《数学（下册）（第二版）》 课件全套 第１-6章　函数与极限-多元函数微积分基础

函数与极限第1章1目录１.１函数的概念１.２初等函数１.３函数的极限１.４函数极限的运算法则１.５函数的连续性2教学要求：1.理解函数的概念和性质；了解反函数的概念，并认识反三角函数．2.掌握基本初等函数的定义，熟悉它们的图像和性质．3.理解复合函数与初等函数的定义，会进行复合函数的分解．4.了解数列极限的含义；理解函数极限的概念，了解函数左、右极限的概念及其简单的计算．35.了解无穷小与无穷大的概念，会用无穷小的性质求极限，知道一些等价无穷小，会用等价无穷小代换求极限．6.掌握极限的四则运算法则；掌握用两个重要极限求函数极限的方法．7.理解函数连续的定义和初等函数连续性的概念，会求一些简单的函数的间断点；熟悉闭区间上连续函数的性质．41.1函数的概念5集合集合一般地，某些指定的对象组成的全体就是一个集合（简称集）．集合中的每个对象都称为这个集合的元素，集合可以用列举法或描述法来表示．通常用大写英文字母A，B，C等表示集合，用小写英文字母a，b，c等表示集合中的元素．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．6实例考察中自变量的取值范围是在实数范围内的数的集合，简称数集，一些常用的数集及其记法如下表：7区间对于数集，还有一种更为简单的表示方法———区间．设a，b都是实数，且a＜b．89上表中，“－∞”和“＋∞”分别读作“负无穷大”和“正无穷大”．“－∞”和“＋∞”不是数，仅仅是记号，“－∞”表示区间的左端点可以无限地减小，“＋∞”表示区间的右端点可以无限地增大．邻域邻域也是常用到的一个集合概念．设a与δ是两个实数，且δ＞０，开区间（a－δ，a＋δ）称为a的δ邻域，记作U（a，δ），（a－δ，a）∪（a，a＋δ）称为a的去心δ邻域，记作

（a，δ）．10函数的概念函数的定义在某一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x在某个非空的实数集D中的每一个值，按照某个对应关系（或称对应法则）f，y都有唯一确定的值与x对应，那么我们就说y是x的函数，记作y＝f（x），x∈D．其中，x称为自变量，y称为因变量，x的取值范围D称为函数的定义域，与x的值相对应的y的值称为函数值．当x取遍D中所有值时，所得到的函数值y的集合{f（x）丨x∈D}称为函数的值域．11由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等．函数的定义域的确定通常有以下两种情形：对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定定义域；对抽象的算式表达的函数，约定定义域是使得函数表达式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域．12函数的表示法解析法（公式法）用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法．列表法用表格来表示自变量和因变量之间的对应关系的方法．图像法在平面内用图像来表示自变量和因变量之间的对应关系的方法．反函数在函数关系中，自变量与因变量是相对的．例如，对于函数y＝2x，若把x解出，得x＝log2y，则x就成为y的函数．13设函数y＝f（x），定义域为D，值域为M，如果对于M中的每一个y值（y∈M），都可以从关系式y＝f（x）确定唯一的x值（x∈D）与之对应，那么所确定的以y为自变量的函数x＝f－1（y）就称为函数y＝f（x）的反函数，它的定义域为M，值域为D．由此定义可知，函数y＝f（x）也是函数x＝f－1（y）的反函数，即它们互为反函数．习惯上，函数的自变量用x表示，因变量用y表示，所以把函数y＝f（x），x∈D的反函数记为y＝f－1（x），x∈M．函数y＝f（x）的图像与其反函数y＝f－1（x）的图像关于直线y＝x对称．14反三角函数正弦函数y＝sinx，x∈R是没有反函数的，但是在正弦函数y＝sinx的一个单调区间

上，对于y在[－1，1]上每一个值，x在

上都有唯一的值和它对应，因此，函数y＝sinx，

x∈有反函数．函数y＝sinx，x∈的反函数称为反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域为[－1，1]，值域为．类似地，函数y＝cosx，x∈[0，π]的反函数称为反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域为[－1，1]，值域为[0，π]．函数y＝tanx，x∈的反函数称为反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域为R，值域为．函数y＝cotx，x∈（0，π）的反函数称为反余切函数，记作y＝arccotx，它的定义域为R，值域为（0，π）．反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数统称为反三角函数．15函数的基本性质奇偶性设函数y＝f（x），x∈D，定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈D，都有f（－x）＝f（x），则称y＝f（x）为偶函数；如果对于任意x∈D，都有f（－x）＝－f（x），则称y＝f（x）为奇函数．不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数．几何特征：偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称．1617周期性设函数y＝f（x），x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对于任意x∈D，都有x＋T∈D，且f（x＋T）＝f（x），则称y＝f（x）为周期函数，T称为这个函数的周期．对于每个周期函数来说，周期有无穷多个．如果其中存在一个最小正数，则规定这个最小正数为该周期函数的最小正周期，简称周期．我们常说的某个函数的周期通常指的就是它的最小正周期．几何特征：以T为周期的周期函数的图像在定义域内每隔长度为T的区间上形状相同．18单调性设函数y＝f（x），x∈D，区间I⊆D．如果函数y＝f（x）在区间I上随着x的增大而增大，即对于I上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间I上单调递增；如果函数f（x）在区间I上随着x的增大而减小，即对于I上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间I上单调递减．区间I称为y＝f（x）的单调区间．几何特征：单调递增区间上的图像沿横轴正向上升，单调递减区间上的图像沿横轴正向下降．特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增（或单调递减）时，就称f（x）是增函数（或减函数）．1920有界性设函数y＝f（x），x∈D，区间I⊆D．若存在一个正数M，对于任意x∈I，都有│f（x）│≤M，则称函数f（x）在区间I上有界，否则，称f（x）在区间I上无界．几何特征：有界函数的图像全部夹在直线y＝M与y＝－M之间．211.2初等函数22基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数．为了便于同学们复习，现将常见基本初等函数的定义域、值域、图像和性质列表如下：2324252627282930复合函数我们先来看一个例子．设y＝u5，u＝3－2x．把u＝3－2x代入y＝u5可以得到函数y＝（3－2x）5．这个函数就是由y＝u5与u＝3－2x复合而成的复合函数．31复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量，即可以由两个以上的函数进行复合，只要它们依次满足能够复合的条件．另外，对于复合函数，我们要弄清两个问题，那就是“复合”和“分解”．所谓“复合”，就是把几个作为中间变量的函数复合成一个函数，该过程就是把中间变量依次代入的过程；所谓“分解”，就是把一个复合函数分解为几个简单的函数，而这些简单的函数往往都是基本初等函数或是由基本初等函数经过有限次四则运算得到的函数．32初等函数例如，y＝x2－2x＋1，y＝，y＝2x＋xlnx，y＝（1＋cosx）tanx等都是初等函数．而分段函数一般不是初等函数，如符号函数就不是初等函数．绝对值函数y＝丨x

