2023-2024学年级广元中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2023-2024学年级广元中学高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项:

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5亳米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.右43。的内角的对边分别为若（2CL/?）COSC=CCOS3,则内角C=（）

7171

D.

62

2.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,

设计两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐

第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为Pl,P2,则（)

115

A.Pi*P：=—B.Pi=P2=_C.Pi+Pz=-D.Pi<P

4362

3.设i是虚数单位，复数比二()

।

A.-l+iB.-1-iC.1+iD.1-i

4.=是“函数/（为）=（方-3〃-1卜〃（。为常数）为募函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

2x/34x/3

亍亍

6.设。=log?3,b=log46,c=5^',则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

7.在钝角ABC中，角A&C所对的边分别为8为钝角，若acosA=〃sinA,则sinA+sinC的最大值

为（）

l97

A.V2B.-C.1D.-

88

8.如图所示是某年笫一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）

与

大

6469.3

年

同

K9.6

期

相

2M2.2比

K增

率

{

求

东

山)

A.该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省

B.与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长

C.该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个

D.去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元

9.已知函数/（x）在R上都存在导函数广（x）,对于任意的实数都有?谭当x<0时，/0）+/'*）>0,

若6“/（2。+1）之/（。+1）,则实数。的取值范围是（）

21r

A.0,-B.--,0C.[0,+oo）D.（-oo,0]

JJ

10.已知集合4=卜|/一2X一15>0],B={x\0<x<7}t贝iJ（M4）UB等于（）

A.[-5,7）B.[-3,7）C.（-3,7）D.（-5,7）

11.如图，在平行四边形ABC。中，。为对角线的交点，点?为平行四边形外一点，且A/MO4,3。〃。4,则。夕=

()

ArB

3一—

A.D4+2OCB.-DA+DC

3—1——

C.2DA^-DCD.-DA+-DC

22

12.设双曲线「一与=1（«>0,5>0）的一个焦点为尸（c,0）（c>0）,且离心率等于石，若该双曲线的一条渐近

crb-

线被圆f+y2・2cx=0截得的弦长为2百，则该双曲线的标准方程为（）

A厂）厂1R厂K1

20525100

x222

C.—-^-=1D.---^-=1

520525

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

y>（）

13.若实数%，）'满足不等式组（2X-），+3N0,则z=2），一工的最小值是一

x+y-l<0

14.己知数列｛qj为正项等比数列，=27,则6生+46o的最小值为______.

432

15.甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为一和一；乙笔试、面试通过的概率分别为；和

543

若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是___________.

2

a+2〃=2k—]&£N*

16.己知数列也｝的前〃项和为S,tM=lM=2,%+，=〈"'一，，二，则满足201945“W3000的正整

2an,n=2k,ksN

数加的所有取值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）椭圆W：1+£=1（。>方>0）的左、右焦点分别是耳，K,离心率为立，左、右顶点分别为A,

a'b~'2

氏过F,且垂直于工轴的直线被椭圆W截得的线段长为1.

（1）求椭圆W的标准方程；

（2）经过点P（l,o）的直线与椭圆卬相交于不同的两点C、D（不与点A、4重合），直线C8与直线x=4相交于

点M,求证；A、。、"三点共线.

7T

18.（12分）如图，四棱锥E—A8C。中，平面A8CQ_L平面3CE,若NBCE=一,四边形ABC。是平行四边形,

2

且AE_L3D.

（I）求证：AB=AD；

（II）若点尸在线段AE上，且EC//平面8。产，ZBCD=60°,BC=CE,求二面角4一8/一。的余弦值.

19.（12分）已知函数/（X）=/一x+1,且〃?,〃tR.

（1）若加+2〃=2,求/（㈤+2/（"）的最小值，并求此时利,〃的值；

（2）若|加-〃|<1,求证：|/（〃。一/（〃）|<2（|〃7|+1）.

20.（12分）我们称〃"EN"）元有序实数组（M，x2,x.）为〃维向量，之㈤为该向量的范数.已知〃维

1=1

向量。二（%,%，，%），其中％£卜1.0,1｝,，=1,2,〃.记范数为奇数的〃维向量。的个数为4,这4个向量

的范数之和为纥.

（1）求&和冬的值；

（2）当〃为偶数时，求A.，纥（用〃表示）.

21.（12分）已知各项均为正数的数列｛q｝的前"项和为S“，且S”是%与，-的等差中项.

