专题09平面的基本性质异面直线（知识点串讲）（原卷版）

专题09平面的基本性质、异面直线【考点梳理】考点一：1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或直线在平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理2的推论如下：①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②经过两条相交直线，有且只有一个平面；③经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题．2．平行公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据．3．等角定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．例1.下列条件中不能确定一个平面的是（

）A．不共线三点 B．两条相交直线 C．两条平行直线 D．四边形变式1.下列命题正确的是（

）A．三个点可以确定一个平面 B．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体C．一条直线和一个点可以确定一个平面 D．两条直线可以确定一个平面例2.点M在直线l上，l在平面外，用符号表示正确的是（

）A．， B．，C．， D．，变式2.“点在直线上，在平面内”可表示为（

）A．， B．，C．， D．，例3.一条直线和直线外的三点所确定的平面有（

）A．1个或3个 B．1个或4个C．1个，3个或4个 D．1个，2个或4个变式3.一条直线和这条直线外不共线的三点，最多可确定的平面个数是()A．3 B．4 C．5 D．6例4.如果，，那么与（

）．A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上均不对变式4.已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则（

）A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°例5.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（

）A．平行 B．直线在平面内C．相交或直线在平面内 D．平行或直线在平面内变式5.已知直线，和平面满足，，则与的位置关系为.考点二：4．空间两条直线的位置关系(1)位置关系的分类eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(相交直线：同一个平面内，有且只有.,平行直线：同一个平面内，.)),异面直线：不同在任何一个平面内，.))(一个公共点没有公共点没有公共点)(2)异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性．③异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和异面垂直．例1.下列命题正确的是（

）A．没有公共点的两条直线是平行直线B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．不在同一平面内的两条直线是异面直线D．既不平行又不相交的两条直线是异面直线变式1.异面直线是指（

）A．不同在任何一个平面内的两条直线B．平面内的一条直线与平面外的一条直线C．分别位于两个不同平面内的两条直线D．空间中两条不相交的直线例2.，是异面直线，，是异面直线，则，的位置关系是（

）A．异面B．相交或异面C．平行或相交 D．相交、平行或异面．变式2.若平面平面，直线，直线，那么直线a，b的位置关系是（

）A．不相交 B．平行 C．异面 D．相交例3.在正方体中，AB的中点为M，的中点为N，则异面直线BC与DN所成角的正切值为（

）A． B． C． D．变式3.，分别是正方体的棱和的中点，则和所成角的大小为（

）A． B． C． D．例4.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有对．变式4.如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线的条数为．例5.如图，在正方体中，点E，F为棱上的中点，则异面直线EF与BD所成