丨虽然是分段函数，但由于

，所以它仍是初等函数．本教材所讨论的函数绝大多数都是初等函数．331.3函数的极限34数列的极限根据定义，“割圆术”中圆面积A＝35有些数列的极限是不存在的，例如：（1）数列{n2}，当n→∞时，n2也无限增大，不能无限接近于一个确定的常数，根据数列极限的定义，这个数列的极限不存在，为方便起见，这时可以记作（2）数列{（－1）n}，当n→∞时，（－1）n在两个数1与－1上来回跳动，也不能无限接近于一个确定的常数，根据数列极限的定义，这个数列的极限也是不存在的．36函数的极限当x→∞时，函数f（x）的极限前面我们讨论了数列的极限．数列{an}可看作自变量为n的函数an＝f（n），n∈N∗．因此，数列的极限

＝a，又可以写成也就是说，当自变量n取正整数且无限增大时，对应的函数值f（n）无限接近于一个确定的常数a．对于一般的函数f（x），当它的自变量x的绝对值无限增大时，我们可以类似地定义．37值得注意的是，上述定义中“x→∞”表示x既可取正值而趋于无穷（记作x→＋∞），也可取负值而趋于无穷（记作x→－∞）．但有时所讨论的x值，只能或只需取正值（或负值）趋于无穷，此时我们可以类似地给出如下定义．38由上述极限的定义，可得结论：

＝A的充分必要条件是39当x→x0时，函数f（x）的极限40值得注意的是，上述定义中“x→x0”表示x可以以任意方式趋近于x0，但有时所讨论的x值，只能或只需从x0的左侧趋近于x0（记作x→x0－）或从x0的右侧趋近于x0（记作x→x0＋），此时我们可以类似地给出如下定义．41由上述极限的定义，可得结论：

的充分必要条件是无穷小与无穷大无穷小注意：（1）无穷小是以零为极限的变量，任何一个很小常数都不是无穷小．（2）常数中只有零可以看作无穷小．（3）不能笼统地说某个函数是无穷小，必须指出自变量的变化过程．因为无穷小是用极限来定义的，在自变量的某个变化过程中的无穷小，在另一个变化过程中则不一定是无穷小．42函数极限与无穷小的关系一般地，函数、函数极限与无穷小三者之间具有如下的关系．43无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下性质．性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小．性质2有限个无穷小的乘积仍为无穷小．性质3无穷小与有界函数的乘积为无穷小．推论常数与无穷小的乘积为无穷小．44无穷大当x→x0（或x→∞）时的无穷大的函数f（x），按函数极限的定义来说，极限是不存在的．但为了便于叙述函数的这一特征，我们也称“函数的极限是无穷大”，并记作45如果当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）大于零且无限增大，这时可记作如果当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）小于零但绝对值无限增大，这时可记作注意：（1）无穷大是变量，任何一个绝对值很大的常数都不是无穷大．（2）说一个函数是无穷大，必须同时指出自变量的变化过程．46无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中，如果函数f（x）为无穷大，则函数

为无穷小；反之，如果函数f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则函数

为无穷大．471.4函数极限的运算法则48函数极限的四则运算法则在下面的讨论中，求极限的过程中自变量的趋向没有标出，表示对任何一个自变量的变化过程都成立，只要在同一问题中的自变量的趋向相同即可．以上法则都可以利用函数极限与无穷小的关系来证明．49证明由函数极限与无穷小的关系，得f（x）＝A＋α，g（x）＝B＋β，其中α，β都是自变量在同一变化过程中的无穷小，于是f（x）·g（x）＝（A＋α）（B＋β）＝AB＋（Aβ＋Bα＋αβ）．由无穷小的性质可知，Aβ＋Bα＋αβ也是无穷小．再根据函数极限与无穷小的关系知道lim[f（x）·g（x）]＝AB．50推论若limf（x）＝A，C为常数，n为正整数，则（1）limCf（x）＝Climf（x）＝CA；（2）lim[f（x）]n＝[limf（x）]n＝An．注意：只有当运算中所涉及的函数极限都存在，且分母的极限不为零时，才能用极限的四则运算法则求极限，否则法则不能使用．51复合函数的极限运算法则前面已经得到，对于多项式函数和有理分式函数f（x），只要f（x0）存在，函数f（x）当x→x0时的极限，等于该函数在x0处的函数值f（x0）．事实上，一切基本初等函数在其定义域内的每一点处同样具有这样的性质，即如果f（x）是基本初等函数，定义域为D，x0∈D，则52类下面给出一个复合函数的极限运算法则．53两个重要极限第一个重要极限

