专题10导数及其应用（利用导数研究函数图象及性质）（解答题压轴题）-2022年高考数学高分必刷必过题

专题10导数及其应用（利用导数研究函数图象及性质）1．（2021·山东莱西·高二期末）已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）.【详解】（1）则，当时，，则为单调递增函数，当时，令，解得，当时，，则为单调递增函数，当时，，则为单调递减函数，综上：当时，在上单调递增，当时，的增区间为，减区间为.（2）由，可得，令，则，所以①，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又时，，作出图象，如图所示，由题意可得方程①的根，有一个必在内，令一个根或或，当时，方程①无意义，当时，，不满足题意，所以当时，由二次函数的性质可得，解得.综上：实数的取值范围为2．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）设，函数，函数（其中为自然对数的底数）．（1）若且，比较，，的大小；（2）若函数与函数的图象分别位于直线的两侧，求的所有可能的取值．【答案】（1）；（2）的取值为．【详解】解：（1）若，则，则，当时，，所以在上递增，所以，即，所以，所以；又因为，所以，即（2），由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数有最大值；由函数求导，得，由得；由得．所以函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，函数有最小值；因为，函数的最大值，即函数在直线的下方，故函数在直线的上方，所以，解得．所以的取值为．3．（2021·全国高三模拟预测）已知函数，是自然对数的底数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，证明：曲线不落在图像的下方．【答案】（1）；（2）证明见解析．【详解】（1）解：由题意知，，故，而，故所求切线方程为，即．（2）证明：要证曲线不落在图像的下方，即证，即证．令，，．，令，得；令，得或，所以当时，取得极大值，且极大值为2．而，易知在上单调递增，且．令，得，令，得，故．故当时，．设，则．设，则．设，则，易知在上单调递增，则，则在上单调递增，从而，则在上单调递增，则，从而在上单调递增，所以当时，，故当时，．综上所述，当时，曲线不落在图像的下方．4．（2021·河南南阳中学高三月考（文））已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求证：函数的图象在轴上方.【答案】（1）单调递增区间，单调递减区间为；（2）证明见解析.【详解】（1）由题意，函数，则令，解得，当时，，所以函数单调递增，当时，，所以函数单调递减，所以函数在区间单调递增，在区间单调递减.（2）由题意，函数，则，可得函数的递增，因为，所以在上存在一个，使得即，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，所以，所以的图象在轴的上方.5．（2021·兰州市外国语高级中学高三月考（理））已知函数，．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；【答案】(1).(2)1.详解：（1）,则，∵在上单调递增，∴对，都有，即对，都有，∵，∴，故实数的取值范围是．（2）设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令，则，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，∴，故的最小值为．6．（2021·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三月考（理））已知函数，其中是自然对数的底数，．（I）若，求曲线在点处的切线方程；（II）若，求的单调区间；（III）若，函数的图象与函数的图象有个不同的交点，求实数的取值范围．【答案】（I）（II）详见解析（III）试题解析：（I）时，，所以，所以曲线在点处的切线斜率为．又因为，所以所求切线方程为，即．（II），①若，则当或时，；当时，．所以的单调递减区间为，；单调递增区间为．②若，则，所以的单调递减区间为．③若，则当或时，；当时，．所以的单调递减区间为，；单调递增区间为．（III）时，，由（II）知，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数．所以在处取得极小值，在处取得极大值．由，得．当或时，；当时，．所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．故在处取得极大值，在处取得极小值．因为函数与的图象有个不同的交点，所以，即，所以．故实数的取值范围是．7．（2020·全国高三模拟预测（理））已知函数的图象与直线相切，是的导函数，且.（1）求；（2）函数的图象与曲线关于轴对称，若直线与函数的图象有两个不同的交点，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【详解】假设直线与函数图象的切点为，因为，则由题意知，即所以，即①，又，所以②由①②可得，所以（2）由题可知，则，即，两式相加得，两式相减得，以上两式相除得，即，不妨设，要证，即证，即，即证，令，那么，则，所以在上递增，又，所以当时，恒成立，所以在上递增，且.所以，从而成立.8．（2020·嘉祥县萌山高级中学高三模拟预测）设函数，，，（1）求在处的切线的一般式方程；（2）请判断与的图像有几个交点?（3）设为函数的极值点，为与的图像一个交点的横坐标，且，证明：.【答案】（1）（2）与的图像有2交点（3）证明见解析【详解】（1）由得切线的斜率为，切点为.∴切线方程为：，∴所求切线的一般式方程为.（2）令由题意可知，的定义域为，且.令，得，由，得，可知在内单调递减，又，且，故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则，当时，，∴在内单调递增；当时，，∴在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，，故在内单调递减，∴当时，，即，从而，又因为，∴在内有唯一零点，又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.所以与的图像有2交点；（3）由（2）及题意，即从而，即,∵当时，，又，故,两边取对数，得，于是，整理得，命题得证.9．（2020·江西上高二中高二月考（理））已知函数.（1）若在上单调，求的取值范围.（2）若的图象恒在轴上方，求的取值范围.【答案】（1）（2）【详解】（1）由题意得，.在上单调，即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.令，则.时，.当时，，∴在上单调递减，∴由题意得，或.∴的取值范围是.（2）的图像恒在轴上方，也即当时，恒成立.也即在上恒成立.令，，由可得：1+0单调递增0单调递减当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴为极大值.所以.∴的取值范围是.10．（2020·江苏泰州·高二期中）已知函数（1）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数在区间上有两个极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数的导函数的图象与函数图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】（1）即当时，恒成立，设，因为，所以，在上单调递增，所以，所以，．（2）因为，所以在区间上有两个极值点的必要条件为在区间上有两个不同零点，则，当时，在上递减，在上递增，，所以存在唯一的，使得，因为在区间大于零，在区间小于零，在区间上大于零，所以在区间上递增，在区间上递减，在上递增，所以，分别为极大值与极小值，所以当时函数在区间上有两个极值点；（3）因为所以，令，，令，解得（舍去），.0＋↓极小值↑因为有两个零点，所以，①又因为，所以②代入①得到，令，所以在上递减，因为，所以，因为在区间上递增，所以．i）因为，所以，，令，，所以所以在上递增，，所以所以在区间上存在唯一一个零点．ⅱ）又因为，且，所以在区间上存在唯一一个零点，综