2024-2025学年上海市浦东新区建平中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市浦东新区建平中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共4小题，第1.2小题每小题4分，第3、4小题每小题5分，共18分。1.方程x2−23A.椭圆和双曲线的离心率 B.两双曲线的离心率

C.两椭圆的离心率 D.以上皆错2.“a2+b2<RA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分必要条件3.已知方程b2x2−a2[k(x−b)]A.|k|>ba B.|k|<ba C.4.设曲线E的方程为4x2+9y2=1，动点A(m,n)，B(−m,n)，C(−m,−n)，D(m,−n)在E上，对于结论：①四边形ABCD的面积的最小值为48；②四边形A.①错，②对 B.①对，②错 C.①②都错 D.①②都对二、填空题：本题共12小题，共54分。5.以圆x2+y2=46.抛物线y=2x2的焦点坐标是

．7.已知函数f(x)=mx2+mx+1的定义域是R8.已知F1，F2是椭圆x29+y23=1的两个焦点，过F1的直线交此椭圆于9.双曲线2x2−y2=k的焦距是10.设集合A={m||m−2|<3}，B={m|x2m+2+y2m−3=111.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，右焦点为F，点B(0,2b)，双曲线的渐近线上存在一点P，使得顺次连接A，12.设P是椭圆x24+y2=1第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、13.若直线ax+y+b−1=0(a>0,b>0)过抛物线y2=4x的焦点F，则1a14.已知抛物线对称轴为x轴.若抛物线上的动点到直线3x+4y−12=0的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为______．15.坐标平面上一点P到点A(1,0)，B(a,2)及到直线x=−1的距离都相等.如果这样的点P有且只有两个，那么实数a的取值范围是______．16.已知函数f(x)=|1−x2−2ax−b|，其中a，b∈R，f(x)的最大值为M(a,b)三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题15分)

已知α，β是方程4x2−4mx+m+2=0的两个实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)若f(x)=α218.(本小题15分)

已知命题p：点M(1,3)不在圆(x+m)2+(y−m)2=16的内部，命题q：“曲线C1：x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线C2：x19.(本小题15分)

如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2m的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20m的正方形．因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P的移动速度为1.5m/s，仪器Q的移动速度为1m/s.若仪器P与仪器Q的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q在仪器P的“盲区”中．

(1)如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P在点A处，仪器Q在BC上距离C点4m处，试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中，并说明理由；

(2)如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P从点A出发向点D移动，同时仪器Q从点C出发向点B移动，在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为多少？20.(本小题15分)

已知动直线y=kx交圆(x−2)2+y2=4于坐标原点O和点A，交直线x=4于点B，若动点M满足OM=AB，动点M的轨迹C的方程为F(x,y)=0．

(1)试用k表示点A、点B的坐标；

(2)求动点M的轨迹方程F(x,y)=0；

(3)以下给出曲线C的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由(若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分)．

①对称性；

②顶点坐标(定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点)；

③图形范围；

④渐近线；

⑤21.(本小题18分)

已知直线x+y+3=0与椭圆E：x2a2+y2=1有且只有一个公共点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)是否存在实数λ，使椭圆E上存在不同两点P、Q关于直线2x−y−λ=0对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由；

(3)椭圆E的内接四边形ABCD的对角线AC

参考答案1.A

2.A

3.A

4.D

5.x+6.(0,17.[0,4]

8.4

9.±5010.(−1,3)

11.3

12.1

13.4

14.y215.(−1,1)∪(1,+∞)

16.217.解：(1)若α，β是方程4x2−4mx+m+2=0的两个实数根．

则Δ=(4m)2−4×4(m+2)≥0，

解得：m∈(−∞,−1]∪[2,+∞)；

(2)若f(x)=α2+β2=(α+β)2−2αβ=m2−18.解：(1)若p为真：(1+m)2+(3−m)2≥16

解得m≤−1或m≥3，

若q为真：则m2>2m+82m+8>0

解得−4<m<−2或m>4

若“p且q”是真命题，

则m≤−1或m≥3−4<m<−2或m>4，

解得−4<m<−2或m>4；

(2)若s为真，则(m−t)(m−t−1)<0，

即t<m<t+1，

由q是s的必要不充分条件，

则可得{m|t<m<t+1}≠⊂19.解：(1)建立如图1所示的平面直角坐标系，

则Q(10,6)，P(−10,−10)，

所以kPQ=45，

则直线PQ的方程为45x−y−2=0，即4x−5y−10=0，

故圆心O到直线PQ的距离为d=1041=104141<2，

所以圆O与直线PQ相交，

故仪器Q在仪器P的“盲区”中．

(2)建立如图2所示的平面直角坐标系，

则A(−10,−10)，B(10,−10)，C(10,10)，D(−10,10)，

由题意可知，起始时刻仪器Q在仪器P的“盲区”中，

假设仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为ts，

则P(−10,32t−10),Q(10,10−t)，

所以直线PQ的斜率为kPQ=8−t8，

则直线PQ的方程为y=(10−t)=8−t8(x−10)，即(t−8)x+8y−2t=0，

从而点O到直线PQ20.解：(1)(x−2)2+y2=4y=kx，得x=0y=0或x=41+k2y=4k1+k2，

即点A(41+k2,  4k1+k2)．x=4y=kx，得x=4y=4k，即点B(4,4k).…4分

(2)OM=AB=(4k21+k2,4k31+k2)，则点M的参数方程为x=4k21+k2y=4k31+k2(k为参数)，

消去参数k，得x3+xy2−4y2=0.…8分

(3)①关于x轴对称；

将方程中的(x,y)换成(x,−y)，方程的形式不变，则曲线C关于x轴对称．

②曲线C的顶点为(0,0)；

在方程21.解：(1)联立x+y+3=0x2a2+y2=1，消去y并整理得(1+a2)x2+23a2x+2a2=0，

因为直线x+y+3=0与椭圆E有且只有一个公共点，

所以Δ=(23a2)2−8a2(1+a2)=0，

解得a2=2，

则椭圆E的方程为x22+y2=1；

(2)假设存在实数λ，使椭圆E上存在不同两点P、Q关于直线2x−y−λ=0对称，

不妨设直线PQ的方程为x+2y+t=0，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

联立x+2