专题52三角函数的概念与同角三角函数的基本关系（5类必考点）（人教A版2019）

专题5.2三角函数的概念与同角三角函数的基本关系TOC\o"13"\h\z\t"正文,1"【考点1：三角函数的定义】 1【考点2：各象限角的三角函数符号】 5【考点3：三角函数线及其应用】 8【考点4：同角三角函数的基本关系】 12【考点5：同角三角函数基本关系式的应用技巧】 14【考点1：三角函数的定义】【知识点：三角函数的定义】三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα[方法技巧]利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法(1)已知角α终边上一点P的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可．(2)若已知角α的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值．(3)若角α终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角α终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值．此时注意不要漏解或多解．[提醒]认清角的终边所在的象限，以确定三角函数值的符号，防止出现错误．1．（2021·陕西省神木中学高二阶段练习）若点3,-1是角θ的终边上一点，则cosθ=（A．-12 B．-32 C．【答案】D【分析】根据三角函数的定义可知，将数值代入cosθ=x【详解】由题意可知，将x=3,y=-1代入cosθ=33故选：D.2．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））设α是第二象限角，Px,8为其终边上的一点，且sinα=45，则A．-3 B．-4 C．-6 D．-10【答案】C【分析】由任意角的三角函数定义即可求解【详解】因为Px,8为其终边上的一点，且sin所以sinα=8x因为α是第二象限角，所以x=-6，故选：C3．（2022·广东·广州市第九十七中学高一阶段练习）已知角α的终边经过点P-5,n，且tanα=125，则A．513 B．-513 C．12【答案】B【分析】由正切函数的定义可得n=-12，再根据余弦函数的定义求解即可.【详解】解：因为tanα=所以n-5解得n=-12，所以cosα=故选：B.4．（2022·上海崇明·高一期末）已知角α终边经过点P(-3, y)，且tanα=4【答案】-【分析】由任意角的三角函数定义可得，tanα=y【详解】由tanα=y-3故答案为：-35．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）已知角θ的终边经过点M(3m,1-m)，且tanθ=3，则实数m的值为【答案】1【分析】根据正切函数的定义，即可得出.【详解】根据正切函数的定义，可得tanθ=解得，m=1故答案为：1106．（2022·黑龙江·铁力市马永顺中学校高二期中）若角α的终边过点P(m,-1)，且cosα=-25【答案】-2【分析】根据已知条件及三角函数的定义即可求解.【详解】因为角α的终边过点P(m,-1)，所以cosα=又cosα=-25所以mm2+1=-255又m<0，所以m=-2.故答案为：-2.7．（2022·上海市进才中学高三期中）已知角α的终边过点P-2,1，则sin【答案】5【分析】根据三角函数的定义，结合已知条件，直接求解即可.【详解】因为角α的终边过点P-2,1，故可得sin故答案为：558．（2022·北京市昌平区第二中学高三期中）角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为45，则tanα【答案】-【分析】由角的终边与单位圆交于P，故将P的坐标求出，利用定义就可以求出tanα的值【详解】由交α的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为4所以点P的纵坐标为-3所以P(4有定义可得tan故答案为：-39．（2022·江西·南昌市第八中学高三阶段练习（文））已知函数fx=a2x-6+3（a>0且a≠1）的图象经过定点A，且点A【答案】1【分析】先根据指数函数的特征求出A3,4，故tanθ=43【详解】fx=a2x-6+3，a>0且a≠1故A3,4，又点A在角θ所以tanθ=所以sinθ-故答案为：1710．（2021·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）已知角 α 的终边与单位圆交于点P45,35【答案】sinα=35，cos【分析】根据三角函数的定义，求解三角函数.【详解】∵角 α 的终边与单位圆交于点∴sinα=y=35，cos【考点2：各象限角的三角函数符号】【知识点：各象限角的三角函数符号】三角函数正弦余弦正切各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－1．（2022·上海·华东师范大学附属周浦中学高一期末）已知点M(tanα,-cosα)在第三象限，则角A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】由点M所在的象限，确定α正切和余弦的符号，得角终边所在的象限.【详解】因为点Mtanα,-cosα在第三象限，所以所以α的终边在第四象限.故选：D.2．（2022·陕西·永寿县中学高二阶段练习（文））若C为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（