考察当x→0时，函数

的变化趋势如下表．由表我们可以看出，当x→0时，

无限接近于常数1，即54注意：（1）第一个重要极限是

型．（2）形式必须一致，在x的同一个变化过程中，

中的两个φ（x）是同一个无穷小．（3）第一个重要极限也可以写成55第二个重要极限考察当x→∞时，函数

的变化趋势如下表．56由表可以看出，当x→－∞或x→＋∞时，函数的值越来越接近一个确定的常数2.71828···．这个确定的常数用e来表示，即在上式中令t＝，则x→∞时，t→0，于是上式可变成

＝e，即注意：（1）第二个重要极限是1∞型．（2）形式必须一致，在x的同一个变化过程中，中的两个φ（x）是同一个无穷小．57无穷小的比较在无穷小的性质中，我们已经知道两个无穷小的和、差、积仍然为无穷小，那么两个无穷小的商是否为无穷小呢?答案是不定．例如，当x→0时，x2，2x，3x，sinx都是无穷小，而两个无穷小的商的各种极限情况，反映了分子、分母的无穷小趋于零的“快慢”程度的不同．就上面的例子来说，在x→0的过程中，x2→0比2x→0“快得多”，3x→0比x2→0“慢得多”，3x→0与2x→0“快慢相仿”，而sinx→0与x→0“快慢一致”．58为了对无穷小趋于零的快慢有一个定性的描述，我们给出“无穷小的阶”的概念．59由定义可知，当x→0时，x2是比2x高阶的无穷小；3x是比x2低阶的无穷小，3x与2x是同阶无穷小，而sinx与x是等价无穷小．前面我们已经求出，当x→0时，60所以，当x→0时，有下列常用的等价无穷小．sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，对于等价无穷小，有下列性质．定理当x→x0时，α~α′，β~β′，且存在，则这个定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子、分母都可以用等价无穷小来代替，这样可以使计算简化，但当分子或分母是若干项无穷小的和或差时，则一般不能对其中某一项无穷小作等价代换．611.5函数的连续性62函数连续性的概念函数的增量设x0是一个定点，当自变量从初值x0变化到终值x时，我们称自变量终值与初值的差x－x0为自变量的增量（或自变量的改变量），记作Δx，即Δx＝x－x0，从而有x＝x0＋Δx，即x0＋Δx也表示自变量的终值．63设函数y＝f（x）在点x0

的某邻域内有定义，当自变量从x0

变化到x0

＋Δx时，即自变量x在x0

处有增量Δx时，函数y＝f（x）的值相应地从f（x0

）变到f（x0

＋Δx）也产生了一个改变量，我们把Δy＝f（x0

＋Δx）－f（x0

）称为函数y＝f（x）在点x0

处的增量．64函数在一点处的连续性在几何上，函数的增量表示当自变量从x0变化到x0＋Δx时，曲线上对应点的纵坐标的增量．65函数在点x0

处连续，在几何上表示为函数图像在x0

附近为一条连续不断的曲线．从上图可以看出，当自变量的增量Δx趋近于0时，函数的增量Δy也趋近于0．66由于x＝x0

＋Δx，因此Δx→0就是x→x0

；Δy→0就是f（x）→f（x0

）．由此，函数y＝f（x）在点x0

处连续的定义也可叙述如下．67函数在区间上的连续性如果函数f（x）在点x0

处有则称函数y＝f（x）在点x0

左连续（或右连续）．如果函数f（x）在开区间（a，b）内每一点处均连续，则称函数f（x）在开区间（a，b）内连续，区间（a，b）称为函数f（x）的连续区间．如果函数f（x）在开区间（a，b）内连续，且在左端点a处右连续，在右端点b处左连续，即则称函数f（x）在闭区间[a，b]上连续．在几何上，连续函数的图像是一条连续不间断的曲线．基本初等函数在其定义域内是连续的．68函数的间断点由函数f（x）在点x0处连续必须满足的三个条件可知，当函数f（x）出现下列三种情形之一时，x0就为函数y＝f（x）的间断点．（1）f（x0）不存在，即函数f（x）在点x0处无定义；（2）f（x0）存在，但

不存在；（3）f（x0）存在，且

也存在，但

6970初等函数的连续性根据函数在一点的连续的定义和函数极限的四则运算法则，我们可以得到以下结论．定理1（连续函数的四则运算法则）如果函数f（x）和g（x）在点x0处连续，则它们的和、差、积、商（分母在x0处不等于零）也都在x0处连续，即71定理2（复合函数的连续性）如果函数u＝φ（x）在点x0连续，且φ（x0）＝u0，而函数y＝f（u）在点x0连续，则复合函数y＝f（φ（x））在点x0也连续．由基本初等函数的连续性、连续的四则运算法则及复合函数的连续性可得到以下结论．定理3一切初等函数在其定义域内都是连续的．72闭区间上连续函数的性质在闭区间上的连续函数具有一些重要的特性，下面将不加证明直接予以介绍．定理4（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则函数f（x）在闭区间[a，b]上必有最大值和最小值．73定理5（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则它在[a，b]上能取得介于最大值和最小值之间的任何数．推论（零点定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）＝0．推论的几何意义是：如果闭区间[a，b]上的连续函数f（x）在端点处的函数值异号，则函数f（x）的图像与x轴至少有一个交点．74导数与微分第2章75目录2.1导数的概念2.2导数的运算法则2.3微分及应用76教学要求：1.通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义；知道函数可导与连续的关系.3.会利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数.4.掌握复合函数的求导法，会求复合函数的导数.5.掌握隐函数求导的方法，了解参数方程的求导法.6.了解高阶导数的定义和二阶导数的力学意义，会求函数的二阶导数.7.了解微分的定义及几何意义，会求函数的微分，能利用微分解决一些简单的近似计算问题.771.1导数的概念78导数的概念函数在某一点处的导数设函数y＝f（x）在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在点x0处有增量Δx时，函数y有增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），如果极限存在，则称函数y＝f（x）在点x0处可导，并称此极限值为函数y＝f（x）在点x0

