专题9人教A版必修二第一章空间几何体基础测试题-2020-2021学年高一数学寒假补差训练（人教A版必修1必修2）

专题9：人教A版必修二第一章空间几何体基础测试题（解析版）一、单选题1．下列说法正确的是（）A．直四棱柱是正四棱柱B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线D．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥1．C【分析】根据正棱柱、棱台、圆锥的母线和圆锥的定义分析可得答案.【详解】对于，直四棱柱的底面不一定是正方形，故不正确；对于，将两个相同的棱柱的底面重合得到的多面体不是棱台，故不正确；对于，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，说法正确，故正确；对于，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥的组合体，故不正确.故选：C【点睛】关键点点睛：熟练掌握正棱柱、棱台、圆锥的母线和圆锥的定义是解题关键.2．如图所示，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（）A． B．C． D．2．B【分析】根据斜二测画法的规则，还原出原来的图形，求出它的面积即可．【详解】如图所示，由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变，正方形的对角线在轴上，可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为，所以原来的图形是平行四边形，其在横轴上的边长为1，高为，所以它的面积是．故选：．3．用一个平面去截圆锥，则截面不可能是（）A．椭圆 B．圆 C．三角形 D．矩形3．D【分析】根据圆锥的形状特征，对截面的位置进行分类讨论，结合排除法可得出合适的选项.【详解】用一个不平行于圆锥的底面的平面去截圆锥，截面为椭圆；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面为圆；用一个过圆锥的轴的平面截圆锥，截面为等腰三角形.由排除法可知，截面不可能是矩形.故选：D.4．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．4．A【分析】由三视图知原几何体是圆台，上底面半径为，下底面半径为，高为，利用表面积公式即可求解.【详解】由三视图可得，该几何体为圆台，上底面半径为，下底面半径为，高为，可求其母线长为，由圆台表面积公式可得，故选：A5．长方体中，若，，，且此长方体内接于球，则球的表面积为（）A． B． C． D．5．C【分析】由长方体的对角线公式，算出长方体对角线的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积．【详解】长方体中，，，，长方体的对角线，长方体的各顶点都在同一球面上，球的一条直径为，可得半径，因此，该球的表面积为故选：C．6．若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（）A． B． C． D．6．C【分析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离．【详解】由截面圆的面积为可知，截面圆的半径为，则球心到截面圆心的距离为．故选：C．【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面．7．如图，在三棱柱中，底面，，，那么三棱锥的体积是（）A． B． C．4 D．87．A【分析】椎体的体积公式，因此要找到三棱锥的高和底面，由题知为高，底面为直角三角形，代入公式计算即可.【详解】底面为三棱锥的高为底面故选：A.8．在三棱锥ABCD中，已知AB、AC、AD两两垂直，且BCD是边长为2的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．12π B．4π C．6π D．π8．D【分析】三棱锥的侧棱两两垂直，则底面为等边三角形，所以三棱锥可以补成正方体，且两者的外接球是同一个，求出正方体的外接球半径即可求出外接球的体积.【详解】解：由条件可知，三棱锥为正三棱锥，且可以补成正方体，两者的外接球是同一个，正方体的体对角线就是外接球的直径.设，则，，即有，所以则三棱锥的外接球的直径为，则，所以体积.故选：D9．若圆锥的高等于底面圆半径，则它的底面积与侧面积之比是（）A． B． C． D．9．C【分析】设圆锥的底面半径为，用将圆锥的底面积及侧面积分别表示即可得到答案.【详解】设圆锥的底面半径为，则高为，母线长则，，，故选：C.10．如图所示的组合体，其结构特征是（）A．由两个圆锥组合成的B．由两个圆柱组合成的C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的10．D【分析】根据圆柱和圆锥的特征即可判断.【详解】由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的，故选：D11．用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为，则原图形面积为（）A．4 B． C．2 D．111．A【分析】利用平面图形的面积与其直观图面积的关系进行求解即可【详解】解：因为用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为，而原图形面积是直观图的面积的，所以原图形面积为，故选：A12．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②存在每个面都是直角三角形的四面体；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A． B． C． D．12．