第1讲整数和整除教师版

整数和整除【学习目标】整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为后面学习有理数奠定基础．【基础知识】1.；2.整除：整数a除以整数b，若除得的商是整数且余数为零.即称：a能被b整除；或b能整除a.整除的条件：整除与除尽的关系3.因数与倍数：整数a能被整数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的因数（约数）.因数与倍数的特征：4.能被2整除的数，能5整除的数的特征：个位上数字是0，5；能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除.*能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除.【考点剖析】考点一：整数的意义和分类例1．判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．最小的自然数是1；最小的整数是0；非负整数是自然数；有最大的正整数，但没有最小的负整数；有最小的正整数，但没有最大的负整数．【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×．【解析】（1）错误，最小的自然数是0；（2）错误，不存在最小的整数；（3）正确；（4）错误，既没有最大的正整数，也没有最小的负整数；（5）错误，最小的正整数是1，最大的负整数是－1．【总结】本题主要考查与整数有关的概念．例2把下列各数放入相应的圈内：－1，－0.2，0，－63，0.7，13，－0.2323…，．【难度】★【答案】整数：15，－1，0，－63，13；自然数：15，0，13；正整数：15，13；负整数：－1，－63．【解析】整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零．【总结】本题主要考查整数的分类．例3（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；（2）试比较正整数、负整数、零的大小；（3）试比较负整数、自然数的大小．【难度】★★【答案】（1）整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零；（2）正整数大于0，负整数小于0，正整数大于负整数；（3）自然数大于负整数；例4五个连续的自然数，已知中间数是，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．【难度】★★【答案】．这五个数是：2、3、4、5、6．【解析】列方程：解得：∴这五个数是：2、3、4、5、6．【总结】本题主要考查如何利用已知的字母去表示与其连续的整数．考点二：整除的意义例1．老师问：“当时，时，能被整除吗？”一个同学回答：“因为商是，是整数，所以能被整除．”你认为对吗？【难度】★【答案】不对【解析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；本题只满足了商是整数，余数是 0，忽略了对被除数、除数的要求；【总结】本题主要考查整除所满足的条件．例2下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（）内打“√”，不能整除的打“×”．18和9（） 15和30（） 0．4和4（）14和6（） 17和35（） 9和0．5（）【难度】★【答案】横向：√×××××【解析】整除的意义：整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能 被整除；或者说能整除．只有18和9满足；【总结】本题主要考查整除所满足的条件．师生总结师生总结整除的条件是什么？“a能整除b”与“a能被b整除”的区别是什么？归纳总结归纳总结1．除数、被除数都是整数；2．被除数除以除数，商是整数而且没有余数.归纳总结归纳总结整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。例3已知下列除法算式： 57÷7=8……1； 21÷7=3； 22÷0.2=110； 22÷5=4.4； 0÷3=0； 2÷4=0.5． （1）表示能除尽的算式有哪几个？ （2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？【难度】★【答案】（1）21÷7=3； 22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0； 2÷4=0.5．（2）21÷7=3；0÷3=0．【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别．例4把表示下列算式的序号填入适当的空格内．（1）30÷10； （2）7÷25；（3）35÷0．1； （4）18÷3；（5）0．4÷2； （6）3．9÷0．3；（7）27÷9； （8）16÷4．除数能整除被除数的：________________________________________； 能够除尽的：________________________________________________．【难度】★★【答案】除数能整除被除数的：（1）（4）（7）（8）；能够除尽的：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别．师生总结师生总结整除与除尽有什么相同点？2、除与除尽有什么不同点？区别“整除”与“除尽”的概念被除数和除数商整除都是整数，除数不等于0商是整数，余数为0除尽不一定是整数，除数不等于0商是整数或有限小数，没有余数注意：其实，整除是除尽的一种特殊形式。例5.一个两位数，能被5整除，其个位数字减十位数字的差是正整数中最小的偶数，求这个两位数．【难度】★★【答案】35【解析】能被5整除的数字，位数是0或5；个位数字减十位数字的差是2，说明个位不能 是0，所以个位数字是5，十位数字是3，这个两位数是35．【总结】本题主要考查能被5整数的数的特征．例6.15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，并且正好分完，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？【难度】★★【答案】两种分法：（1）3个人，每人5支；（2）5个人，每人3支．【解析】将15分解可得：题目要求每人不止1支，排除掉1和15，故有两种分法：（1）3个人，每人5支；（2）5个人，每人3支．【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题．考点三：因数和倍数的意义例1．有一个算式，则可以说______能被______整除，也可以说______能整除______，还可以说______和______是______的因数，______是______和______的倍数．