高等数学教程　上册　第4版 习题及答案 P146 第6章 定积分及其应用

第六章定积分及其应用习题6.11.利用定积分的定义计算：(1)解：因为在区间上连续,定积分存在。将分成等分，不妨设分点为，小区间的长度为，取。则当时(2)解：因为在区间上连续,定积分存在。将分成等分，不妨设分点为，小区间的长度为，取。则2.利用定积分表示下列和式极限：(1)解：上式可看成函数在区间上将区间等分，并取小区间右端点处的函数值与对应区间长度乘积的和，所以(2)解：3．利用定积分的几何意义，求出下列定积分的值：(1)解：可以表示由直线，所围成的三角形的面积，所以(2)解：可表示单位圆在第一象限内的面积，所以(3)解：可表示函数及轴所围的面积的代数和（轴上方取正，下方取负），所以4．一根长20cm的细直杆OA，其上任一点P处的线密度与OP的长度成正比，比例系数为，试用定积分表示此细杆的质量。解：将细直杆置于轴上，直杆一头和原点重合，则细杆的质量可表示为5.比较下列每组两积分的大小关系（1）_____解：因为当时，，所以。（2）_____解：因为当时，，所以。（3）解：因为当时，，所以（4）_______解：因为当时，，所以。（5）_______解：因为当时，，所以。（6）解：因为当时，，所以。6.估计下列各定积分的值：(1)解：令，因为，所以当时，是单调增加的，故由定积分的估值定理得：即(2)解：函数在[0,2]上单调增加，所以

利用积分中值公式证明：解：由积分中值公式有，因为，所以,当时，，习题6.21.求下列函数的导数：(1)解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）设函数由方程所确定，求。解：等式两边同时对求导，得：即(6)设，求。解：，2.计算下列各定积分：(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解:(6)解：(7)解：（8）解：（9）解：(10)解：(11)解：(12)解：(13)其中解：3.求下列极限：(1)解:该极限是型的未定式，由罗比达法则得：(2)解:该极限是型的未定式，由罗比达法则得：(3)解：该极限是型的未定式，由罗比达法则得：(4)解:该极限是型的未定式，由罗比达法则得：4.求的极值。解：先求一阶导数,,令一阶导数为零，得驻点。又,所以，函数在处取得极小值。5．求下列函数在所给点区间上的最大值和最小值：（1），。解：求一阶导数，令一阶导数等于零，有得驻点。，，，。。比较以上各值，得当的最大最小值分别为和。（2），。解：求一阶导数，令一阶导数等于零，有得驻点。，，，，比较以上各值，得当的最大最小值分别为和。6．设，求的最小值和最大值。解：令，得为惟一驻点，也是最小值点.的最小值是,无最大值。7．设函数，求．解：对关系式，两边取定积分（注意到是常数），有所以，习题6.31.计算下列定积分：(1)解:(2)解:(3)解:(4)解:(5)解:(6)解:(7)QUOTE解:(8)解:(9)解:(10)解:=-12⋅23(2-(11)解:令,当，则(12)解：令,当，则(13)解：令,当，则(14)解：令,当，则(15)解：(16)解：(17)解：(18)解：（19）解：（20）解：习题6.41.计算广义积分的值：(1)解:(2)解:(3)解:(4)解:(5)解:(6)解:(7)解:是瑕点.(8)解：是瑕点.习题6.51求由下列曲线所围成的图形的面积。（1）与解：曲线与的交点是和。所求面积为（2）与解：曲线与的交点是和。所求面积为（3）与直线解：（4）与直线及解：（5），与直线解：（6）与直线，解：（7）与直线及解：（8）与直线，及解：2．求由曲线及其在点和处的切线所围成的图形的面积。解：因为，所以，曲线及其在点和处的切线方程分别为和两切线的交点坐标为,所求面积为3．求的值，使得曲线与所围图形的面积是。解：曲线与的交点为和。所围面积为4．设曲线与直线及所围图形面积为，曲线与直线及所围图形面积为，试求的值，使得最小，最小值是多少？解：令有，，所以，当时，最小，最小值是。5.给定需求函数为,求时的消费者剩余。解：6.给定需求函数和供给函数，在完全竞争的假设下，计算消费者剩余和生产者剩余。解：在完全竞争的假设下，商品市场满足供需平衡，即，因此解得均衡价格，均衡数量从而消费者剩余生产者剩余综合习题6一、选择或填空题1.定积分的值与（D）无关。A.积分下限B.积分上限C.对应关系“”D.积分变量的记号2.设，则=（B）A.B.C.D.3.若，则（B）A.B.C.D.4.若，则（A）A.B.C.D.5.定积分（C）。A.B.C.D.6.已知函数在闭区间上连续，且函数为的一个原函数，则当（C）时，定积分的值不一定等于零。A.B.C.D.7.下列等式成立的是（D）A.B.C.D.8.已知函数在闭区间上连续，在开区间内存在一点，使得，且当时，，当时，，若函数为的一个原函数，则由曲线与直线所围平面图形的面积为（C）。A.B.C.D.二、计算或证明题1.已知,求。解:,2.求函数的单调增加区间。解:令,有,.当x>1时,函数的单调增加区间为(1,+∞)3.设,求。解:

4.设,求。解:5.求函数的极值和拐点。解：，令，得驻点，令，有又所以当时，取得极小值。当,,当时,,所以,函数的拐点为6.已知，试用分段函数表示。解：当