）A．sinC B．cosC C．tanC【答案】A【分析】由三角形内角性质，结合三角函数值的符号判断即可.【详解】由题意C∈(0,π)，故sinC>0，cos所以A为正值，B、C、D的符号不定.故选：A3．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知Pcos305∘,sin305∘，则点A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】首先判断305∘位于第四象限，再根据各象限三角函数的符号特征判断即可【详解】解：因为270∘<305所以cos305∘>0，所以点Pcos305故选：D4．（2022·湖南常德·高三阶段练习）下列结论不正确的是（

）A．sin2>0 B．C．tan200°>0【答案】D【分析】根据正弦、余弦、正切的正负性，结合角所在的象限逐一判断即可.【详解】∵π2<2<π，∴2为第二象限角，∴∵180°<200°<270因此B、C正确∵-π<-3<-π2，∴-3为第三象限角，故选：D5．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）下列四个选项，正确的有（

）A．Ptanα,cosB．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为1C．若角α的终边经过点a,2aa≠0，则D．sin【答案】ABD【分析】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：由题可得tanα<0，则cosα<0，则α属于第二或者第三象限或角度终边落在x轴的负半轴上；故α属于第二象限，A对B：设扇形OAB的圆心角为α(α>0)，半径为R，圆心角对的弧长为l，则12lR=4，l+2R=10，解得l=2,R=4，又l=αR，即2=4α，解得α=1对C：根据题意可得sinα=2a对D：因为3∈(π2,π)，4∈故sin3cos4tan故选：ABD.6．（2021·上海市光明中学高一期中）若tanθ<0且sinθ>0，则θ是第____________【答案】二【分析】根据各象限三角函数的符号特征判断即可.【详解】解：因为tanθ<0且sinθ>0，所以θ故答案为：二7．（2022·河北省文安县第一中学高一阶段练习）sinα>0是α的终边落在第一、二象限的_______________条件.（从充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要填空【答案】必要不充分【分析】若sinα>0，则α的终边落在第一、二象限或y轴的正半轴，故由sinα>0得不到α【详解】如α=π2，则sinα>0，但α的终边不落在第一、二象限，故由sin若α的终边落在第一、二象限，则sinα>0故sinα>0是α的终边落在第一、二象限的必要不充分条件故答案为：必要不充分8．（2021·山西·太原市实验中学高一阶段练习）若角θ满足sinθ+cosθ<-1，则θ的终边在第【答案】三【分析】根据三角函数的取值范围，结合已知不等式可得sinθ<0,cosθ<0，即可判断【详解】解：∵-1≤sinθ≤1,-1≤cosθ≤1∴sinθ<0,cosθ<0故答案为：三.9．（2022·上海·格致中学高一期中）已知θ是第四象限角，化简1-sin2【答案】cos【分析】根据同角的平方关系即可化简得到结果.【详解】因为1-sin2θ则cosθ>0，即cosθ故答案为:cos10．（2022·上海大学附属南翔高级中学高三期中）若|sinx|sinx+【答案】第二或第四【分析】由题目条件判断出sinx，cosx符号，后结合sinx，【详解】因|sinx|sinx+cos又设角x终边与单位圆交于m,n，则sinx=n当sinx<0，cosx>0时，即n<0,m>0，此时m,n当sinx>0，cosx<0时，即n>0,m<0，此时m,n故答案为：第二或第四【考点3：三角函数线及其应用】【知识点：三角函数线及其应用】三角函数正弦余弦正切三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线1．（2022·全国·高一课时练习）如图，角θ的顶点为原点，始边在x轴的非负半轴上，终边OB与单位圆交于点C.过点C作x轴的垂线，垂足为A，则有向线段AC表示的实数是（

）A．sinθ B．cosθ C．tanθ【答案】A【分析】直接利用三角函数线的定义判断即可.【详解】由题意，易得有向线段AC表示的实数是sinθ故选:A.2．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角α的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角α的终边于T，则角α的正弦线､余弦线､正切线分别是（

）A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，ATC．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT【答案】D【分析】根据题图及三角函数线的定义判断角α的正弦线､余弦线､正切线.【详解】由题图知：圆O为单位圆，则OA=OP=1，且tanα=故角α的正弦线､余弦线､正切线分别是有向线段MP，OM，AT.故选：D3．（2022·全国·高一课时练习）设MP，OM和AT分别是角13π18的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（A．MP<AT<OM B．AT<OM<MPC．AT<MP<0 D．AT<0<OM【答案】B【分析】根据题意在单位圆中作出角13π18【详解】根据题意在单位圆中作出角13π由图可知sin13π∵∠AOT=5π18>∴tan13π18=AT<-1故选：B4．（2022·全国·高一课时练习）下面四个选项中大小关系正确的是（

