2024-2025学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6.3.1对数函数的概念图象和性质课时素养评价含解析苏教版必修第一册

PAGE课时素养评价三十对数函数的概念、图象和性质(15分钟30分)1.已知实数a=log23,b=QUOTE,c=log0.32,则a,b,c的大小关系为 ()A.b<c<a B.b<a<cC.c<a<b D.c<b<a【解析】选D.因为a=log23>log22=1,b=QUOTE=1,c=log0.32<log0.31=0,所以c<b<a.2.若logaQUOTE<1,则a的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪(1,+∞)【解析】选D.由logaQUOTE<1得:logaQUOTE<logaa.当a>1时,有a>QUOTE,即a>1;当0<a<1时,则有0<a<QUOTE.综上可知,a的取值范围是QUOTE∪(1,+∞).3.函数f(x)=QUOTE的值域为R,则实数a的取值范围是________.

【解析】由题意知,当x>1时,f(x)=2a+lnx>2a;当x≤1时,f(x)=a+1-x2≤a+1.要使函数f(x)的值域为R,需满意2a≤a+1,即a≤1.答案:(-∞,1]4.已知函数f(x)=loga(x+2),若图象过点(6,3),则f(x)=________,f(30)=________.

【解析】代入(6,3),得3=loga(6+2)=loga8,即a3=8,所以a=2,所以f(x)=log2(x+2),所以f(30)=log232=5.答案:log2(x+2)55.(2024·潍坊高一检测)已知直线mx+ny-3=0经过函数g(x)=logax+1(a>0且a≠1)的定点,其中mn>0,则QUOTE+QUOTE的最小值为________.

【解析】由题意可得定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-3=0上,所以m+n=3,则QUOTE+QUOTE=QUOTE(m+n)=QUOTE≥QUOTE(2+2)=QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE且m+n=3,即m=n=QUOTE时取等号.答案:QUOTE6.已知函数fQUOTE=logaQUOTE,gQUOTE=logaQUOTE,QUOTE.(1)设a=2,函数g(x)的定义域为[-15,-1],求g(x)的最大值.(2)当0<a<1时,求使fQUOTE-gQUOTE>0的x的取值范围.【解析】(1)当a=2时,gQUOTE=log2QUOTE,在QUOTE上为减函数,因此当x=-15时gQUOTE的最大值为4.(2)fQUOTE-gQUOTE>0,即fQUOTE>gQUOTE,所以当0<a<1时logaQUOTE>logaQUOTE,满意QUOTE所以-1<x<0,故当0<a<1时f(x)-g(x)>0的解集为QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为 ()A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【解析】选A.0<a=log52<log5QUOTE=QUOTE,b=log0.50.2>log0.50.5=1,1=0.50>c=0.50.2>0.51=QUOTE,所以a<c<b.2.若log(a-1)(2x-1)>log(a-1)(x-1),则有 ()A.1<a<2,x>0 B.1<a<2,x>1C.a>2,x>0 D.a>2,x>1【解析】选D.当a>2时,a-1>1,由QUOTE解得x>1;当1<a<2时,0<a-1<1,由QUOTE无解.3.(2024·宁波高一检测)已知函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且g(x)=-f(|x|).若g(lgx)>g(1),则x的取值范围是 ()A.[1,10) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪(10,+∞)【解析】选C.由题意,因为g(-x)=-f(|x|)=g(x),所以g(x)为偶函数,又因为f(x)是[0,+∞)上的增函数,所以g(x)是[0,+∞)上的减函数,又因为g(lgx)>g(1),所以g(|lgx|)>g(1),所以|lgx|<1,解得QUOTE<x<10.4.已知函数f(x)=|ln(x-1)|,满意f(a)>f(4-a),则实数a的取值范围是()A.(1,2) B.(2,3) C.(1,3) D.(2,4)【解析】选A.函数f(x)=|ln(x-1)|的定义域为(1,+∞),由f(a)>f(4-a)可得:|ln(a-1)|>|ln(4-a-1)|=|ln(3-a)|,两边平方:[ln(a-1)]2>[ln(3-a)]2⇔[ln(a-1)-ln(3-a)][ln(a-1)+ln(3-a)]>0,则QUOTE(1)或QUOTE(2)解(1)得a无解,解(2)得:1<a<2,所以实数a的取值范围是(1,2).二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列函数表达式中,是对数函数的有 ()A.y=logπx B.y=lnxC.y=2log4x D.y=log2(x+1)【解析】选AB.按对数函数的定义式推断.6.已知0<a<b,a+b=1,则下列不等式中,正确的是 ()A.log2a<0 B.2a-b<QUOTEC.QUOTE<4 D.log2a+log2b<-2【解析】选AD.因为0<a<b且a+b=1,所以0<a<b<1,-1<a-b<0,所以log2a<0,A正确;2a-b>2-1=QUOTE,B错误;因为QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2(当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=b时取等号),又0<a<b,所以QUOTE+QUOTE>2,所以QUOTE>22=4,C错误;因为ab≤QUOTE=QUOTE(当且仅当a=b时取等号),又0<a<b,所以0<ab<QUOTE,所以log2a+log2b=log2ab<log2QUOTE=-2,D正确.【补偿训练】(2024·菏泽高一检测)设函数f(x)的定义域为D,∀x∈D,∃y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称f(x)为“漂亮函数”.下列所给出的函数,其中是“漂亮函数”的是 ()A.y=x2 B.y=QUOTEC.y=ln(2x+3) D.y=2x+3【解析】选BCD.由题意知,函数f(x)的定义域为D,∀x∈D,∃y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,所以函数f(x)的值域关于原点对称,对于A中,函数y=x2的值域为[0,+∞),不关于原点对称,不符合题意;对于B中,函数y=QUOTE的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,符合题意;对于C中,函数y=ln(2x+3)的值域为R,关于原点对称,符合题意;对于D中,函数y=2x+3的值域为R,关于原点对称,符合题意.三、填空题(每小题5分,共10分)7.设f(x)=QUOTE则f(f(-2))=________.

