高等数学教程　上册　第4版 习题及答案 P049 第2章 极限与连续

PAGEPAGE63第二章极限与连续习题2.1证明以下数列是无穷小（1）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。（2）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。（3）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。（4）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。（5）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。（6）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。证明以下数列极限（1）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小，所以（2）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小，所以（3）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小，所以（4）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小，所以习题2.21．证明以下函数是无穷小（1）证明：因为而时是无穷小，所以是无穷小。（2）证明：因为，不妨设，又而时，是无穷小，由无穷小比较定理，有是无穷小。（3）证明：因为而时是无穷小，由无穷小比较定理，有是无穷小。2．证明以下函数是无穷小（1）证明：因为而时，是无穷小，由无穷小比较定理，有是无穷小。（2）证明：因为而时，是无穷小，由无穷小比较定理，有是无穷小。（3）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，有是无穷小。3.证明下列极限：(1)证明：因为(4x+1)-9=而时是无穷小，由无穷小比较定理，有当时，是无穷小，所以(2)证明：因为而时是无穷小，由无穷小比较定理，有当时，是无穷小，所以，(3)证明：因为而时是无穷小，由无穷小比较定理，有当时，是无穷小，所以(4)证明：因为而时是无穷小，由无穷小比较定理，有当时，是无穷小，即4.设，证明。证明：因为所以即5.设，证明不存在。证明：因为所以即不存在6．证明:（1）证明：只要证明。因为，而，所以，，即（2）证明：只要证明。由，无妨设，于是所以，，即习题2.31．指出下列运算是否正确：（1）（2）（3）答：(1)—(3)都是错误的。因为：分式极限只有当分母极限不为零时可以应用极限运算法则。而该分式分母极限为零。两个函数乘积的极限当两个函数极限都存在时等于它们极限的乘积。而极限不存在。有限个函数和的极限等于它们各自极限的和。2.求下列极限：(1)解：(2)解：=(3)解：因为，，所以(4)解：（型）（5）解：（型）（6）解：（型）(7)解：（型）（8）（为正整数）解：（型）（9）解：（型）（10）解：（型）（型）（11）解：（型）(12)解：3.证明当时，函数是无穷小.证明：当时，和都是无穷小，且，所以，是无穷小，再由无穷小的运算性质，有当时，函数也是无穷小。4.确定a,b的值,使下列极限等式成立：(1)(2)解：（1）由，（存在），且分式的分母为无穷小，所以其分子必是无穷小，即所以。（2）由且分式的分子分母都是多项式，分母是一次式，所以分子的二次和一次项系数都为零，即有，从而得5.证明不存在。证明：取，，则，但，习题2.41.求下列极限：(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：lim(6)(为常数)解：当时，，(7)解：(8)解：2.求下列极限：(1)解：（型）(2)解：（型）(3)解：（型）(4)解：（型）（5）解：（6）解：3.根据所给的各种变化情况,讨论下列函数的极限：(1)(2)解：（1）当，，，所以有（2）当当，因为，所以不存在。4.设，当满足什么条件时。解：当，当所以，当，，即当时，5.用夹逼定理证明下列极限(1)(2)证明：(1)因为所以由夹逼定理有因为所以由夹逼定理有6.利用单调有界极限存在原理证明(1)数列的极限存在,并求出极限值。证明：因为数列单调上升，且有上界2。所以数列的极限存在，设其极限值为,因为，所以有，得习题2.51.讨论下列函数的连续性,若有间断点，指出间断点的类型:(1)解：是间断点。又因为所以是第一类型间断点(可去间断点)，是第二类型间断点（无穷间断点）。(2)解：，是间断点。又因为，所以是第一类型间断点(可去间断点)，所以是第二类型间断点（无穷间断点）(3)解：是间断点。因为所以是第一类型间断点(可去间断点)。(4)解：因为当，当所以是第一类型间断点(跳跃间断点)。2.确定常数,使下列函数为连续函数:(1)解：只需考虑函数在分段点处的连续即可。因为若函数在分段点处的连续，则有从而有，即(2)解：只需考虑函数在分段点处的连续即可。因为若函数在分段点处的连续，则有从而有。（3）解：因为函数在处连续，所以即，3.求下列函数的极限(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：4.证明方程至少有一个根介于1和2之间。证明:令，则在闭区间连续，又，在区间上应用零点定理，有至少存在一点，使得，即方程至少有一个根介于1和2之间。5.证明方程的有三个根，它们分别在区间内。证明:令，则在闭区间连续，又，，，所以有，在区间，及上分别应用零点定理，可得方程在区间内各至少存在一个根。6.证明方程至少有一个根。证明:令，则在连续，又，在闭区间上应用零点定理，有至少存在一点，使得，即方程至少有一个根。7.设都在上连续，且试证明在内至少存在一点，使得证明：令，则在连续，又，在闭区间上应用零点定理，有至少存在一点，使得，即习题2.61．设，为常数，当时，求的值，使（1），（2）解：（1）因为，故则有（2）因为，故则有2．求常数，使得当时，。解：，则3．当时，试确定下列无穷小的阶数。(1)(2)(3)(4)解：(1)1阶(2)1阶(3)2阶（4）3阶4．