处的导数，记作f′（x0）或

或

，即79如果上述极限不存在，则称函数y＝f（x）在点x0

处不可导．函数增量与自变量增量之比

是函数在Δx区间上的平均变化率，而导数f′（x0）则是函数y＝f（x）在点x0处的瞬时变化率，它反映了函数y＝f（x）在点x0处变化的快慢程度．根据导数的定义，实例考察中的两个实例用导数的概念可表述如下：（1）变速直线运动的物体在时刻t0的瞬时速度，就是位移s＝s（t）在t0

处对时间t的导数，即80（2）在直角坐标系中，曲线y＝f（x）在点A（x0，y0）处的切线斜率，就是纵坐标y＝f（x）在点x0处对横坐标x的导数，即函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）也可表示为81函数在某一点处的左、右导数若比值

在点x0处的左极限存在，则称此极限值为f（x）在点x0处左导数，记为f′－（x0）．若比值在点x0处的右极限存在，则称此极限值为f（x）在点x0处右导数，记为f′＋（x0

）．函数y＝f（x）在点x0处可导的充分必要条件是f（x）在该点的左、右导数都存在且相等．82函数的导数如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）内的每一点处都可导，则称函数y＝f（x）在（a，b）内可导．这时，对于（a，b）内的每一个确定的x，都对应着唯一确定的函数值f′（x），于是就确定了一个新的函数，这个新的函数称为函数y＝f（x）的导函数，简称导数，记作f′（x）或y′或

，且显然，函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）就是导数f′（x）在点x＝x0处的函数值，即83导数的几何意义由切线问题的讨论及导数的定义可以知道，函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）在几何上表示曲线y＝f（x）在点A（x0，f（x0））处的切线的斜率，即k＝tanα＝f′（x0）．84过切点A（x0，f（x0））且垂直于切线的直线称为曲线y＝f（x）在点A（x0，f（x0））处的法线．如果f′（x0）存在，则曲线y＝f（x）在点A处的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），法线方程为85可导与连续的关系定理如果函数y＝f（x）在点x0处可导，则函数y＝f（x）在点x0处连续．证明函数y＝f（x）在点x0处可导，即存在，其中Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），得到所以，函数y＝f（x）在点x0处连续．值得注意的是，即使函数y＝f（x）在点x0处连续，函数y＝f（x）在点x0处也不一定可导．862.2导数的运算法则87函数的和、差、积、商的求导法则设函数u＝u（x）与v＝v（x）在点x处均可导．下面我们来考察它们的和y＝u（x）＋v（x）在点x处的导数．当自变量在x处有增量Δx时，函数u＝u（x），v＝v（x）及y＝u（x）＋v（x）相应地分别有增量Δu，Δv，Δy．因为Δy＝[u（x＋Δx）＋v（x＋Δx）]－[u（x）＋v（x）]

＝[u（x＋Δx）－u（x）]＋[v（x＋Δx）－v（x）]

＝Δu＋Δv，88所以由于函数u＝u（x）与v＝v（x）在点x处均可导，即因此，有y′＝u′＋v′，这表明函数y＝u（x）＋v（x）在点x处也可导，即（u＋v）′＝u′＋v′．实际上，我们也可推出它们的差、积、商（当分母不等于0时）在点x处可导．8990复合函数的求导法则利用函数的四则运算的求导法则和基本初等函数的导数公式，可以来求一些简单的函数的导数，对于复合函数的求导问题，我们有如下重要的求导法则．91复合函数求导的关键在于首先把复合函数分解成初等函数，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算．注意求导之后应该把引入的中间变量代换成原来的自变量．对复合函数分解比较熟练后，就不必再写出中间变量，只要明确中间变量所对应的函数表达式，运用复合函数的求导法则，逐层求导．复合函数求导法可推广到两个以上中间变量的情形．92三个求导方法隐函数求导法我们此前遇到的函数都是用y＝f（x）这样的形式来表示，例如，y＝x3－cosx，y＝ln3x等，这种方式表示的函数称为显函数．但有些函数不是以显函数的形式出现的，例如，ex－ey＝xy，x－y＝siny等，这些二元方程也可以表示一个函数，这样的函数叫作隐函数．求隐函数的导数，并不需要先把隐函数化为显函数（事实上，有些隐函数是不能显函数化的），而是可以利用复合函数的求导法则，将二元方程的两边同时对x求导，并注意到y是x的函数，就可直接求出隐函数的导数y′．93至此，我们已经把基本初等函数的导数公式全部推导出，为了方便查阅，汇总如下．94对数求导法在求导运算中，常会遇到这样两类函数的求导问题，一是幂指函数y＝[f（x）]g（x），二是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数．对这样的函数，可先对等式两边取自然对数，把函数变成隐函数的形式，然后利用隐函数求导法求出结果．95参数方程求导法在平面解析几何中，我们学过参数方程，它的一般形式为一般地，上述方程组确定的y与x之间的函数关系称为由参数方程所确定的函数y＝f（x）．例如，已经学过的一种椭圆的参数方程就确定了y与x之间的函数关系，这个函数通过参数t联系起来．96现在来求由参数方程（t为参数，t∈I）所确定的函数y对x的导数，直接消去t有时会很难，事实上，根据复合函数求导法则可知97高阶导数设物体做变速直线运动，它的位移函数为s＝s（t），则它的瞬时速度为v＝s′（t）．此时，若速度v仍是时间的函数，我们可以求速度v＝v（t）对时间t的导数（即速度对时间的变化率），得到物体的瞬时加速度a＝v′（t）＝[s′（t）]′，它是位移函数的导数的导数．这种导数的导数称为s＝s（t）对时间t的二阶导数．98类似地，如果函数y＝f（x）的二阶导数y″的导数存在，这个导数就称为函数y＝f（x）的三阶导数，记作y

