《1. 椭圆的参数方程》学习任务单

《1.椭圆的参数方程》学习任务单班级：＿_____姓名：＿_____组号：＿_____【学习内容】高中人教A版选修44第二讲参数方程，二圆锥曲线的参数方程中的椭圆的参数方程部分【我的目标】1、能够理解椭圆参数方程的概念，就像理解一个新游戏的规则一样清楚。比如，看到椭圆的普通方程，就能快速说出它的参数方程，准确率要达到80%以上哦。2、可以熟练运用椭圆的参数方程来解决一些简单的几何问题，像计算椭圆上某点的坐标、两点间的距离等，做10道这样的练习题，至少要做对7道。3、能把椭圆的参数方程和实际生活中的椭圆形状的物体联系起来，比如能说出椭圆的操场跑道怎么用参数方程表示，至少能说出一个合理的思路。【重难点】重点：掌握椭圆参数方程的形式和推导过程，就像记住自己最喜欢的歌曲的歌词一样熟练。难点：灵活运用椭圆参数方程解决综合性的几何问题，这就像解开一个有很多小机关的谜题一样。【我的研究】一、椭圆参数方程的初步认识1、我们先来看一个椭圆的普通方程（x^2／a^2)＋（y^2／b^2)＝1（a＞b＞0），想象这个椭圆就像一个压扁了的圆形。那这个椭圆的参数方程是什么样的呢？我们可以设x＝acosθ，y＝bsinθ（θ为参数），这就是椭圆的参数方程啦。那大家想想，为什么可以这样设呢？这就像给椭圆找到了一种新的身份标识。我们来举个真实的例子吧。比如说，学校的操场是椭圆形的，我们要给操场画一些等距的标记点。如果我们用椭圆的参数方程来确定这些点的位置，就会很方便。假如操场的长半轴a＝100米，短半轴b＝50米，那对于椭圆上的一个点，它的横坐标x就可以用x＝100cosθ来表示，纵坐标y就可以用y＝50sinθ来表示。那我们怎么确定θ的值来找到我们想要的标记点呢？这就需要我们进一步了解θ的意义啦。2、那这个θ到底是什么呢？θ就像是一个控制椭圆上点位置的小旋钮。我们可以把它想象成一个角度，当θ从0慢慢变化到2π的时候，椭圆上的点就会像小蚂蚁沿着椭圆的边缘爬一圈一样，依次被确定出来。我们来做个小互动吧。同桌之间互相说说，当θ＝0时，椭圆上的点的坐标是多少呢？当θ＝π/2时呢？看看你们能不能很快说出来。二、椭圆参数方程的推导1、我们现在要像探险家发现宝藏的路线一样，去推导椭圆的参数方程。我们从椭圆的定义出发，椭圆是平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点轨迹。那我们怎么从这个定义得到参数方程呢？我们可以利用三角函数的关系。我们先建立一个直角坐标系，以椭圆的中心为原点，长轴所在直线为x轴。设椭圆上一点P(x,y)，连接OP，设∠xOP＝θ。根据三角函数的定义，我们知道在单位圆中，对于圆上一点M(cosθ,sinθ)。那对于椭圆呢，我们可以通过一些几何关系和比例关系得到x＝acosθ，y＝bsinθ。大家跟着老师的思路，一步一步在纸上推导一下，看看能不能推出来。如果推导过程中有问题，就和小组同学讨论一下，就像大家一起商量怎么搭积木一样。2、小组讨论时间每个小组讨论一下椭圆参数方程推导过程中的关键步骤，然后派一个代表来说说你们小组的想法。比如说，你们小组在推导过程中遇到了什么困难，是怎么解决的呢？或者你们有没有发现一些新的理解角度呢？三、用椭圆参数方程解决简单几何问题1、求椭圆上点的坐标已知椭圆（x^2／9)＋（y^2／4)＝1，当θ＝π/3时，求椭圆上点的坐标。首先，我们根据椭圆的参数方程x＝3cosθ，y＝2sinθ。当θ＝π/3时，我们把θ的值代入参数方程中。计算x＝3cos(π/3)＝3(1/2)＝1.5，y＝2sin(π/3)＝2(√3/2)＝√3。所以这个点的坐标就是(1.5,√3)。大家按照这个方法做一道类似的题目吧。已知椭圆（x^2／16)＋（y^2／9)＝1，当θ＝π/4时，求椭圆上点的坐标。2、计算椭圆上两点间的距离设椭圆（x^2／25)＋（y^2／16)＝1上有两点A、B，对应的参数分别为θ1＝0和θ2＝π/2。求|AB|。首先我们求出A、B两点的坐标。当θ1＝0时，A点坐标为(5,0)；当θ2＝π/2时，B点坐标为(0,4)。