的值，即可得出

答案.

【详解】（I）解：过点。作DELBC,交BC的延长线于点E,

4

在RtVDCE中，cosa=—,CD=15m,

...CE=CDcosa=I5x—=12(m).

/.DE=>JCD2-CE2=V152-122=9(m).

答：C,。两点的高度差为9m.……3分

(2)过点。作_LA4于尸，

由题意可得BF=DE,DF=BE,

设=,

在RL.ADF中，ian/4D/=lan300=丝=上=立，

DFDF3

解得。尸=6x,

在RtZv\8C中，AB=AF+FB=AF+DE=(x+9)m,BC=BE-CE=DF-CE=^x-\2^m,

ABx+96

tan60==—j=-----=\J3>,

BC显72

解得X=6G+?,

L9.、

^=6V3+1+9*24(m).

答：居民楼的高度A8约为24m.……6分

【点睛】本题考杳解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解

答本题的关键.

20.⑴①200；②见解析；③54

(2)1120

(3)1

【分析】(1)①由4组的人数及其所占百分比可得样本容量；②由总人数减去除。组的人数即可得到C组

的人数；③用360。乘以C组人数所占比例即可；

(2)用3200乘以。组人数所占比例即可；

(3)根据题意列出树状图即可求解

【详解】(1)解：(1)©50-25%=200；……1分

®C组人数=200-30-50-70-20=30,2分

补全的条形统计图如图所示：

(2)解：3200x——=1120；……5分

200

从甲、乙、丙、四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性

结果有2种，

21

因此，P(恰好抽中甲、乙两人)……8分

126

【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数

形结合的思想解答.

21.(1)证明见解析

(2)与cm

【分析】(1)利用ASA证明即可；

(2)过点E作EG_LBC交于点G,求出/G的长，设AE二xcm,用x表示出。E的长，在MAPED中,由

勾股定理求得答案.

【详解】(1):四边形4BC。是矩形，

：,AB=CD,ZADC=ZC=90°,

由折叠知，AB=PDtNA=NP,NB=NPDF=900,

/.PD=CD,/P=/C,2PDF=/ADC,

ZPDF-ZEDF=ZADC-ZEDF,

，2PDE=NCDF,

在42£>七和^CDF中,

NP=/C

<PD=CD,

"DE=/CDF

：.^PDE^/XCDF(ASA)；……4分

(2)如图，过点E作EG_L8C交于点G,

•・•四边形448是矩形,

AB=CD=EG=4cm，

又<EF=5cm,・•・GF=/石产_用=3cm,

设AE=xcmf

/-EP=xcm,

由XPDE^ACDF知，EP=CF=xcm,

,DE=GC=GF+FC=3+x,

在RIAPED中，PE?+PD2=DE：

即J2+42=(3+4,

7

解得，x=-,

6

；・BC=BG+GC=—+3+—=—(cm)........8分

663

【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质

将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键.

22.(1))，=-2A+160

⑵销售单价应定为50元

⑶当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元

【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为），=履+乩用待定系数法可

得y=-2x+160：

（2）根据题意得（x-30）-（-21+160）=1200,解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销

售单价应定为50元；

（3）设每天获利卬元，卬=（x-30）•（-2x+160）=-2x2+220x-4800=-2（x-55）2+1250,由二次函

数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元.

【详解】（1）解：设每天的销售数量），（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为）=履+”，

[35八〃=90

把（35,90）,（40,80）代入得：,八，

40&+Z?=8O0A

k=—2

解得A3,

Z>=160

・•・）：=-2.V+160；.......3分

（2）根据题意得：（x・30）・（-Zr+160）=1200,

解得同=5（）,X2=60,

•・•规定销售单价不低于成本且不高于54元，

/.A=50,

答：销售单价应定为50元；……6分

（3）设每天获利卬元，

w=（x-30）•（-2.V+160）=-1V2+220A--4800=-2（x-55）2+1250,

V-2<0,对称轴是直线x=55,

而烂54,

・・*=54时，w取最大值,最大值是-2x（54-55）2+1250=1248（元），……9分

答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元.

【点睛】本题考查一次函数，一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式

和一元二次方程.

60

23.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DN=—

【分析】（1）连接OD,根据等腰三角形的性质和圆的相关性质证得OD为△ABC的中位线，即可求证；

（2）根据题中条件证明ARNDsADNA,再根据AB=AC,进行等量代换即可证明；

（3）先根据等腰三角形的性质、解直角三角形和勾股定理求出AB、BD、AD的长度，再利用相似三角形

的性质即可求解.