‴或f

‴（x）或一般地，如果函数y＝f（x）的n－1阶导数的导数存在，这个导数就称为函数y＝f（x）的n阶导数，记作y（n）或f（n）（x）或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，相应地，称y′＝f′（x）为一阶导数．992.３微分及应用100微分的概念函数的微分的定义设函数y＝f（x）在点x处可导，则f′（x）＝，由无穷小与函数极限的关系可知，于是Δy＝f′（x）Δx＋αΔx．上式表明，当f′（x）≠0时，函数的增量可以分成两部分：一部分是f′（x）Δx，它是Δy的主要部分，且是Δx的线性函数，我们把它称为Δy的线性主部；另一部分是αΔx，当Δx→0时，它是比Δx高阶的无穷小．所以当Δx很小时，可以忽略不计，即Δy≈f′（x）Δx．101一般地，我们给出下面的定义．通常把自变量的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，因此，函数y＝f（x）的微分又可记为dy＝f

′（x）dx．102从而有上式表明，函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于函数的导数，因此导数又叫作微商．在前面我们把

当作一个整体的记号，现在有了微分的概念，

就可以看作是一个分式．从微分的定义可以看出可导与微分之间存在联系，一元函数在某点处可导等价于在某点处可微，把可导函数也称为可微函数．103微分的几何意义设函数y＝f（x）的图像如图所示，过曲线y＝f（x）上一点M（x，y）作切线MT，设MT的倾斜角为α，由导数的几何意义tanα＝f′（x）．当自变量x有增量Δx时，切线MT的纵坐标相应也有增量QP＝tanαΔx＝f′（x）Δx＝dy．104因此，微分dy＝f′（x）Δx图形上表示当x有增量时，曲线y＝f（x）在对应点M（x，y）处的切线的纵坐标的增量．用dy近似代替Δy，就是用点M处的切线纵坐标的增量QP近似代替曲线y＝f（x）的纵坐标的增量QN，且丨Δy－dy丨＝PN，当Δx→０时，丨Δy－dy丨是比Δx高阶的无穷小．105微分公式与微分的运算法则由函数微分的定义dy＝f′（x）dx可知，要计算函数的微分，只需要求出函数的导数，再乘以自变量的微分就可以了．因此，由导数的基本公式和运算法则可以直接推出微分的基本公式和运算法则．微分的基本公式106函数的和、差、积、商的微分法则设函数u＝u（x）与v＝v（x）在点x处均可微，则有（1）d（u±v）＝du±dv；（2）d（uv）＝vdu＋udv，特别地，d（Cu）＝Cdu（C为常数）；（3）

（v≠0），特别地，107复合函数的微分由复合函数的求导法则，可以得到复合函数的微分法则．设y＝f（u），u＝φ（x）均可微，则复合函数y＝f（φ（x））也可微（u为中间变量），且复合函数y＝f（φ（x））的微分为dy＝f′（u）φ′（x）dx＝f′（φ（x））φ′（x）dx．由于φ′（x）dx＝d（φ（x））＝du，所以，复合函数y＝f（φ（x））的微分也可以写成dy＝f′（u）du．从上式的形式来看，它与y＝f（u）（u为自变量）的微分dy＝f′（u）du形式一样．这个性质称为微分形式的不变性．也就是说，不管u是自变量还是中间变量，函数y＝f（u）的微分形式总可以用dy＝f′（u）du来统一表示．利用这一性质可直接求一些复合函数的微分与隐函数的微分．108几个工程上常用的近似计算公式我们知道，当丨Δx丨很小时，函数y＝f（x）在点x＝x0处的增量Δy可用微分dy来代替，即Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）≈dy＝f′（x0）Δx．变形得f（x0＋Δx）≈f（x0）＋f′（x0）Δx，这就是函数值的近似计算公式．在公式中，令x0＝0，Δx＝x，得f（x）≈f（0）＋f′（0）x．109应用函数的近似计算公式可以推出几个工程上常用的近似计算公式（其中x是很小的数值）：（1）sinx≈x；

（2）tanx≈x；（3）arcsinx≈x；

（4）arctanx≈x；（5）ex≈1＋x；

（6）ln（1＋x）≈x；（7）110这里我们来证明公式（7）．证明设函数f（x）＝

则f′（x）＝

，因而有代入函数的近似计算公式，得f（x）≈类似地，可证明其他几个近似计算公式．111导数的应用第3章112目录3.1拉格朗日中值定理及函数单调性的判定3.2

函数的极值与最值3.3

函数图像的凹凸和拐点3.4

曲率3.5

洛必达法则113教学要求：1.了解拉格朗日中值定理及其几何解释.2.掌握用导数判断函数的单调性的方法.3.理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法.4.掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.5.会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点.6.会求曲线的水平、垂直渐近线，会比较准确地描绘函数的图像.*7.理解曲率、曲率半径的定义，掌握曲率的计算方法．8.会用洛必达法则求

