微积分 第3版 课件 9第三节 常系数线性微分方程

如果

与

是方程(1)的两个线性无关的特解,其中p,q为常数,称为二阶常系数齐次线性方程.9.3二阶常系数线性微分方程1.定义方程

则

就是方程(1)的通解.由线性微分方程解的结构理论:

称为方程(9-6)对应的二阶常系数齐次线性方程，9.3二阶常系数线性微分方程

二阶常系数非齐次线性方程的标准形式为其中不恒为零.而方程其中p,q为常数.一般地,我们称

称为特征方程,称的根为特征根.为方程(9-6)和(9-7)的特征多项式,

容易验证以下结论：齐次线下微分方程解的叠加原理,即如果y1(x),y2(x)是二阶齐次线性方程(9-7)的两个解,则y=y1(x)+y2(x)也是方程(9-7)的解.特别的,如果不恒等于常数(此时称y1(x)与

y2(x)线性无关),则y=y1(x)+y2(x)是方程(9-7)的通解,其中C1和C2是任意常数.(2)如果是二阶非齐次线性方程(9-6)的一个特解,Y是对应的齐次方程(9-7)的通解,则是二阶非齐次线性方程(9-6)的通解.是方程的解,和方程

则的解.(3)如果

故有9.3.1二阶常系数齐次线性方程解法做变量代换，代入方程（9-7）,得解得特征根为可得两个线性无关的特解故齐次方程的通解为(1)若特征方程有两个不相等的实根特征根为(2)若特征方程有两个相等的实根得一特解故齐次方程的通解为特征根为设另一特解为于是(3)若特征方程有一对共轭复根故齐次方程的通解为特征根为用欧拉(Euler)公式:为了得到实数形式的解,得两个线性无关的特解及齐次方程解的叠加原理得特征方程常系数齐次线性方程通解的表达式特征根的情况实根复根实根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法,称为特征方程法.解特征方程为特征根为例1求方程的通解.故所求通解为解特征方程为特征根为故所求通解为例2求方程的通解.解特征方程为特征根为故所求通解为例3求方程的通解.解特征方程为特征根为所以方程的通解为练习

求解初值问题故所求特解为1.多项式这类二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式为

其中

是m次多项式.因多项式的导数仍是多项式,我们猜测这类方程

的特解也是多项式.9.3.2二阶常系数非齐次线性微分方程

例4求下列方程的一个特解:解(1)做两次积分取积分常数为零,得特解为设代入方程整理得

比较系数得即

比较方程两边次数,

应为2次多项式.则积分并取积分常数为零,得特解设,则代入方程得

整理得

比较系数得解得

特解为

应为2次多项式.为此只需要做变量代换

其中z是未知函数.

2.多项式与指数函数的乘积这类二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式为其中是x的m次多项式,

是常数.注意到只要能消去指数ex即可归结为上一种情形.解令代入方程,整理得设则比较系数,得例5求方程的一个特解.

则解得原方程的一个特解为解(一)求对应齐次微分方程通解特征方程为特征根为对应的齐次方程通解例6求方程的通解,并求满足条件的特解.

(二)求非齐次微分方程通解特征多项式为

令原方程通解为因此,原方程的一个特解为得特解则原方程化为

其中即有解得所以,原方程满足初始条件的特解为(三)确定非齐次微分方程满足初始条件的特解求导得解特征方程为则例7求方程的通解.

特征根为对应的齐次方程通解令则代入方程,整理得设该方程特解为解得原方程的一个特解为原方程通解为令则或3.正弦和余弦这种类型方程的标准形式为

其中是x的m次实系数多项式,

p,q,是实常数.的解.的特解求法与前面的讨论完全相同,和由线性微分方程解的结