根据两点间距离公式d＝√（（x2x1)＾2+（y2y1)＾2)，可得|AB|＝√（（05)＾2+（40)＾2)＝√（25＋16)＝√41。现在大家自己出一道类似的题目，然后和同桌交换做一下，做完后互相检查，看看有没有错误。四、椭圆参数方程与实际生活的联系1、椭圆操场跑道我们再回到学校的椭圆操场跑道。如果我们要在跑道上规划一些起跑线或者一些特殊的标记，就可以用椭圆的参数方程。假设跑道的椭圆方程是（x^2／10000)＋（y^2／6400)＝1（单位是厘米，这里为了计算方便）。我们要在跑道上每隔10米设置一个标记点。那我们怎么用参数方程来确定这些点的位置呢？首先我们把椭圆的参数方程写出来x＝100cosθ，y＝80sinθ。因为10米＝1000厘米，我们要根据这个距离来确定θ的间隔。我们可以通过计算弧长公式（这个公式有点复杂，我们可以简单了解一下），然后确定θ的取值，这样就能找到每个标记点的位置啦。大家分组讨论一下，除了操场跑道，还有哪些生活中的椭圆形状的东西可以用参数方程来描述呢？比如一些椭圆形状的花坛之类的。【组内过关】（课内完成）1、已知椭圆（x^2／4)＋（y^2／3)＝1，求当θ＝π/6时椭圆上点的坐标。2、设椭圆（x^2／36)＋（y^2／25)＝1上有两点C、D，对应的参数分别为θ1＝π/3和θ2＝5π/6，求|CD|。3、对于椭圆（x^2／16)＋（y^2／9)＝1，如果一个点在椭圆上运动，当它的横坐标为2时，求此时的参数θ的值（提示：先根据椭圆的参数方程求出纵坐标，然后再求θ）。【当堂检测】（课内完成）1、已知椭圆（x^2／25)＋（y^2／16)＝1，当θ＝3π/4时，求椭圆上点的坐标。2、设椭圆（x^2／49)＋（y^2／36)＝1上有两点E、F，对应的参数分别为θ1＝0和θ2＝π，求|EF|。3、一个椭圆的方程为（x^2／64)＋（y^2／49)＝1，在这个椭圆上有一个点P，它的纵坐标为7/2，求这个点对应的参数θ的值（有两个答案哦，要仔细思考）。【自我评估方法及标准】1、自我评估方法对于目标1，自己随机出5个椭圆的普通方程，然后看能不能快速写出参数方程，计算正确的个数除以5，得到的比例就是准确率。对于目标2，把组内过关和当堂检测的题目加起来，计算做对的题目数量除以总题目数量，看是否达到70%。对于目标3，自己回顾在讨论椭圆参数方程与实际生活联系时自己的表现，是否能积极参与讨论并说出合理的思路，如果能说出至少一个合理思路就算合格。2、评估标准目标1准确率达到80%及以上为优秀，60%79%为良好，低于60%为需要加强。目标2做对题目比例达到70%及以上为优秀，50%69%为良好，低于50%为需要加强。目标3能积极参与讨论并说出合理思路为合格，否则为需要改进。【答案】【组内过关答案】1、对于椭圆（x^2／4)＋（y^2／3)＝1，参数方程为x＝2cosθ，y＝√3sinθ。当θ＝π/6时，x＝2cos(π/6)＝2(√3/2)＝√3，y＝√3sin(π/6)＝√3(1/2)＝√3/2，所以点的坐标为(√3,√3/2)。2、椭圆（x^2／36)＋（y^2／25)＝1的参数方程为x＝6cosθ，y＝5sinθ。当θ1＝π/3时，C点坐标为(6cos(π/3)，5sin(π/3)）＝（3,5√3/2)；当θ2＝5π/6时，D点坐标为(6cos(5π/6)，5sin(5π/6)）＝（3√3,5/2)。根据两点间距离公式d＝√（（x2x1)＾2+（y2y1)＾2)，可得|CD|＝√（（3√33)＾2+（5/25√3/2)＾2)，计算可得|CD|＝√（27＋18√3＋9+（25/425√3/2＋75/4)）＝√（417√3)。3、椭圆（x^2／16)＋（y^2／9)＝1的参数方程为x＝4cosθ，y＝3sinθ。当x＝2时，即2＝4cosθ，解得cosθ＝1/2，所以θ＝±π/3。【当堂检测答案】1、椭圆（x^2／25)＋（y^2／16)＝1的参数方程为x＝5cosθ，y＝4sinθ。当θ＝3π/4时，x＝5cos(3π/4)＝5√2/2，y＝4sin(3π/4)＝2√2，所以点的坐标为(5√2/2,2√2)。2、椭圆（x^2／49)＋（y^2／36)＝1的参数方程为x＝7cosθ，y＝6sinθ。当θ1