【详解】(1)如图，连接0D,

「AB为。的直径，

AZADB=90°,

VAB=AC,

•••BD=CD,点D为BC的中点，

又1'AO=BO,

・・・OD为△ABC的中位线，

，OD〃AC,

DM_LAC,

A0D1MN,

故MN是(。的切线.……3分

(2)VZADB=90°,

Zl+Z3=90°,

,/DMJ.AC,

/.Z3+Z5=90°,N2+N3=90°,

AZ2=Z5,

VAB=AC,AD1BC,

・•・Z4=Z5,

VZI=Z2,

AZI=Z4,

VZN=ZN,

/.△BND^ADNA,

.BN_DN

"~DN~~ANf

•••AB;AC,

.BNDNDN

・•丽―BN+AB-BN+AC'

DN2=BN(BN+AC)……6分

(3)•：BC=6,

，BD=CD=3,

cosC=—,

AAC=-^-=5,

cosC

AAB=5,

由勾股定理可得ADE,,

由(2)可得，ARNDs^DNA,

.BNDNBD3

・•丽一丽一而一Z

:.BD=-DN,

4

..WV_3

*AN一"

Lfiyj------------=—

・•・-------=-,即＜3八z4,

AB+BN45+-DN

4

60

解得：QN=亍.……9分

【点睛】本题考查圆的切线的判定、相似三角形的性质与判定和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相

关性质和判定并灵活应用.

24.（1）4,-1,4；（2）当々工（）时，关于x的函数）*履+〃（欠〃是常数）不是“丁函数”，理由见解析；当攵=0

时，关于x的函数），=履+〃（k,P是常数）是‘7函数”，它有无数对‘7点”；（3）直线/总经过一定点，该

定点的坐标为（1,0）.

【分析】（1）先根据关于）'轴对称的点坐标变换规律可得二5的值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标

代入“r函数唧可得；

⑵分女工。和左=o两种情况，当女工o时，设点（%,%）（事工0）与点（-%,加）是一对叮点“，将它们代入函

数解析式可求出攵=。，与左。0矛盾：当攵=o时，）,=〃是一条平行于x轴的直线，是“丁函数”，且有无数

对“7点”；

（3）先将点口（）,（））代入y=a/+以+C可得c=0,再根据“丁函数”的定义可得力=0,从而可得了=尔，与

直线广皿+〃联立可得小为是方程以2f1r_〃=（）的两实数根，然后利用根与系数的关系可得

内十占=7小七=-，最后根据化简可得〃=一附，从而可得尸〃氏一〃?，由此即可得出答

案.

【详解】解：（I）由题意得：点A（l,r）与点8（5,4）关于），轴对称，

/.r=4,5=-l,

/.A（l,4）,

l>0,

二将点A（L4）代入），=分得：r=4,

故答案为：4,-1,4;……3分

（2）由题意，分以下两种情况：

①当攵工0时，

假设关于x的函数丁=履+〃Qk,〃是常数）是"7函数''，点（%,%）（毛尸0）与点（-%,%）是其图象上的一对

“T点”,

则竹+〃=%，

\-kx0+p=y0

解得女=0,与攵工0相矛盾，假设不成立，

所以当女工0时，关于1的函数旷=履+〃（公〃是常数）不是“7函数”；……5分

②当4=0时，

函数），=履+〃=〃是一条平行于/轴的直线，是函数”，它有无数对“T点”；……6分

综上，当时，关于x的函数），=区+〃（&，〃是常数）不是“7函数”；当攵=0时，关于x的函数），二丘+〃

（上，〃是常数）是‘7函数”，它有无数对"7点''；

（3）由题意，将0（0,0）代入y=奴?+/zr+c得：c=0,

/.y=ax2Ibx,

设点（七，）、）区*。）与点（-七，X）是“丁函数"y=/+云图象上的一对“丁点”，

则卜：+?='解得八°.

at；山台=%

.,.>=ax1{a>0）,...8分

■>

y=ax~

联立得：ax2-tJix-n=0»

y="tvIn

1*1“7函数"y=江与直线y=nix+n交于点M（N，y）,N（x2,y2）,

・"，々是关于刀的一元二次方程苏_〃a_〃=0的两个不相等的实数根，

mn

"+/=-MR=—，

-a'a

1

,/（l-Xj）+x2=1,

tnn

/.A+x=xx,gQ|rJt—=——,

（2t2aa

解得〃=一机，

则直线/的解析式为）'="货一机，

当工=1时，y=m-m=（）,

因此，直线/总经过一定点，该定点的坐标为。，0）.……10分

【点睛】本题考查了关于V轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根勺系数

的关系等知识点，掌握理解'7函数”和“丁点”的定义是解题关键.

25.（1）t=1;（2）t=3;（3）SWt的函数关系式为S=—*+%+¥；（4）存在，

【分析】（1）要使点M在线段CQ的垂直平分线上，只需证CM=MQ即可；

（2）由矩形性质得PH=QN,由已知和AP=2t,MQ=t,解直角三角形推导出PH、QN,进而得关于t的方

程，解之即可；

（3）分别用t表示出梯形GHFM的面积、AQHF的面积、△CMQ的面积，即可得到S与t的函数关系式;

（4）延长AC交EF与T,证得AT_LEF,要使点P在NAFE的平分线上，只需PT=PH,分别用t表示PT、

PH,代入得关于t的方程，解之即可.

3

【详解】（1）当仁：时.，点M在线段CQ的垂直平分线上，理由为：

由题意，CE=2,CM〃BF,

.CMCECM2

••ni1:=一,

BFBE68

解得：CM=；,

要使点M在线段CQ的垂直平分线上，

3

只需QM=CM=y,

3

t=—；...2分

2

(2)如图，VZABC=ZEBF=90°,AB=BE=8,BC=BF=6,

AAC=lO,EF=lO,sinZPAH=—=",cosZPAH=—=-,sinZEFB=—=-,

AC5