2024-2025学年北师大实验高二数学上学期期中试卷附答案解析

-2025学年北师大实验高二数学上学期期中试卷本试卷共150分．考试时长120分钟．第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.直线的倾斜角是，则斜率是（）A. B. C. D.2.已知点P在椭圆上，点，，则（）A.2 B. C. D.3.已知圆关于直线对称，则实数（）A.－2 B.－1 C.1 D.24.以点为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为（）A. B.C. D.5.已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（）A.是一个半径为的圆 B.是一条与相交的直线C.上的点到的距离均为 D.是两条平行直线6.如图，三棱锥中，平面，，且ΔABC为边长等于2的正三角形，则与平面所成角的正弦值为A. B. C. D.7.点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（）．A.和B.和C.和D.和8.“”是“椭圆的离心率为”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P到平面QGC的距离是（）A. B. C. D.110.如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．以下四个结论中错误的是（）A.存点P满足B.存在点P满足C.满足的点P的轨迹长度为D.满足的点P的轨迹长度为第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.椭圆的离心率是_________．12.已知直线：，：．若，则实数m的值为______．13.在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为______．14.已知点P是圆上动点，直线：，：，记P到直线，的距离分别为，（若P在直线上，则记距离为0），（1）的最大值为______；（2）若当点P在圆上运动时，为定值，则m取值范围是______．15.伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线．在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论：①曲线C关于原点中心对称；②恒成立；③曲线C上任一点到原点的距离不超过；④当时，取得最大值或最小值．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程．16.已知直线l：，．（1）当直线l与直线垂直时，求的值；（2）设直线l恒过定点P，求P的坐标；（3）若对任意的实数，直线l与圆总有公共点，直接写出r的取值范围．17.已知经过点，，并且圆心C在直线上，（1）求的方程；（2）设过点的直线l与交于M，N两点，若，求l的方程．18.已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，．若存在实数使得，求的取值范围．19.如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）.（1）若为的中点，求证：平面.（2）是否存在点，使得平面与平面所成角余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由.20.平面直角坐标系xOy中，点M到点的距离比它到x轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设斜率为k的直线l过定点，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围．21.用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．现使用长为，宽为的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题．（1）求该直角圆形弯管的体积；（2）已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率；（3）如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4），证明：该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅．北师大实验中学2024-2025学年度第一学期期中试卷高二数学本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.直线的倾斜角是，则斜率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直线的倾斜角与斜率的关系即得.【详解】∵直线的倾斜角是，∴直线的斜率为.故选：C.2.已知点P在椭圆上，点，，则（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意由椭圆标准方程以及椭圆定义即可得出结果.【详解】由椭圆方程为可知，则，即为椭圆的左、右焦点，由椭圆定义可得.故选：C3.已知圆关于直线对称，则实数（）A.－2 B.－1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据圆关于直线对称即圆心在直线上得到答案.【详解】将化成标准方程为，圆心为，半径为，因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，即，解得.故选：D.4.以点为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据圆心和半径可得圆的方程.【详解】以点为圆心，且与x轴相切的圆的半径为1．故圆的标准方程是．故选:A．5.已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（）A.是一个半径为的圆 B.是一条与相交的直线C.上的点到的距离均为 D.是两条平行直线【答案】C【解析】【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，故可将点代入坐标，即可得轨迹，结合选项即可得出正确答案.【详解】设，由，则，由在直线上，故，化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行，上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.故选：C.6.如图，三棱锥中，平面，，且ΔABC为边长等于2的正三角形，则与平面所成角的正弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先过A点作出高线，利用等体积法先求高线，再计算线面角．【详解】过点作垂直于平面的直线，垂足为O，利用等体积法求解．，由此解得，与平面所成角为，所以,故选B【点睛】本题考查了等体积法和线面角的基本求法，综合性强，在三棱锥中求高线，利用等体积法是一种常见处理手段，计算线面角，先找线面角，要找线面角必找垂线，而求解垂线的基本方法为等体积法或者点到平面的距离公式．7.点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（）．A.和B.和C.和D.和【答案】D【解析】【分析】过点作垂直于直线，根据圆的性质可得以为直径的圆过定点和，得解.【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为，则以为直径的圆过定点和，易知直线的方程为，联立，解得，即.所以以为直径的圆经过定点和.故选：D8.“”是“椭圆的离心率为”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的离心率为求出m，进而求得答案.【详解】椭圆的离心率为，当时，，得；当时，，得．即“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件．故选：A.9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P到平面QGC的距离是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合向量法求解点到面的距离，即可得到结果.