求下列极限：（1）解：（2）解：limx→0lncos（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：（10）解：（11）解：（12）解：5．求常数，使成立。解：，则，所以，6．求常数,使下列函数在点连续:解：，，所以，当时该函数在点连续。习题2.71设年利率为，求在下列情况下，10000元的投资额产生的未来收益。（1）以半年为期进行复利计算，1年末的收益。（2）以半年为期进行复利计算，5年末的收益。（3）按月进行复利计算，1年末的收益。（4）按月进行复利计算，5年末的收益。（5）连续复利计算，1年末的收益。（6）连续复利计算，5年末的收益。解：当本金为，年利率为，为每年的计息次数，则年后投资的总收益为本题中（1）因为以半年为期进行复利计算，一年中有两个半年期，故，则1年末（）的收益为（元）（2）以半年为期进行复利计算，5年末（）的收益为（元）（3）以按月进行复利计算，一年中有12个月，则，则1年末（）的收益为（元）（4）按月进行复利计算，5年末（）的收益为，（元）（5）连续复利即为，1年末的收益为（元）（6）连续复利计算，5年末的收益为（元）2．设年利率为，未来收益为25000元，求在下列情况下的现值。（1）按年进行复利计算，未来收益在1年末取得。（2）按年进行复利计算，未来收益在20年末取得。（3）按季度进行复利计算，未来收益在1年末取得。（4）按季度进行复利计算，未来收益在20年末取得。（5）连续复利计算，未来收益在1年末取得。（6）连续复利计算，未来收益在20年末取得。解：记号同上题，未来收益，，现值（1），（元）（2），，（元）（3）按季度进行复利计算，未来收益在1年末取得。，，（元）（4），（元）（5）连续复利公式，计算现值的公告为，未来收益在一年末取得，（元）（6）（元）3．政府支出200亿元，经济个体将增加收入的70%用于购买国内产品，根据凯恩斯倍数效应模型求政府支出增加的总效应。解：，政府支出增加的总效应亿元。4假设每年支付相等的10000元，终身支付，年利率为6%，按年计算复利，求（1）全部收益的现值。(2)在第50年之后收取款项的现值。(3)前50年收取款项的现值。解：设年利率为，按年计算复利，则第年支付的10000元的现值为，本题（1）令，则（2）在第50年之后收取款项的现值为（3）5.假设政府对年收入的税收政策如下：（1）25000元及以下免税。（2）超过25000部分征收40%。（3）对达到或超过100000征收一次性附加税2000元。把税后收入写成税前收入的函数，画出函数图形，讨论函数的连续性，并讨论该税收政策对工作的影响。解：设为税前收入，则税后收入的函数为函数在时，图形为斜率为1的直线，在时，仍是直线，但斜率为0.6，这意味着税后收入增加的速度放缓，在处函数产生间断，出现一个向下的跳跃，由70000到68000，这意味着如果你想获得更多的税后收入，且税前收入在100000元和103333元之间，你应该主动捐献一部分，使得税前剩余不足100000元.6.假设某产品的销售员的月工资构成为：（1）基本工资500元，（2）当月销售额不超过20000时提成，（3）当月销售额超过20000时提成。试画出月工资与销售业绩的函数图形并简单分析。解：设为月工资，为月销售额（单位元），则函数在点的左、右极限分别为2500和4500，图形有幅度2000的向上跳跃。这意味着如果某人的销售额接近但未达到元，他将更努力地工作以期获得额外的奖金。如果销售额远远未达到元或者已经超过了元，这种额外的刺激就不复存在了。综合习题2选择或填空题：1.设数列满足，，且极限与均存在,则（D）。必收敛必单调必有界以上结论都不对2.函数在处有定义是当时函数有极限的（D）。必要条件充分条件充分必要条件无关的条件3.函数在处有定义是函数在处连续的（A）。必要条件充分条件充分必要条件无关的条件4.若，，则必有（D）。，（为非零常数）5.若，，（为有限值），则下列哪个关系式非恒成立（D）。6.函数在时,若(D)不是无穷大,则必为有界极限不存在,则必为无界是无界的,则必为无穷大存在极限，则必有界7.下列极限存在的有（A）8.当，无穷小量是的(C)无穷小.高阶B低阶同阶但非等价等价9.设函数在其定义域内连续，则等于（2）。10.设函数在点连续,则等于（1）。11.若，则等于（-2）。12.（2）。13.若，则等于（-3）。14.若，则等于（-1）。15.（）。16.（2）。二．计算或证明题：1.证明以下数列是无穷小（1）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。（2）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。2.证明以下数列极限（1），是常数。证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小，所以（2）证明：因为而是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小，所以3．证明以下函数是无穷小（1）证明：因为而当是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。（2）证明：因为，不妨设，又而时是无穷小，由无穷小比较定理，得是无穷小。4.设，证明当时极限存在的充分必要条件是。证明：因为，又当时极限存在的充分必要条件是所以，即。5.设，证明时是无穷小。证明：因为，，所以，，即6．求下列极限：(1)解：(2)解：(3)解：因为，所以(4)解：（型）(5)解：（型）（6）解：（型）（7）解：（型）（8）解：（型）(9)解：（型）（10）解：（型）(11)解：时，。令，（型）(12)解：令，（型）（型）(13)(m,n为正整数)解：（型）(14)解：（型）（15）解：（型）（16）解：（型）7．推断下列极限值：(1)若求。(2)若求。（3）若求。解：（1）（2）（3）8．设，证明。证明：因为，所以，函数在点处即右连续又左连续，故连续，且。9．证明当时，与是同阶的无穷小。证明：因为所以,当时，与是同阶的无穷小。10.讨论下列函数的连续性,若有间断点，指出间断点的类型:(1)解：因为所以，是第一类型间断点(可去)。(2)解：是间断点。因为当，当，所以，是第二类型间断点（无穷）。11.确定常数,使下列函数为连续函数:(1)