2024-2025学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.4第1课时对数及其运算学案含解析北师大版必修1

PAGE§4对数第1课时对数及其运算内容标准学科素养1.理解对数的概念，驾驭对数的基本性质．2.驾驭指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.精确概念定义娴熟等价转化提升数学运算授课提示：对应学生用书第49页[基础相识]学问点一对数的概念eq\a\vs4\al(预习教材P78－79，思索并完成以下问题)解指数方程：3x＝eq\r(3)，可以化为3x＝，所以x＝eq\f(1,2)，那么你会解3x＝2吗？提示：不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而须要引入对数概念．学问梳理对数的概念(1)对数的概念一般地，假如a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．(2)对数与指数的关系当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.学问点二常用对数和自然对数eq\a\vs4\al(思索并完成以下问题)结合教材P79例1和例2，你认为指数式与对数式互化应分哪几步？提示：第一步：将指(对)数式写成规范形式；其次步：依对数的定义实现互化．学问梳理常用对数和自然对数(1)常用对数：通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把log10N记为lgN.(2)自然对数：在科学技术中常运用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.学问点三对数的基本性质eq\a\vs4\al(思索并完成以下问题)(1)lg10，lg100，lg0.01，ln1，lne分别等于多少？提示：1,2，－2,0,1.(2)为什么对数式x＝logaN中规定底数a＞0且a≠1?提示：由于对数式x＝logaN中的a来自于指数式ax＝N中的a，所以当规定了ax＝N中的a＞0，且a≠1时，对数式x＝logaN中的a也受到相同的限制．(3)为什么负数和零没有对数？提示：由于ax＝N＞0，所以x＝logaN中的N＞0.学问梳理对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)loga1＝0(a＞0，a≠1)．(3)logaa＝1(a＞0，a≠1)．思索：1.当a，N在什么范围取值时对数式logaN有意义？提示：a＞0且a≠1，N＞0.2．幂运算和对数运算有什么关系？提示：在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而假如已知a和N，求x，就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．任何指数式都可以干脆化为对数式吗？提示：并不是任何指数式都可以干脆化为对数式，如(－2)2＝4，就不能干脆写成log－24＝2，只有符合a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.[自我检测]1．2x＝3化为对数式是()A．x＝log32 B．x＝log23C．2＝log3x D．2＝logx3解析：∵2x＝3，∴x＝log23.答案：B2．若log3x＝3，则x＝()A．1 B．3C．9 D．27解析：∵log3x＝3，∴x＝33＝27.答案：D3．已知log2x＝3，则＝________.解析：∵log2x＝3，∴x＝23＝8，答案：2eq\r(2)授课提示：对应学生用书第50页探究一对数的概念[例1]求下列各式中x的取值范围．(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.[解析](1)由题意得x－10＞0，解得x＞10.(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＞0，,x－1＞0，且x－1≠1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞－2，,x＞1，且x≠2.))∴x＞1，且x≠2.(3)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12＞0，,x＋1＞0，且x＋1≠1，))解得x＞－1，且x≠0，x≠1.方法技巧解决使对数式有意义的参数问题，只要依据对数的定义，由真数大于零、底数大于零且不等于1得到关于未知数(一般是x)的不等式(组)，解之即可．跟踪探究1.求f(x)＝logxeq\f(1－x,1＋x)的定义域．解析：要使函数式有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,x≠1，,\f(1－x,1＋x)＞0.))解得0＜x＜1.∴f(x)＝logxeq\f(1－x,1＋x)的定义域为(0,1)．探究二利用指数式与对数式的关系互化求值[例2]将下列指数式与对数式互化：(2)43＝64；(3)3－2＝eq\f(1,9)；(4)10－3＝0.001.[思路点拨]利用当a＞0，且a≠1时，logaN＝b⇔ab＝N进行互化．[解析](1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－3＝27.(2)log464＝3.(3)log3eq\f(1,9)＝－2.(4)lg0.001＝－3.方法技巧1.logaN＝b与ab＝N(a＞0，且a≠1)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系．如图：2．依据这个关系可以将指数式与对数式互化：将指数式化为对数式，只需将幂作为真数，指数作为对数值，底数不变；而将对数式化为指数式，只需将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变．跟踪探究2.将下列指数式与对数式互化：(1)2－2＝eq\f(1,4)；(2)102＝100；(3)ea＝16；(4)log64eq\f(1,4)＝－eq\f(1,3)；(5)logxy＝z.解析：(1)log2eq\f(1,4)＝－2.(2)log10100＝2，即lg100＝2.(3)loge16＝a，即ln16＝a.(4)＝eq\f(1,4).(5)xz＝y.[例3]求下列各式中x的值：(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；(4)logx27＝eq\f(3,2)；(5)lg0.01＝x.[思路点拨]利用指数式与对数式的关系求解．[解析](1)∵4x＝5·3x，∴eq\f(4x,3x)＝5，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))x＝5，.方法技巧指数式ax＝N与对数式x＝logaN(a＞0，且a≠1)表示了三个量a，x，N之间的关系，因而已知其中两个可求第三个：已知底数与指数，用指数式求幂；已知指数与幂，用指数式求底数；已知底数与幂，利用对数式表示指数．跟踪探究3.求下列各式中的x值：(1)log2x＝eq\f(1,2)；(2)log216＝x；(3)logx27＝3.解析：(1)∵log2x＝eq\f(1,2)，∴x＝，∴x＝eq\r(2).(2)∵log216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，∴x＝4.(3)∵logx27＝3，∴x3＝27，即x3＝33，∴x＝3.探究三利用对数性质与对数恒等式求值[例4]求下列各式中x的值：(1)log2(log4x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；(3)log(eq\r(2)－1)eq\f(1,\r(2)＋1)＝x.[思路点拨]解答本题可利用对数的基本性质及对数与指数之间的关系求解．[解析](1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1，∴x＝41＝4.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.(3)∵log(eq\r(2)－1)eq\f(1,\r(2)＋1)＝x，∴(eq\r(2)－1)x＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，∴x＝1.延长探究把“(1)”换成“log8(lg(log2x))＝0”，把“(2)”换成“lg(lnx)＝1”，分别求x的值．解析：(1)log8(lg(log2x))＝0，∴lg(log2x)＝1，∴log2x＝10，∴x＝210.(2)lg(lnx)＝1，∴lnx＝10，∴x＝e10.方法技巧1.对数的性质：(1)在指数式中N＞0，故零和负数没有对数．(2)设a＞0，a≠1，则有a0＝1.∴loga1＝0，即1的对数等于0.(3)设a＞0，a≠1，则有a1＝a，∴logaa＝1，即底数的对数为1.2．在对数的运算中，常用对数的性质进行对数的化简与求值．跟踪探究4.求下列各式中x的值：(1)log3(log2x)＝0；(2)log2(lgx)＝1；(3)logeq\r(2)－1eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x.解析：(1)∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝1，∴x＝21＝2.(2)∵log2(lgx)＝1，∴lgx＝2，∴x＝102＝100.(3)∵logeq\r(2)－1eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x，∴(eq\r(2)－1)x＝eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝eq\f(1,\r(\r(2)＋12))＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，∴x＝1.授课提示：对应学生用书第51页[课后小结]1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而假如已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．[素养培优]因忽视底数