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，所以点P到平面QGC的距离是.故选：B10.如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．以下四个结论中错误的是（）A.存在点P满足B.存在点P满足C.满足的点P的轨迹长度为D.满足的点P的轨迹长度为【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决此题，对于A，利用两个特殊点求出的值，判断在此范围内即可；对于B，利用向量垂直数量积等于零解方程即可求点坐标；对于C，D利用向量垂直数量积等于零可求点的轨迹方程，根据图形找到点的轨迹求长度即可．【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则,0,，,0,，，,1,，动点设为,1,，对于A，点关于平面的对称点为，当动点在点时，此时，当动点在点时，此时，所以存在点满足，所以A正确；对于B，，，若，则，化简得：，解得，即，满足题意，所以B正确；对于C，，，若，则，即，取中点，中点，则点的轨迹为线段，长度为，所以C错误；对于D，，，若，则，即，取中点，中点，则点的轨迹为线段，长度为，所以D正确．故选：C．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.椭圆的离心率是_________．【答案】【分析】利用标准方程，求出a，b，然后求解c，即可求解离心率．【详解】椭圆的长半轴为a＝3，短半轴为b＝2，则半焦距为c．所以椭圆的离心率为：e．故答案为．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．12.已知直线：，：．若，则实数m的值为______．【答案】－3【分析】根据两直线平行的条件列式求解即可.【详解】若，则，解得或，当时，直线：与：重合，不符合题意；当时，直线：与：，符合题意，综上，故答案为：－3.13.在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为______．【答案】【分析】利用异面直线夹角的向量求法建立空间直角坐标系计算可得结果.【详解】分别取的中点，连接，由正三柱性质可知，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：由，可得，所以，又，且；所以.故答案为：14.已知点P是圆上的动点，直线：，：，记P到直线，的距离分别为，（若P在直线上，则记距离为0），（1）的最大值为______；（2）若当点P在圆上运动时，为定值，则m的取值范围是______．【答案】①.3②.【解析】【分析】（1）根据圆上点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离加半径求解即可；（2）根据为定值，分析得到圆的位置，结合直线与圆的位置关系求解.【详解】（1）圆，圆心1,0，半径为，圆心到直线的距离，所以P到直线的距离的最大值为；（2）当时，两直线重合，不符题意；当时，直线，平行，若当点P在圆上运动时，为定值，所以圆在两平行线之间，此时直线与圆相离，所以，解得或，又因为当时，直线，在圆同侧，不符合题意，所以，故答案为：3，.15.伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线．在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论：①曲线C关于原点中心对称；②恒成立；③曲线C上任一点到原点的距离不超过；④当时，取得最大值或最小值．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②③【解析】【分析】根据曲线的方程，结合对称性的判定方法，联立方程组，以及不等式和三角形面积，逐项判定，即可求解.【详解】在曲线上任取一点，关于原点的对称点为，代入曲线的方程，可知在曲线上，所以曲线C关于原点中心对称，故①正确；因为点轨迹C上一点，所以，因为，所以，即，所以，故②正确；因为，所以，所以，所以曲线C上任一点到原点的距离不超过，故③正确；因为，所以，又，所以，即，所以，当时等号成立，故④错误，故答案为：①②③【点睛】方法点睛：本题考查曲线的轨迹及其性质的问题，同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程．16.已知直线l：，．（1）当直线l与直线垂直时，求的值；（2）设直线l恒过定点P，求P的坐标；（3）若对任意的实数，直线l与圆总有公共点，直接写出r的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据直线与直线垂直关系列方程即可求得的值；（2）将直线方程转化为，列方程组解得定点坐标即可；（3）根据直线与圆位置关系结合点与圆位置关系求解即可.【小问1详解】当直线l：与直线垂直时，可得，解得；【小问2详解】直线l：方程整理得，令，解得即直线l恒过定点；【小问3详解】对任意的实数，直线l与圆总有公共点，则直线l恒过定点在圆上或者圆内，则，即.17.已知经过点，，并且圆心C在直线上，（1）求的方程；（2）设过点的直线l与交于M，N两点，若，求l的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质确定线段的垂直平分线方程，从而联立直线可得圆心坐标，根据圆的定义得半径，从而得圆的方程；（2）根据直线与圆相交弦长公式，分直线斜率存在与不存在两种情况验证求解直线方程即可.【小问1详解】因为，，则，且线段AB中点为，则线段AB的垂直平分线的斜率为，故其方程为，即，由圆的对称性知点C在AB的垂直平分线上，因此联立解得即点，又因为，所以圆C：．【小问2详解】圆心，半径当的斜率不存在时，：，则圆心到直线的距离为，此时相交弦长，满足题意；当的斜率存在时，设：，即，因为相交弦长，所以C到的距离为，解得，此时，直线：，综上，直线的方程为或．18.已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，．若存在实数使得，求的取值范围．【答案】（1）（2）．【分析】（1）根据椭圆的关系列方程组求得的值，即可得椭圆方程；（2）根据椭圆的定义可得，再根据两点距离公式结合点在椭圆上求解的取值范围，即可得所求.【小问1详解】由题知解得所以，C方程为．【小问2详解】由椭圆的定义可知，设点Px0,y0所以，因为，所以，即当且仅当时，，时，，因为，则，所以．综上所述，的取值范围是．19.如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）.（1）若为中点，求证：平面.（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】连接，因为为中点，为的中点，所以，因为是正三棱台，，所以，于是有，因此四边形是平行四边形，所以平面，平面，所以平面【小问2详解】假设存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，因为平面平面，所以，而，所以建立如图所示的空间直角坐标系，，设，设平面的法向量为，，所以有，因为，，，所以平面，所以平面的法向量为，所以，解得，舍去，即，，即长度.20.平面直角坐标系xOy中，点M到点的距离比它到x轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设斜率为k的直线l过定点，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根据题意列出等量关系并整理即可得出轨迹C的方程；（2）分情况将曲线C与直线方程联立，根据方程根的个数求得实数k的取值范围．【小问1详解】设点Mx,y，由题知，两边平方，并整理得,所以轨迹C的方程为.【小问2详解】易知直线，当时，如下图所示：联立，消去y得，，当，即或时，有且仅有一个公共点且满足题意；当，即时，无公共点；当时，令，，当时，无公共点；当时，有一个公共点；综合以上可知当时，有且仅有一个公共点，故k的取值范围是．21.用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