【解析】因为f(-2)=10-2>0,f(10-2)=lg10-2,令lg10-2=a,则10a=10-2,所以a=-2,所以f(f(-2))=-2.答案:-28.已知函数f(x)=QUOTE(a>0且a≠1)在R上单调递减,则a的取值范围是________.

【解析】由分段函数在R上单调递减可得0<a<1,又因为二次函数图象开口向上,所以-QUOTE≥0,解得a≤QUOTE,且[x2+(4a-3)x+3a]min(x<0)≥[loga(x+1)+1]max(x≥0),将x=0代入可得3a≥1,解得a≥QUOTE,所以a的取值范围是QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2024·鄂尔多斯高一检测)设函数f(x)=(log2x+2)(log2x+1)的定义域为QUOTE.(1)若t=log2x,求t的取值范围;(2)求y=f(x)的最大值与最小值,并求出取得最值时对应的x的值.【解析】(1)因为t=log2x,而x∈QUOTE.所以t的取值范围为QUOTE=[-2,2].(2)y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1),令g(t)=(t+2)(t+1)=t2+3t+2(-2≤t≤2).因为g(t)在区间QUOTE上是减函数,在区间QUOTE上是增函数,所以当t=log2x=-QUOTE,即x=QUOTE时,y=f(x)有最小值,最小值为fQUOTE=gQUOTE=-QUOTE;当t=log2x=2,即x=4时,y=f(x)有最大值,最大值为f(4)=g(2)=12.10.(2024·天津高一检测)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在QUOTE上的最大值为2.(1)求a的值;(2)若0<a<1,求使得f(f(x)-2)>0成立的x的取值范围.【解析】(1)由题意,当a>1时,函数f(x)=logax在QUOTE上单调递增,因此f(x)max=f(2)=loga2=2,解得a=QUOTE;当0<a<1时,函数f(x)=logax在QUOTE上单调递减,因此f(x)max=fQUOTE=logaQUOTE=2,解得a=QUOTE.综上可知:a=QUOTE或a=QUOTE.(2)由不等式f(f(x)-2)>0,即loga(f(x)-2)>loga1,又0<a<1,依据对数函数的性质,可得0<f(x)-2<1,即2<loQUOTEx<3,解得QUOTE<x<QUOTE.1.函数f(x)=log3(x2-x-2)的定义域为 ()A.{x|x>2或x<-1}B.{x|-1<x<2}C.{x|-2<x<1}D.{x|x>1或x<-2}【解析】选A.由题意得:x2-x-2>0,解得:x>2或x<-1,所以函数的定义域是{x|x>2或x<-1}.2.(2024·郑州高一检测)已知函数f(x)=logaQUOTE(a>0且a≠1).(1)推断函数f(x)的奇偶性;(2)求不等式f(x)>0的解集.【解析】(1)由QUOTE>0得-1<x<1,函数的定义域关于原点对称,又f(-x)=logaQUOTE=-logaQUOTE=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)(ⅰ)当a>1时,由f(x)>0,即logaQUOTE>0,得QUOTE>1,解得-1<x<0;(ⅱ)当0<a<1时,由f(x)>0,即logaQUOTE>0,得0<QUOTE<1,解得0<x<1.综上所述,当a>1时,不等式f(x)>0的解集为{x|-1<x<0};当0<a<1时,不等式f(x)>0的解集为{x|0<x<1}.【补偿训练】已知函数fQUOTE=log2QUOTE.(1)推断f(x)的奇偶性并证明你的结论.(2)解不等式fQUOTE<-1.【解析】(1)f(x)为奇函数,证明:QUOTE>0⇒-1<x<1,所以f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,任取x∈(-1,1),则-x∈(-1,1),f(