型与

型未定式的极限.1143.１拉格朗日中值定理及函数单调性的判定115拉格朗日中值定理定理（拉格朗日中值定理）如果函数y＝f（x）满足：（1）在闭区间

[a，b]上连续，（2）在开区间（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得或f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）．拉格朗日中值定理准确地表达了函数在一个区间上的增量和函数在这个区间内某点处的导数之间的关系．116利用拉格朗日中值定理，还可以得到下面的两个推论．推论1如果函数f（x）在区间（a，b）内可导，且恒有f′（x）＝0，则函数f（x）在区间（a，b）内恒为常数．推论1是“常数的导数等于零”的逆定理．推论2如果函数f（x）和g（x）在区间（a，b）内均可导，且恒有f′（x）＝g′（x），则函数f（x）和g（x）在区间（a，b）内满足f（x）＝g（x）＋C（C为任意常数）．117函数单调性的判定由下图可以看出，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调增加，那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线，这时曲线上各点处的切线的倾斜角都是锐角，因此，切线的斜率都是正的，即f′（x）＞0；同样地，由下图可以看出，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调减少，那么它的图像是一条沿x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点处的切线的倾斜角都是钝角，因此切线的斜率都是负的，即f′（x）＜0．118119120由此可见，函数的单调性与导数的符号有关．定理设函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导．（1）如果在（a，b）内f′（x）＞0，那么函数y＝f（x）在[a，b]上单调增加；（2）如果在（a，b）内f′（x）＜0，那么函数y＝f（x）在[a，b]上单调减少．如果将定理中的闭区间[a，b]改为开区间、半开半闭区间、无穷区间（在其任一有限子区间上满足定理的条件），结论同样成立．如果将定理中的条件“f′（x）＞0（＜0）”改为“f′（x）≥0（≤0），且只在有限个点处的导数值等于零”，结论同样也成立．我们注意到x1＝－1，x2＝1是函数f（x）＝3x－x3单调区间的分界点，此时f′（x）＝0．习惯上，我们把f′（x）＝0的点称为函数的驻点（或稳定点）．由此可见，驻点可能是单调区间的分界点．特别地，导数不存在的点也可能是单调区间的分界点．因此，确定函数的单调性的一般步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出函数f（x）的导数f′（x）；（3）求出函数f（x）的全部驻点及f′（x）不存在的点，并以这些点为分界点把定义域分成若干个子区间；（4）列表讨论f′（x）在各个子区间内的符号，从而确定函数f（x）的单调性或单调区间．1213.２函数的极值与最值122函数的极值函数极值的定义由下图可以看出，函数y＝f（x）在点c1，c4处的函数值f（c1），f（c4）比它们附近各点的函数值都大，而在点c2，c5处的函数值f（c2），f（c5）比它们附近各点的函数值都小．123对于具有上述这种性质的点和对应的函数值，我们给出如下的定义．124关于函数的极值作以下几点说明：（1）函数的极值是指函数值，而极值点是指自变量的值，两者不应混淆．（2）函数的极值概念是函数的局部性质，它只是在与极值点附近的所有点的函数值相比较为最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内为最大或最小．因此，函数的极大值不一定比极小值大．（3）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而函数的最大值或最小值点可能在区间内部，也可能是区间的端点．125函数极值的判定和求法由上图可以看出，在函数取得极值点处，曲线的切线是水平的，即极值点是驻点．反过来，曲线上有水平切线的地方，即驻点处，函数不一定取得极值．由此，我们得到函数取得极值的必要条件．定理1设函数f（x）在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f′（x0）＝0．定理只说明可导函数的极值点必定是驻点．实际上，导数不存在的点也有可能是函数的极值点．126如图所示，函数f（x）在点x0处取得极大值，在点x0左侧单调增加，有f′（x）＞0；在点x0右侧单调减少，有f′（x）＜0．如图所示，函数f（x）在点x0处取得极小值，在点x0左侧单调减少，有f′（x）＜0，在点x0右侧单调增加，有f′（x）＞0．由此，我们得到函数在某点处取得极值的充分条件．127定理2设函数f（x）在点x0的某个邻域内连续，在点x0的去心邻域内可导，则（1）如果当x＜x0时，f′（x）＞0，而当x＞x0时，f′（x）＜0，那么函数f（x）在x0处取得极大值；（2）如果当x＜x0时，f′（x）＜0，而当x＞x0时，f′（x）＞0，那么函数f（x）在x0处取得极小值；（3）如果在x0的两侧，函数f（x）的导数f′（x）符号相同，那么f（x0）不是f（x）函数的极值．128根据上面两个定理，我们可以得到求函数的极值点和极值的一般步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出函数f（x）的导数f′（x）；（3）求出函数f（x）的全部驻点及f′（x）不存在的点，并以这些点为分界点把定义域分成若干个子区间；（4）列表讨论f′（x）在各个子区间内的符号，从而确定函数f（x）的极值点，并判定其是否为极大值点或极小值点，由此求出函数的极值．129定理3设函数f（x）在点x0处具有二阶导数，且f′（x）＝0，f″（x）≠0，则（1）当f″（x）＜0时，函数f（x）在x0处取得极大值；（2）当f″（x）＞0时，函数f（x）在x0处取得极小值．注意：如果函数f（x）在驻点x0处的二阶导数f″（x）≠0，那么该驻点x0一定是极值点，且可以由二阶导数的符号来判定f（x0）是极大值还是极小值．但是如果f″（x）＝0，定理3就失效了．130函数的最值及应用函数最值的求法函数的极值是函数的局部性质，而最值是函数的整体性质．在第1章中，我们已经知道，函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则它在[a，b]上必有最大值和最小值．函数的最值可能出现在区间内部，也可能在区间端点处取得．如果最值在区间（a，b）内部取得，则这个最值一定是函数的极值．因此，求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的方法如下：（1）求出函数f（x）在开区间（a，b）内所有可能的极值点的函数值；（2）求出闭区间[a，b]上端点处的函数值f（a），f（b）；（3）比较以上函数值，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．131函数最值的应用举例（1）建立数学模型，列出函数关系式．分析问题的实际意义，分清并找出已知量和未知量．在实际问题中常常是这样提出问题的：当x为何值时，函数y取得最大值（最小值）?这时要以x为自变量y为因变量，建立函数关系y＝f（x）．（2）求函数的导数等于零的点．求出函数y＝f（x）的导数，令f′（x）＝0，解出函数导数等于零的点．（3）确定最值．结合所求问题的实际意义，如果函数的导数等于零的点只有一个，则该点对应的函数值就是所求问题的最大值（最小值）．如果函数导数等于零的点有多个，则将它们分别代入函数y＝f（x）求出对应的函数值．在这些函数值中最大的数即为函数的最大值，最小的数为函数的最小值．1323.３函数图像的凹凸和拐点133函数图像的凹凸和拐点曲线的凹凸及其判定法如图所示，曲线弧OP在区间（0，x0）内是向下凹的，此时曲线总在其上任一点处切线的上方；而曲线弧PQ在区间（x0，＋∞）内是向上凸的，此时曲线总在其上任一点处切线的下方．134一般地，对于曲线的上述特性，我们给出如下定义：135如果曲线是凹的，曲线上各点处的切线的倾斜角随着自变量x的增大而增大，切线的斜率也是单调增加的．由于切线的斜率就是函数y＝f（x）的导数f′（x），因此，若曲线是凹的，导数f′（x）必定是单调增加的．同样，如果曲线是凸的，曲线上各点处的切线的倾斜角随着自变量x的增大而减小，切的斜率也是单调减少的，因此，若曲线是凸的，导数f′（x）必定是单调减少的．由此可见，曲线y＝f（x）的凹凸，可以由导数f′（x）的单调性来判定，而导数f′（x）的单调性又可以用它的导数，即y＝f（x）的二阶导数f″（x）的符号来判定．136137定理设函数y＝f（x）在开区间（a，b）内具有二阶导数f″（x）．（1）如果在（a，b）内，f″（x）＞0，则曲线在（a，b）内是凹的；（2）如果在（a，b）内，f″（x）＜0，则曲线在（a，b）内是凸的．一般地，在连续曲线y＝f（x）的定义域的区间内，除在有限个点处f″（x）＝0或f″（x）不存在外，若在其余各点处的二阶导数f″（x）均为正（或负）时，曲线y＝f（x）在这个区间上就是凹（或凸）的，这个区间就是曲线y＝f（x）的凹（或凸）区间；否则就以这些点为分界点划分函数y＝f（x）的定义区间，再在各个区间上讨论曲线的凹凸性．138曲线的拐点我们可以按下面的步骤来确定曲线y＝f（x）的拐点：（1）确定函数y＝f（x）的定义域；（2）求出f″（x）；（3）求出使f″（x）＝0和f″（x）不存在的点，并以这些点为分界点把定义域分成若干个子区间；（4）列表讨论f″（x）在各个子区间内的符号，从而确定曲线f（x）的拐点．139函数图像的描绘曲线的渐近线先看下列的例子．（1）如图所示，当x→－∞时，曲线y＝arctanx无限接近于直线y＝－