【难度】★【答案】63，7，7，63，7，9，63，63，7，9；【解析】因数和倍数的意义：整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因 数（也称为约数）．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．例2分别写出12、19和36的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从小到大依次写3个）．【难度】★【答案】12的因数：1，2，3，4，6，12；倍数是：12，24，36……19的因数：1，19；倍数是：19，38，57……36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍数是：36，72，108……【解析】∵；∴12的因数：1，2，3，4，6，12；倍数是：12，24，36……∵；∴19的因数：1，19；倍数是：19，38，57……∵；∴36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍数是：36，72，108……【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．例3.在圈内填写满足条件的数：

18的因数27的因数

既是18的因数又是27的因数【难度】★【答案】18的因数：1，2，3，6，9，18；27的因数：1，3，9，27；既是18的因数又是27的因数：1，3，9【解析】∵；∴18的因数：1，2，3，6，9，18；∵；∴27的因数：1，3，9，27；∴既是18的因数又是27的因数有：1，3，9．【总结】本题一方面考查如何求一个正整数的因数，另一方面考查如何求两个正整数相同的因数．例4.下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出．（1）6和9； （2）27和51．【难度】★★【答案】（1）含有相同的因数：1和3；（2）含有相同的因数：1和3．【解析】（1）∵，；∴6和9含有相同的因数：1和3；（2）∵，；∴27和51含有相同的因数：1和3；【总结】本题主要考查如何求出两个不相等的正整数所含有的相同的因数．例5.从小到大依次写出10个2的倍数：_____________________________________；从小到大依次写出10个3的倍数：_____________________________________；其中__________________________既是2的倍数，又是3的倍数．【难度】★★【答案】2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；3，6，9，12，15，18，21，24，27，30；6，12，18，24，30；例6.已知：，，则和相同的因数有哪些？【难度】★★【答案】1，3，5，15．【解析】∵，∴A的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30； ∵，∴B的因数有：1，3，5，9，15，45． ∴和相同的因数有：1，3，5，15．【总结】本题主要考查如何求两个不相等的正整数所含有的相同因数．例7.一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？【难度】★★【答案】2，3，5，7【解析】只有两个因数，说明这个数只能分解成1乘以本身，这样的数有2，3，5，7；【总结】本题主要考查因数的概念．例8.两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？【难度】★★【答案】30【解析】∵，∴这两个数是12和18，和是30．【总结】本题主要是对因数的概念的综合运用．例9.1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？【难度】★★【答案】1，4，9，16，25，36，49，64，81，100【解析】因数是奇数的数是平方数，1－100之间的平方数是1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；【总结】当一个正整数是平方数时，它的因数个数是奇数个．例10.李明去儿童乐园玩，儿童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车一次，13路车每6分钟发车一次．现在这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？【难度】★★【答案】15分钟【解析】因为5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60……； 6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60……；所以至少再经过30分钟又同时发车．【总结】本题主要是利用倍数的概念来解决实际问题．师生总结师生总结1、求一个整数的因数的方法有哪些？2、求一个整数的倍数的方法有哪些？3、一个正整数的最小的因数和最大的因数是什么？4、一个正整数最小的倍数是什么？归纳总结：归纳总结：1．一个数的因数是有限的；2．最小的因数是1，最大的因数是它本身；3．一个数的因数通常是成对出现的。归纳总结：归纳总结：1．一个数的倍数的个数是无限的；2．最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。找一个数的因数的方法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找表示一个数的因数的方法：（1）列举法（2）用集合圈表示找一个数的倍数的方法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找一个数的倍数的表示方法：（1）列举法（2）用集合圈表示例11.一筐苹果，2个一拿或3个一拿或4个一拿或5个一拿都正好拿完没有余数，问这筐苹果最少有多少个？【难度】★★★【答案】60【解析】通过枚举法会发现2、3、4、5的最小的倍数是60，所以至少再经过30分钟又同时发车．【总结】本题主要是利用倍数的概念来解决实际问题．考点四：能被2、5整除的数例1．已知：11，15，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇数？哪些是偶数？【难度】★【答案】奇数：11，15，19，123，787；偶数：32，56，312，566．【解析】32，56，312，566能被2整除，是偶数，11，15，19，123，787不能被2整除，是奇数．【总结】本题主要考查奇数和偶数的概念．例2．已知：17，25，70，98，105，370，952，其中能被5整除的数有_____________．【难度】★【答案】25，70，105，370．【解析】个位上是0或5的整数是能被5整除的数．【总结】本题主要考查能被5整除的数的特征．例3．在圈内写出满足条件的数：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760．