）A．sinπ5<C．cosπ5<【答案】B【分析】在单位圆中分别做出角π5和4π【详解】如图，在单位圆中作出角π5的正弦线DP、余弦线OD、正切线AT角4π5的正弦线D'P'由于π5=π-4π5由图可得sinπ5=tanπ5∴sinπ5>0>cos4π5，∴A故选：B5．（2022·河北邯郸·高三阶段练习）已知sinα>sinβA．若角α、β是第一象限角，则cosB．若角α、β是第二象限角，则tanC．若角α、β是第三象限角，则cosD．若角α、β是第四象限角，则tan【答案】BCD【分析】利用三角函数线逐项判断可得出合适的选项.【详解】设角α、β的终边分别为射线OP、OQ．对于A，如图1，sinα=MP>NQ=此时cosα=OM，cosβ=ON，OM<ON，所以cosα<对于B，如图2，sinα=MP>NQ=此时tanα=AC，tanβ=AB，且AC<AB，所以tanα<对于C，如图3，sinα=MP>NQ=此时cosα=OM，cosβ=ON，且OM<ON，所以cosβ>对于D，如图4，sinα=MP>NQ=sinβ，AB<AC，即tan故选：BCD.6．（2022·全国·高三专题练习）已知角α∈(0,π2)，则α,【答案】sinα<α<tan【分析】在单位圆中画出角α并确定正弦线、正切线，即可判断大小关系.【详解】如下图示，在单位圆中α=∠AOB，AD⊥x轴，CB⊥x轴，且OA=OB=1，所以α=AB，sinα=AD，△AOB的面积S△AOB扇形AOB的面积SAOB△COB的面积S△COB由图知：S△AOB<S故答案为：sin【考点4：同角三角函数的基本关系】【知识点：同角三角函数的基本关系】(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).1．（2021·吉林·高二学业考试）已知sinα=45，且α为第二象限角，则cosA．45 B．-45 C．3【答案】D【分析】直接根据同角三角函数关系得到答案.【详解】α为第二象限角，则cosα=-故选：D2．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三阶段练习）已知cosx=13，x∈0,πA．±22 B．22 C．-22【答案】B【分析】根据x∈0,π，cosx=13>0，得x∈【详解】解：因为x∈0,π，所以x∈0,所以sinx=所以tanx=故选：B.3．（2022·山东·济南三中高一阶段练习）已知θ∈0,π，cosθ=-A．θ∈π2,C．tanθ=-34【答案】ABD【分析】由已知可得，A项正确，sinθ=45，tanθ=-43，代入即可判断B【详解】因为θ∈0,π，cosθ=-sinθ>0，sin则sinθ-cosθ=则tanθ由上述解析，可知ABD正确，C项错误.故选：ABD.4．（2021·上海市光明中学高一期中）已知0<α<π，sinα+cos【答案】1-【分析】将sinα+cosα=12两边平方，结合平方关系可求得【详解】解：因为sinα+所以sin2α+cos又0<α<π，所以sin则sin2解得cosα=1-74故答案为：1-75．（2022·北京·北二外附属中学高一期中）根据下列条件，求三角函数值(1)已知sinα=35，且α(2)已知tanα=-512【答案】(1)cosα=-4(2)cosα=-1213，sinα=【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式进行求解；（2）利用同角三角函数基本关系式得到关于sinα、cosα的方程组，再结合角α【详解】（1）因为sinα=35所以cos2α=1-sin则cosα=-45（2）因为tanα=-所以sinα=-512联立sinα=-512当α是第二象限角时，cosα=-1213当α是第四象限角时，cosα=1213所以cosα=-1213，sinα=5【考点5：同角三角函数基本关系式的应用技巧】【知识点：同角三角函数基本关系式的应用技巧】技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ＝taneq\f(π,4)表达式中需要利用“1”转化和积转换利用关系式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ1．（2022·四川·树德怀远中学高三开学考试（文））已知cosα-3sinα=0A．-54 B．-45 C．【答案】C【分析】根据给定条