；当x→＋∞时，曲线y＝arctanx无限接近于直线y＝

．140141（2）如图所示，当x→∞时，曲线y＝

无限接近于x轴（y＝0）；当x→0时，曲线y＝

无限接近于y轴（x＝0）．一般地，对于曲线的上述特性，我们给出如下定义：142函数图像的描绘描绘函数图像的一般步骤如下：（1）确定函数y＝f（x）的定义域，考察函数的奇偶性和周期性，判断曲线的对称性；（2）求出函数的一阶导数f′（x）和二阶导数f″（x），并解出方程f′（x）＝0和f″（x）＝0在定义域内的全部实根以及f′（x）和f″（x）不存在的点，用这些点把定义域分成若干个子区间；（3）列表讨论f′（x）和f″（x）在各个子区间内的符号，从而确定函数f（x）的单调性和极值、曲线f（x）的凹凸性和拐点；（4）确定曲线的水平渐近线和垂直渐近线；（5）需要时，取一些辅助点（例如曲线与坐标轴的交点等）；（6）结合上述讨论结果，描绘出函数y＝f（x）的图像．1433.４曲率144曲率的概念如图所示，相切于M点的两条曲线弧MN1和MN2，长度相等且弯曲程度均匀．它们两端的切线的夹角（简称切线转角）分别为Δα1和Δα2．从直观判断，Δα2大于Δα1，曲线弧MN2比曲线弧MN1更弯曲．实际上，对于长度一定且弯曲程度均匀的曲线弧，切线转角越大，其弯曲程度就越大．由此可以衡量曲线弧的平均弯曲程度．145我们将曲线弧的切线转过的角度Δα与其弧长Δs之比的绝对值称为该曲线弧的平均曲率，记为

，即曲线在其上各点附近的弯曲程度往往不同．因此，曲线弧越短，其平均曲率就能越真实地反映曲线上某一点附近的弯曲程度．于是，我们给出如下定义：146上式表明，曲线的曲率是曲线切线倾斜角关于弧长的变化率的绝对值，它是一个非负数．利用定义计算曲线的曲率是很不方便的，但可以引入坐标系和导数来处理．下面给出平面直角坐标系中曲线y＝f（x）上任意点处的曲率计算公式（推导略）：147曲率圆在研究一般曲线某点的曲率时，往往可以用一个圆弧代替该点附近的曲线．对于这样的圆弧所在的圆，我们给出如下的定义：148如图所示，曲率圆的中心C称为曲线在点M的曲率中心；曲率圆的半径R称为曲线在点M的曲率半径．149如果曲线在点M的曲率是K，则该点曲率圆的曲率同样也是K，则曲线在点M的曲率半径R的计算公式为与之相对应的曲率圆的中心C（a，b）坐标为1503.５洛必达法则151函数连续性的概念当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）和g（x）都趋于零（或都趋于无穷大），则极限可能存在，也可能不存在通常把这种形式的极限称为未定式，并简称为对于未定式，不能直接用极限运算法则求极限．下面介绍求这类未定式极限的一种有效简便的方法———洛必达法则．152