能被2整除的数能被5整除的数能同时被2和5整除的数【难度】★【答案】能被2整除的数：12，40，80，94，210，354，760；能被5整除的数：25，40，75，80，105，210，465，760；能同时被2和5整除的数：40，80，210，760．【解析】能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数；能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．【总结】本题主要考查能被2和5整除的数的特征．例4．三个连续的偶数的和是54，则其中最小的一个是______．【难度】★★【答案】16【解析】设三个数分别是：．则：，解得：． ∴=16．∴最小的数是16．【总结】本题考查如何用字母来表示三个连续的整数．例5．请判断下列算式的结果是偶数还是奇数，偶数则打“√”，奇数则打“×”．（） （） （）（） （） （）（） （） （）【难度】★★【答案】横向：√√√××√√√×【解析】偶数与偶数的和、差、积都是偶数；奇数与偶数的和、差是奇数，积是偶数；奇数与奇数的和、差是偶数，积是奇数；师生总结师生总结奇数偶数的运算性质有哪些？定义：定义：1．如果一个整数能被2整除，称该整数为偶数；2．如果一个整数不能被2整除，称该整数为奇数。归纳总结：归纳总结：1．能被2整除的整数，个位上数字为0、2、4、6、8；2．能被5整除的整数，个位上数字为0、5。归纳总结：归纳总结：既能被2整除又能被5整除的整数，个位上数字为0；归纳总结：归纳总结：一个数各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除【真题演练】1：（浦东四署2018期中2）下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）A.12和36；B.6和0.3；C.45和9；D.0.2和2.【答案】考查整除的条件：三整一零.选C.【点睛】弄清整除还是被整除！2.（闵行2016期中3）下列说法正确的是（）（A）一个正整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定等于零（B）正整数和负整数统称为整数（C）因为，所以能被整除（D）16的因数有2，4，8，16【答案】A3.（浦东四署2016期中3）下列说法中正确的是()(A)任何正整数的因数至少有两个（B）1是所有正整数的因数（C）一个数的倍数总比它的因数大（D）3的因数只有它本身【答案】B4.（浦东四署2017期中2）下列说法正确的有（）①16能被32整除②正整数一定是自然数③12的因数有1、2、3、4、6、12共6个④如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数（A）1个 ； （B）2个； （C）3个； （D）4个．【答案】B5.（杨浦2015期中15）下列各数中，能同时被2、3、5整除的数是（）（A）20 （B）25 （C）30 （D）35【答案】C6.（浦东一署2017期中4）在下列语句中，正确的是（）A.整数分为正整数和负整数；B.因为，所以17是因数；C.1是所有正整数的因数；D.整数的倍数总比它的因数大.【答案】C7.（普陀2017期中7）最小的正整数是.【答案】18.（杨浦2015期中3）15的所有因数的和是________【答案】249.（黄浦2016期中11）小于50（包括50）的自然数中，既能被3整除，又能被5整除的数有个；【答案】3个10.（闵行2015期中8）28的因数有.【答案】1、2、4、7、14、2811.（闵行2016期中12）身边的数学：110是报警，120是急救，114是查询，96315是投诉，119是火警，在这些号码中，能同时被2和5整除的是________________(填号码)【答案】110，120；12．（浦东三署2016期中4）在数14、20、32、45、230中，既能被2整除，又能被5整除的数有【答案】20，230；13.（浦东四署2016期中9）一个数的最小倍数是12，这个数的因数有________________.【答案】1、2、3、4、6、12；14.（杨浦2014期中3）5÷2＝2.5，那么2（填“能”或“不能”）整除5.【答案】不能15.（川沙南校2018期中2）40以内9的倍数有；【答案】9、18、27、36；16.（宝山2017期中5）既有因数3，又是2和5的倍数的最小三位数是.【答案】120；17.（普陀2017期中8）写出30以内的正整数中，7所有的倍数.【答案】7、14、21、2818.（普陀2017期中10）正整数中，能同时被2和5整除的最大的两位数是.【答案】90；19.（浦东2015期末9）在能被7整除的两位数中，最小的一个两位数是.【答案】14.20：（新竹园2018期中1）240有个因数.【答案】方法1：列乘法算式：故一共有20个因数；方法2：列除法算式：，，所以一共有20个因数；方法3：用分解素因数，因为,所以一共有：=20因数.【点睛】感悟每一种方法，体会它们的异同点.21：三位数B2A能同时被2、3、5整除，求字母A、B.【答案】因为能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除.故A＝0，且B+2+0能被3整除，因此B＝1或4或7，故A＝0，B＝1或4或7.【点睛】先考虑被2、5整除，然后再考虑被3整除.22：求出100以内是9的倍数的所有偶数的和.【答案】100以内9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99；其中偶数之和为：18+36+54+72+90＝270.【点睛】9的倍数中的偶数之和.【过关检测】1.78的因数有哪些？把其中的奇数和偶数分别填入相应的圈内．【难度】★★【答案】奇数有1，3，13，39，偶数有2，6，26，78．【解析】78的因数有1，2，3，6，13，26，39，78；其中，奇数有1，3，13，39，偶数有2，6，26，78．【总结】本题主要考查对因数、奇数、偶数这些基本概念的理解．1.先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？－1，2，－0.3……，15，－0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，－8，10．【难度】★【答案】整数：－1，2，15，0，1，－8，10；自然数：2，15，0，1，10；正整数：2，15，1，10；负整数：－1，－8；从小到大排序为：－8，－1，－0.7，－0.3，0，0.3，1，2，3.83，4.732732……，10，15；其中最小的正整数是1，最小的自然数是0，最大的负整数是－1．2.一个三位数，能被2整除时，中最大填______；能被5整除时，中最小填______．【难度】★【答案】8，0【解析】能被2整除的数个位数字是0，2，4，6，8；能被5整除的数个位数字是0，5；【总结】本题主要考查能被2整除以及能被5整除的数的特征．3.判断题：若，则一定能整除．（ ）整数的最大因数正好等于整数的最小倍数，则一定大于．（ ）(3)因为，所以是的倍数．（）(4)因为整数742