微积分 第3版 课件 第二章 极限与连续

2.1数列无穷小与极限

数列是指定义在正整数集上的函数数列简记为例如,简记为简记为简记为第二章极限与连续数列的定义域正整数集是无限集,没有最大正整数.

即对任意给定的正数C,总存在正整数N,使得

依次取

在几何上,数列可以看作数轴上的一个动点,

数列的变化过程包含两个相关的无限过程:n的主动变化过程是自变量n的主动变化过程和因变量的被动变化过程.即n从1开始,不断增大(每次加1,无限重复).我们将n的这种变化过程称为n趋于无穷大,记为考察数列变化趋势.对于数列我们主要研究当时的是一个确定的正数,对任意给定的正数,而在所有正整数中,大于的正整数有无限多个,

我们从中任意选定一个,记之为N,即等价于都存在正整数N,于是当时,有即数列从某一项(第N+1项)开始,我们把具有这种特征的数列称为无穷小,对任意给定的,使得

每一项与常数0的距离都小于

也说它的极限是

定义2.1(数列极限的定义)

如果使得当时,不等式成立,记作设为数列,或称数列是无穷小.

则称当时数列的极限是0,

如果存在某个常数A,使得

则称当时数列的极限是A,

或称数列收敛于A.

记作如果不存在这样的常数A,使得

则称数列没有极限,

或称数列发散.

定理2.1(无穷小比较定理)

证正整数

n,

由定义,如果存在正数C,设则故对任意的使得对于所有证及无穷小比较定理,有证及无穷小比较定理,有证及无穷小比较定理,有练习证明证注意到及无穷小比较定理,有由

练习证明几何解释:只有有限个

(至多有N个)落在其外.2.2函数无穷小与极限

2.2.1函数在一点极限

在数轴上,常量对应于定点,变量对应于动点.我们用表示自变量x无限接近但不等于

即且动点x到定点的距离无限接近0.考察函数和

当时,

无限接近0,无限接近1,我们说当时函数的极限是

0,是无穷小,也称当时而函数的极限是

1.定义2.2(函数极限的定义)

有定义.有是无穷小.

记作假设当时,

则称当时的极限是0,

或称当时,如果A是常数,且

则称当时的极限是A,

记作由可得其中

C为正数.无穷小比较定理显然,

即当时,是无穷小.例2.3证明证因由有例2.4设证因由

有

证明练习证明证因而所以例2.5证因不妨设,

显然有,

证明即,

故.

对,

有

而所以我们用表示点x从的

右侧无限接近但不等于的过程.我们用表示点x从的

左侧无限接近但不等于的过程;单侧极限在定义2.2中,把分别改为与就得到

的数学定义,

分别称为f(x)在点的左极限与右极限.等价于

定理2.2(极限与左、右极限的关系)

注:也记成

也记成

例2.6证明不存在.由于左、右极限存在但不相等,证所以,不存在.2.2.2函数在无穷远的极限考察函数

我们用表示x无限地远离坐标原点,即无限增大的过程.

当时,无限增大,因此无限接近0,

我们说当时函数的极限是0,也称当时是无穷小.定义2.3(函数极限的定义)

有定义.有是无穷小.

记作假设当时,

则称当时的极限是0,

或称当时,如果A是常数,且

则称当时的极限是A,

记作的几何意义:之内.函数的图形完全落在带型区域比较法的思想同样可以研究自变量趋于无穷时由可得其中

C为常数.例2.7证明证由有函数的极限.其中n为正整数.

不妨设

当时,因例2.8证明证由有当时,不妨设

在定义2.3中,把分别改为与就得到

的数学定义.

等价于

例如,

因此

不存在.

2.2.3极限的性质证设取有即在

的空心邻域内有界.定理2.3(唯一性)若存在,则极限值是唯一的.定理2.4(局部有界性)

若存在,则在x0的某个空心邻域内有界.由极限的定义

于是定理2.5(局部保号性)

证只需证第一部分.

不妨设(1)若因即于是设则在

的某个空心邻域内与A同号.(2)如果在

的某个空心邻域内2.2.4

无穷大考察函数

当时的变化趋势.