C【分析】根据圆柱母线定义，①错误；可以举例说明满足条件的三棱锥存在，②正确；根据线线垂直关系，可证三侧面两两垂直，③正确；根据棱台的定义，判断④错误.【详解】圆柱的母线与上下底面垂直，而圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定垂直底面，①错误；如图正方体中，三棱锥，因为平面，所以，因为平面，所以，四个面都是直角三角形，②正确；三棱锥中，，，平面，平面，平面，平面，平面平面，平面平面，同理平面平面，所以三个侧面两两互相垂直，③正确；根据棱台是由棱锥被平行底面的平面所截，截面和底面相似，而侧棱不一定相等，④错误.故选:C.【点睛】本题考查几何体的结构特征，考查线线、面面垂直的判定，注意空间垂直的相互转化，属于中档题.二、填空题13．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点，且点到这三个面的距离分别是3、4、5，则的长为______．13．【分析】根据题设描述可得示意图，即为一个长、宽、高分别为5、3、4的长方体的体对角线，即可求的长.【详解】由题意可得如下示意图：即为一个长方体的体对角线，且长方体的长、宽、高分别为5、3、4，∴，故答案为：.【点睛】本题考查了长方体，求长方体的体对角线，属于简单题.14．设正方体的表面积为216，那么其内切球的体积是_____.14．【分析】由已知条件先求出正方体的棱长，根据正方体的内切球直径等于正方体的棱长，可求出球的半径，进而可求出球的体积【详解】解：设正方体的棱长为，则由题意得，解得，所以正方体内切球的直径为6，则内切球的半径为3，所以正方体内切球的体积为，故答案为：【点睛】此题考查正方体的表面积和球的体积的求法，考查正方体的内切球问题，属于基础题15．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.15．【分析】求出长方体体积与三棱锥的体积后即可得到棱锥的体积与剩下的几何体体积之比.【详解】设长方体长宽高分别为，，，所以长方体体积，三棱锥体积，所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查了长方体体积公式，三棱锥体积公式，属于基础题.16．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C—MBD的体积为_______.16．24【分析】利用顶点转化的方法，由计算出几何体的体积.【详解】.故答案为：【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.三、解答题17．在底面半径为2，高为的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1：4，求圆柱的表面积.17．【分析】由圆柱、圆锥的底面面积比可得圆柱的底面半径和高分别为1、，进而求其表面积即可.【详解】由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1:4，知：底面半径比为1:2，即圆柱底面半径，若设圆柱的高为，则有，即，∴由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积，即：.【点睛】本题考查了圆柱的表面积计算，由圆锥内接圆柱及底面面积比求圆柱表面积，属于简单题.18．已知一圆锥的母线长为10，底面圆半径为6.（1）求圆锥的高；（2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积.18．（1）8（2）【分析】(1)圆锥的母线长、底面圆半径以及圆锥的高满足勾股定理，由题意即可求出结果;(2)先设圆锥内切球半径为,由题意可得，求出,再由球的表面积公式即可得出结果.【详解】（1）据题意知，圆锥的高（2）据（1）求解知，圆锥的高为，设圆锥内切球的半径为，则，所以所以所求球的表面积.【点睛】本题主要考查简单几何体的计算公式，属于基础题型.19．（1）已知球的表面积为64π，求它的体积；（2）已知球的体积为π，求它的表面积.19．（1）；（2）.【分析】（1）由球的表面积公式求得半径，再由球的体积公式求得答案；（2）由求得体积公式求得半径，再由求得表面积公式求得答案.【详解】（1）设球的半径为r，则由已知得4πr2＝64π，r＝4.所以球的体积：V＝×π×r3＝π；（2）设球的半径为R，由已知得πR3＝π，所以R＝5，所以球的表面积为：S＝4πR2＝4π×52＝100π.【点睛】本题考查求球的表面积与体积，属于基础题.20．已知圆台的上、下底面半径分别是2，6，且侧面面积等于两底面面积之和.（1）求圆台的母线长.（2）求圆台的表面积.20．（1）5（2）80π【分析】（1）由圆台的侧面积公式与两底面圆的面积之和的关系构建方程，求得母线；（2）由（1）可得圆台的母线，再由圆台的表面积的公式求得答案.【详解】（1）设圆台的母线长为l，则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，∴8πl＝40π，∴l＝5，∴该圆台的母线长为5；（2）由（1）可得圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.【点睛】本题考查由圆台的性质求圆台的母线与表面积，属于基础题.21．若长方体的三个面的面积分别是，求：（1）长方体的体对角线的长；（2）长方体的表面积.21．（1）.（2）【分析】（1）设长方体的长，宽，高分别为，根据已知条件列出方程，求出，即可求出对角线；（2）根据已知条件，即可求解.【详解】（1）设长方体的长，宽，高分别为，如图.可令解得，，∴该长方体的体对角线长为.（2）.【点睛】本题考查长方体面的面积与边长的关系，明确长方体的对角线与长、宽、高的关系，属于基础题.22．如图所示，已知直角梯形，，，，，.求：（1）以所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积；（2）以所在直线为