型未定式定理如果函数f（x）和g（x）满足条件：（1）（2）f（x）和g（x）在点x0的某个去心邻域内可导，且g′（x）≠0；（3）存在（或为无穷大）．则153这个定理告诉我们，当也存在，且等于也为无穷大．定理中把x→x0换为x→∞（或其他情形）时，结论同样成立．这种在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则．需要特别说明的是，如果使用一次洛必达法则后，仍未求出极限值，而函数f′（x）和g′（x）仍满足定理的条件，则可继续使用洛必达法则进行计算，即但要注意，如果所求的极限已不是未定式，则不能再应用这个法则，否则将导致错误的结果．154

型未定式对于x→x0时的

型未定式，也有相应的洛必达法则．定理如果函数f（x）和g（x）满足条件：（1）（2）f（x）和g（x）在点

x0的某个去心邻域内可导，且g′（x）≠0；（3）

存在（或为无穷大）．则上述定理中，把x→x0换为x→∞（或其他情形）时，结论同样成立．155除了上述

和

型未定式外，还有0·∞，∞－∞，1∞，∞0，00等类型的未定式．这里所谓0·∞型未定式，是指形如[f（x）·g（x）]的极限中，（x）＝∞，并此可理解其他几种类型的未定式．一般地，这些类型的未定式通过变形总可以化为型或型，然后利用洛必达法则求其极限．156积分及应用第4章157目录4.1积分的基本概念4.2积分法4.3定积分的应用4.4广义积分158教学要求：1.理解定积分的概念及性质，能正确使用有关术语及符号.2.了解导数（或微分）与积分的联系，理解原函数的概念，知道积分上限函数

f（t）dt可导时，就是f（x）在［a，b］上的一个原函数.3.掌握微积分学基本公式（牛顿-莱布尼兹公式）.4.理解不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式.5.熟练掌握第一换元积分法.6.掌握第二换元积分法（仅限于简单的根式代换和三角代换）.7.熟练掌握不定积分的分部积分法.1598.会查简易积分表.9.掌握用微元法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力.10.掌握用定积分求平面图形的面积，能用定积分求绕坐标轴旋转生成的旋转体体积.11.了解定积分在其他方面的一些应用.12.了解广义积分的概念和计算方法.1604.１积分的基本概念161定积分的概念及性质定积分的定义要计算的量（曲边梯形的面积A及变速直线运动的路程s）的实际意义不同（前者是几何量，后者是物理量），但解决的方法是相同的，都归结为求一个和式的极限．在科学技术上有许多实际问题都可以归结为某种特定的和式极限．为此，我们给出如下定积分的定义：162163利用定积分的定义，实例考察中的两个问题可以表述如下．若f（x）≥0，由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形的面积A等于曲边函数f（x）在其底所在的区间[a，b]上的定积分，即变速直线运动的物体从时刻T1到时刻T2这段时间内所经过的路程s等于其速度函数v＝v（t）在时间区间[T1，T2]上的定积分，即164165关于定积分的定义，做以下几点说明：（1）当和式的极限存在时，其极限值仅与被积函数f（x）及积分区间[a，b]有关，而与区间[a，b]的分法及点ξi的取法无关．（2）定积分的值与表示积分变量的字母无关，即有（3）在定积分的定义中，要求满足a＜b，为了以后计算方便起见，对于a＞b及a＝b的情形，我们给出如下的补充约定定积分的几何意义我们已经知道，如果函数y＝f（x）在[a，b]上连续，且f（x）≥0，则定积分

f（x）dx在几何上表示由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形的面积A，即如果函数y＝f（x）在[a，b]上连续，且f（x）≤0，此时由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分f（x）dx在几何上表示曲边梯形面积A的相反数，即166167如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，且f（x）有时为正，有时为负，则定积分

f（x）dx在几何上表示曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的几块曲边梯形中，在x轴上方的各曲边梯形面积之和，减去在x轴下方的各曲边梯形面积之和．总之，定积分f（x）dx在各种实际问题中所代表的实际意义虽然不同，但它的数值在几何上都可用曲边梯形面积的代数和来表示，这就是定积分的几何意义．168定积分的几何意义直观地告诉我们，如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，那么，由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的各部分面积的代数和是一定存在的，即f（x）在区间[a，b]上一定是可积的．另一种情形，当函数f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点时，f（x）在区间[a，b]上也一定是可积的．为此，我们有下面两个定积分存在定理：定理1设函数f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积．定理2设函数f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在区间[a，b]上可积．169定积分的性质在下面的讨论中，各性质中积分上下限的大小，如无特别说明，均不加限制，并假设各函数在积分区间上都是可积的．性质1如果在区间[a，b]上，f（x）恒等于1，则性质1的几何解释如图所示．性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外，即其中k为常数．170性质3两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即这是因为性质3对于有限个可积函数代数和的定积分也是成立的．171性质4如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a＜c＜b，则如图所示，性质4说明定积分对积分区间具有可加性．这个性质可以用来求分段函数的定积分．另外需要说明的是，如果a，b，c是任意三个实数，性质4同样成立．172利用性质4和定积分的几何意义，可以看出奇函数和偶函数在对称于原点的区间（简称对称区间）上的定积分有以下计算公式：（1）如果f（x）在[－a，a]上连续且为奇函数，则（2）如果f（x）在[－a，a]上连续且为偶函数，则性质5如果在区间[a，b]上，f（x）≤g（x），则性质5可以用来比较两个定积分的大小．173性质6（定积分估值定理）设M与m分别是f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值，则如图所示，性质6可用来估计定积分值的大致范围．174性质7（定积分中值定理）如果f（x）在[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一点ξ，使下式成立：如图所示，定积分中值定理的几何意义是：在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得以区间[a，b]为底边，以曲线y＝f（x）为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f（ξ）的矩形的面积．175因此，我们把f（ξ）＝（x）dx称为连续曲线f（x）在[a，b]上的平均高度，或称为连续函数f（x）在[a，b]上的平均值．这是有限个数的算数平均值概念