任意给定的正数M,无论M多么大,

就有

我们称当时是无穷大量,简称无穷大.是无穷大,

是正无穷大,

定义2.4记作如果则称当时

不会和任意一个固定的常数无限接近,因而极限不存在.注意:当时是无穷大,

如果且,

则称当时

记作是负无穷大,

如果且,

记作则称当时

证不妨设

因于是只要证所以故例2.9证明2.3极限的运算法则证设且于是

定理2.6两个无穷小之和为无穷小.即有

定理2.7

无穷小与有界函数的乘积为无穷小.定理2.7其实是比较法的直接推论.都是无穷小.例如,当解练习求由有界,有由有界,有例2.10求解几个极限不存在的例子:因因定理2.8(极限四则运算法则)

则有

证(2)设

故由

再由定理2.6

是无穷小.

所以是无穷小.

特别地

即:常数因子可以提到极限记号外面.有,都是无穷小,且在附近有界.有利用极限的运算法则及我们可以求解一些简单的极限问题:

例如,对任意的多项式函数注意:(1)和(2)可以推广到有限多个函数.

例2.11

求

解由函数商的极限法则,有解消去零因子法时,分子、分母的极限都是零.例2.12

求

一般地,设

则商的法则不能使用.则当时,有解时,分子、分母的极限都是无穷大,例2.13

求

分子、分母同时除以

x的最高次幂.解由无穷小与无穷大的关系,得练习求

一般地,当为非负整数时,有解根式有理化

原式例2.14

求

解原式练习求

定理2.9(复合函数的极限运算法则)则根据复合函数的极限法则,为了求

如果

设复合函数在的某个空心邻域内有定义.

再求令(称为变量代换),先求得

例2.15

求解由有如果定理2.10(函数极限与数列极限之间的关系)则

且

例2.16证明不存在.

证令则

令由定理2.10,有则

如果

存在,设

矛盾。

答案原式练习(1)

求

解原式(2)

求

(3)试确定常数

a,

使解令则即准则I(夹挤定理)

则2.4

极限存在准则与两个重要极限

这一节介绍极限存在的两个充分条件,称之为极限存在准则,并用它们证明两个重要的极限.的某个空心邻域内有定义,且满足以下条件:在x0证所以是无穷小，所以由有由有如果数列及满足以下条件:则准则I’(数列夹挤定理)

证有而例2.17证明,为自然数.

所以第一个重要极限:证于是作单位圆O,作单位圆的切线AC,即由夹挤定理因即再由夹挤定理第一个重要极限对于复合函数有其中的非零无穷小.解例2.18求下列极限:

练习解单调增加单调减少单调数列几何解释:准则II

单调有界数列必有极限.如果数列满足:第二个重要极限:

(1)数列形式(2)函数形式解解例2.19求

例2.20

求

2.5

函数的连续性2.5.1函数的连续性定义2.5(函数在一点的连续性)则称函数在点连续,称为的连续点.如果注意:函数在一点处连续性包含以下三个条件:设所以,在点连续等价于:则显然,

定义2.6(函数在一点左、右连续)点左、右连续.例2.21讨论函数在点的连续性.证因函数在点左连续且右连续,所以在该点连续.处右连续,在在处左连续,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.定义2.7(函数在区间连续)则称它在开区间内连续;如果函数在开区间内连续,则称它在闭区间上连续.通常把所有区间I

上的连续函数构成的集合记作

如闭区间上连续函数的全体记为

如果函数在开区间内每一点都连续,证由夹挤定理,

因例2.22证明函数

内连续.同理,定理2.11(函数四则运算的连续性)例如,故在其定义域内连续.定理2.12(复合函数的连续性)定理2.13

设函数在区间I上单调而且连续,则其反函数也单调且连续.由此,反三角函数在其定义域内皆连续.即注:初等函数的连续性提供了极限的简单求法.例2.23求解因函数的定义域为

是定义区间内点.

