三角函数中有关w的求解

三角函数中有关w的求解思路引导思路引导数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式．运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成．母题呈现母题呈现类型一．三角函数的周期T与ω的关系【典例1】函数的最小正周期为，则【答案】【解析】因为函数的最小正周期为，，所以，得，所以．【解题技巧】解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝eq\f(2π,ω)与所给区间的关系，从而建立不等关系.【跟踪训练】（2022福建厦门外国语高三模拟）为了使函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为()A.98π B.eq\f(197,2)π C.eq\f(199,2)π D.100π【答案】B【解析】由题意，至少出现50次最大值即至少需用49eq\f(1,4)个周期，所以eq\f(197,4)T＝eq\f(197,4)·eq\f(2π,ω)≤1，所以ω≥eq\f(197,2)π.故选B.类型二．三角函数的单调性与ω的关系【典例2】若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，令，则，即函数的单调递减区间为，因为函数在区间上单调递减，所以，解得，所以，.故选：D.【解题技巧】若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解【跟踪训练】（2022山东青州一中高三模拟）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，当时，，由，有，，有，得.故选：B类型三．三角函数的对称性、最值与ω的关系【典例3】（1）（2022苏州大学附中高三模拟）函数的图像沿轴向右平移个单位()，所得图像关于轴对称，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的图象向右平移a个单位得的图象，所得图象关于轴对称，所以,因此a的最小正值为，故选D.（2）已知函数f(x)＝2sinωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.【答案】【解析】显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x∈时，－eq\f(π,3)ω≤ωx≤eq\f(π,4)ω.因函数f(x)＝2sinωx在区间上的最小值为－2，所以－eq\f(π,3)ω≤－eq\f(π,2)，解得ω≥eq\f(3,2).若ω<0，当x∈时，eq\f(π,4)ω≤ωx≤－eq\f(π,3)ω，因函数f(x)＝2sinωx在区间上的最小值为－2，所以eq\f(π,4)ω≤－eq\f(π,2)，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥eq\f(3,2).【解题技巧】(1)若已知函数的对称性，则根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以研究ω的取值；(2)若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.【跟踪训练】已知直线为函数图象的一条对称轴，的图象与直线的交点中，相邻两点间的最小距离为，那么函数（

）A． B．C． D．.【答案】D【解析】由，得或，所以相邻的两角的差为或，所以相邻两点中距离较小的应满足，又由，所以，故，因为直线为图象的一条对称轴，所以，解得，因为，所以，故.故选D.模拟训练模拟训练1．（2023·北京·高三校考强基计划）已知函数在区间上恰有一个极大值点与一个极小值点，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦函数的性质结合换元法可求正实数的取值范围.【详解】根据题意，当时，有，而函数在区间上恰有一个极大值点与一个极小值点，因此．故选：D.2．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数在区间上存在零点，且函数在区间上的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行求解.【详解】当时，，因为函数在区间上存在零点，根据正弦函数图象可知，，解得，又函数在区间上的值域为，根据正弦函数图象可知，，解得，所以的取值范围是，故A，C，D错误.故选：B.3．（2023·甘肃武威·统考一模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得，由得，由在上恰有2个零点，得，即可解决.【详解】由题可知，，先将函数的图象向右平移个单位长度，得，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得，当时，，因为在上恰有2个零点，所以，解得.所以的取值范围为，故选：B4．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到图象恰好与函数的图象重合，则（

）A． B．C．直线是曲线的对称轴 D．点是曲线的对称中心【答案】D【分析】根据三角函数图像变化结合诱导公式得出，即可得出与，判断选项AB；根据三角函数解析式求出其对称轴与对称中心得出，即可判断选项CD.【详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，则解析式变为，则，即，故A错误；而，故B错误；，令，即为的对称轴，令，解得，即直线不是曲线的对称轴，故C错误；令，即为的对称中心，令，解得，故点是曲线的对称中心，故D正确；故选：D.5．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，即，解得.故选：C【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.6．（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象.若在上的最大值为，则的取值个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用函数图象的平移与伸缩变换求得的解析式，再由的范围求得的范围，结合在上的最大值为，分类求解得答案．【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象．再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，由上，得，当，即时，则，求得，当，即时，由题意可得，作出函数与的图象如图：由图可知，此时函数与的图象在上有唯一交点，则有唯一解，综上，的取值个数为2．故选：B．【点睛】本题考查型的函数图象的变换，考查分类讨论的数学思想方法与数形结合的解题思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．7．（2022秋·湖南·高二校联考期中）设函数，方程恰有5个实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】当时，得到.若方程恰有5个实数解，只需函数在区间上恰好有5个，使得，从而确定在上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立求解即可.【详解】当时，，因为函数在区间上恰好有5个，使得，故在上恰有5条对称轴．令，则在上恰有5条对称轴，如图：所以，解得．故选：B．8．（2023春·浙江·高三开学考试）已知函数，两个等式，，对任意实数x均成立，在上单调，则的最大值为（