定理2.14(初等函数的连续性)初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.例2.24已知

解因求由极限的保号性,在的某个空心邻域内,有

在这个空心邻域内有由初等函数的连续性,有例2.25求解所以因2.5.2函数的间断点的一个间断点.下列三种情形至少有一种会发生:

例如,函数在

点左右极限都存在但不相等,所以,为的间断点.函数在

点左右极限都存在且相等,但函数在点无定义,所以,为的间断点.如果和中至少一个不存在,例如,函数因所以,为函数的间断点.点是间断点.函数在

点左右极限都不存在,另外,也是函数的间断点.根据间断点的具体情形,可以将其做如下分类:第一类间断点:第一类间断点又可以分成两种情形:

如果左、右极限相等,则称其为可去间断点;如果左、右极限不相等,则称为跳跃间断点.间断点.的间断点,如果和都存在,则称的第一类例如,为的跳跃间断点;如果补充定义

为的可去间断点.在间断是因为函数在这个点没有定义,

这也是把称为可去间断点的原因.那么它就在连续了.第二类间断点:除去第一类间断点之外的间断点,若其中有一个为则称为无穷间断点.事实上,和中至少有一个不存在,则点就是第二类间断点.

统称第二类间断点.初等函数无定义的孤立点是间断点;分段函数的分段点是可能的间断点,需要讨论.求函数的间断点的方法:并判断其间断点的类型.解函数的定义域为

由初等函数的连续性,函数在其定义区间内连续.例2.26

讨论函数的连续性,所以函数的间断点是所以,x

=0为可去间断点.所以,x

=1为第二类无穷间断点.2.5.3闭区间上连续函数的性质设在区间I有定义,则称是函数在区间I的最大值(最小值).定理2.15(最大最小值定理)设在[a,b]上连续,则在[a,b]上有最大值最小值.有即若注意:

若区间是开区间或区间内有间断点,定理不一定成立.推论2.1

(有界性定理)设在[a,b]上连续,则在[a,b]上有界.

显然,函数的最大、最小值分别是它的一个上界和一个下界.定理2.16(零点定理)

设函数在闭区间[a,b]上连续,使得则至少有一点证由零点定理,所以,方程使得例2.27设证明方程至少有一个小于的正实根.证由零点定理,得证.使得例2.28证明方程至少有一个小于的正根.令练习

证明方程证由零点定理,一根.所以,方程使得练习设函数证由零点定理,使得即定理2.17

(介值定理)

设函数在闭区间上连续,若则至少有一点使得证设由零点定理,故推论2.2

闭区间上连续的函数,必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.证则如果例2.29设在上连续，且证明：至少存在一点，使得不妨设则结论成立.如果则由介值定理,至少存在一点,使得得证.例如,当不可比.下面我们对无穷小趋于零的速度进行比较.观察各极限极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不存在,2.6

无穷小的比较定义2.8

(无穷小的阶的比较)

记作记作等价无穷小;是同阶无穷小;的高阶无穷小;例2.30证明当

证(1)因

(2)因(3)因例2.31常用等价无穷小:证明当

证(1)因

(2)令故(3)

由(2)有

再由(1)有

证因定理2.18

(无穷小的等价代换)意义:利用等价无穷小代换,可以简化极限的计算.

所以故解注意:无穷小的等价代换适用于乘、除情形,代数和的情形需慎用.例2.32

用无穷小的等价代换求解解错例2.33求性质:一个无穷小例如,当特别地,如果当时,是无穷小,习惯将同幂函数进行比较.

例2.34当时,试确定下列无穷小的阶数:

解(1)注:

如果用表示任意一种极限,包括六种情况下函数的极限和数列极限,

则可以用代替定义2.8和定理2.18中的即无穷小的等价代换仍然成立.解分子、分母同乘以因子

则练习1.求解故2.求1.三个基本无穷小第一章习题课(极限部分)一、重点内容2.

关于无穷小的比较定理且在点a的某个空心邻域内

如果成立，其中

C为常数.3.设q为常数,则4.

常用等价无穷小证因二、典型例题例1证明数列是无穷小.

而是无穷小,根据比较定理,数列是无穷小.例2证明证因当时,

是无穷小

.例3证明证因由比较定理,例4求极限解由夹挤定理得

例5设解令由夹挤定理则求例6设解显然求且例7已知求常数a,b.解例8设解分子、分母同乘以因子

则求解例9设解原极限例10已知求常数a,b.故例11当是

x的几阶无穷小?解设其为

x

的

k

阶无穷小,所以,当则证因一、证明数列是无穷小.

而是无穷小,练习题根据比较定理,数列是无穷小.二、证明证因由比较定理,三、求下列极限:

四、已知极限