）A．17 B．16 C．15 D．13【答案】C【分析】根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，依次分析选项求出得出相应的解析式，依次验证函数的单调性即可.【详解】，，的一个对称中心为，，，的对称轴方程，有，解得，又，所以，，为奇数，在上单调，则，得，由选项知，需要依次验证，直至符合题意为止，当时，，有，得，由得，此时，可以验证在上不单调，不符合题意；当时，，有，得，由得，此时，可以验证在上单调，符合题意；综上，的最大值为15.故选：C．9．（（多选题）2023春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考开学考试）函数相邻两个最高点之间的距离为，则以下正确的是（

）A．的最小正周期为B．是奇函数C．的图象关于直线对称D．在上单调递增【答案】ABD【分析】根据相邻两个最高点之间的距离为得到函数的最小正周期，从而求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】解：因为函数相邻两个最高点之间的距离为，即函数的最小正周期为，故A正确；所以，解得，则，所以为奇函数，故B正确；又，所以函数关于点对称，即C错误；若，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故D正确；故选：ABD10．（多选题）（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）函数在区间上单调递增，则的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由且，可得出，根据正弦函数的单调性可得出，其中，确定的可能取值，即可得出的取值范围.【详解】因为且，则，因为函数在区间上单调递增，则，其中，所以，，其中，解得，其中，所以，，可得，，因为，当时，；当时，，所以，实数的取值范围是.故选：ACD.11．（多选题）（2023秋·湖北黄冈·高一统考期末）函数，以下正确的是（

）A．若的最小正周期为，则B．若，且，则C．当时，在单调且在不单调，则.D．当时，若对任意的有成立，则的最小值为【答案】BCD【分析】由函数周期公式可判断A；由题意得，结合函数周期公式可判断B；若在单调，则且，结合得，则，验证题设条件可判断C；由题意得，即，求得最小值可判断D.【详解】，，，故A错误；，又，且，，，，故B正确；当时，若在单调，则，且，，又，，则，由，得，此时在单调且在不单调，故C正确；当时，，又因为对任意的有成立，则，即，当时，取最小值，故D正确．故选：BCD.12．（多选题）（2023秋·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（

）A．B．C．在区间上单调递增D．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数【答案】AC【分析】根据函数图象得到A=2，，再根据函数图象过点，求得，得到函数的解析式，然后再逐项判断即可.【详解】由函数图象得：A=2，,所以，又因为函数图象过点，所以，即，解得，即，因为，所以，所以，A.，故正确；B.，故错误；C.因为，所以，故正确；D.将的图象向左平移个单位，所得到的函数是，非奇非偶函数，故错误；故选：AC.13．（2023春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考开学考试）函数，若在区间内无最值，则的取值范围是_________.【答案】【分析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值，由在区间上没有最值可知，进而可知或，解不等式并取的值，即可确定的取值范围.【详解】函数，由正弦函数的图像与性质可知，当取得最值时满足，解得，由题意可知，在区间上没有最值，则则，，所以或，因为，解得或，当时，代入可得或，当时，代入可得或，当时，代入可得或，此时无解.综上可得或，即的取值范围为.故答案为：.14．（2022春·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习），使得关于的不等式函数成立，则实数的取值范围是_________【答案】【分析】由三角恒等变化得出，再由的范围得出实数的取值范围.【详解】因为所以.因为，所以.要使得关于的不等式函数成立，只需.故答案为：15．（2023秋·江苏·高三统考期末）设函数，则使在上为增函数的的值可以为__________.（写出一个即可）.【答案】（答案不唯一，满足即可）【分析】根据三角函数单调性求出函数在，上单调递增