（1）证明：｛S；｝为等差数列，并求S.；

（2）设——数列｛〃｝的前〃项和为乙，求满足425的最小正整数〃的值.

22.（10分）已知数列｛4｝的前〃项和为S”，且满足2S〃=〃-//（〃eN"）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

(n=2k-\)

」一十〃对

(2)设口=<2(AwN"),数列也｝的前〃项和人若

71------------V5=2公\4,2〃+2

(1一*(1一%+2)

恒成立，求实数。，〃的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得.

【详解】

V(2a-b)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA-sinB)cosC=sinCeos

A2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

1Ji

三角形中sinArO,・・・COSC=E，，。=].

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键.

2、C

【解析】

将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.

【详解】

三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321

3

方案一坐车可能：132、213、231,所以，Pi=-

6;

2

方案二坐车可能：312、321,所以，Pi=-；

6

所以

6

故选c.

【点睛】

本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.

3、D

【解析】

利用复数的除法运算，化简复数匕1ul-i,即可求解，得到答案.

1

【详解】

1+i(1+i)•(-i)

由题意，复数一='.).-l-i，故选D.

1ix(-i)

【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力,

属于基础题.

4、A

【解析】

根据幕函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.

【详解】

•・•当函数)("=(助2-3。-1卜"为黑函数时，加一30-1=1,

解得0=2或_!，

2

・・・“力=2”是“函数/(力=(2〃—3〃-1卜“为第函数”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考杳了充分必要条件的概念和判断，幕函数定义的应用，属于基础题.

5、A

【解析】

根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.

【详解】

由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：

D

其中，底面为直角三角形，AD=21AE=>/3>高为A8=2.

，该几何体的体积为V=4x2x6x2=26

2

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.

6、A

【解析】

先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较a瓦再由中间值1可得三者的大小关系.

【详解】

6z=log23e(l,2),b=log46=log276G(1,log23),€=5^s(O,l),因此故选：A.

【点睛】

本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.

7、B

【解析】

首先由正弦定理将边化角可得cosA=sinA,即可得到A=再求出BE1[,芬],最后根据

2124)

sinA+sinC=sinB-^J+sin7r-\B-^-B求出sinA+sinC的最大值；

【详解】

解：因为acosA=Z?sinA,

所以sinAcosA=sinBsinA

因为sinAwO

所以cosA=sin8

•.A"]

0八<AA<—兀0<B——<—

222

71八,\/.COSBG

—<B<兀，即—<B<7T

22124J呼。)

<C<0.仿/)(工71

°f2)2

/.sinA-sinC=sinIB--71+sin4一B--j-B

2J2

=-cos8-cos28

=-2cos2B-cosB+1

if9

cosB+一+—

48

9

...COSB=——G—,0时(sinA+sinC)m、x

48

故选：B

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.

8、D

【解析】

根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.

【详解】

由折线座可知A、B项均正确，该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的

省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；4632.1+(1+3.3%”4484<4500.

故D项不正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.

9、B

【解析】

先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.

【详解】

令g(x)=eV(x),则当x<0时，，。)=，[/*)+/'*)]>()，

又g(-x)=e-xf{-x)=exf(x)=g(x),所以g(x)为偶函数，

从而，/(2。+1)2/(。+1)等价于e2W/(2a+l)N，*/(a+l),g(2a+l)Ng(a+l),

2

因此g(—12〃+1|)之g(—+—12，+1|2—|4+1|,3/+2。《0...一5《〃40.选8.

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.

10、B

【解析】

解不等式确定集合A,然后由补集、并集定义求解.

【详解】

由题意力={%|12-2x-15>0}={x|x<-3或工>5},

/.={x|-3<x<5|,

◎A)|jB={x|_3Wx<7}.

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型.

11、D

【解析】

连接。P,根据题目，证明出四边形4P。/)为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案

【详解】

DC

连接。P,由AP||OB,BP"OA知,四边形APB。为平行四边形，可得四边形4P。。为平行四边形，所以

113-1-

DP=DA+DO=DA+-DA+-DC=-DA+-DC.

2222

【点睛】

本题考查向量的线性运算问题，属于基础题

12、C

【解析】

由题得£二6，bC2又/+〃=/,联立解方程组即可得4=5,〃=20,进而得出双曲线

z,=b=Jc-5f

a\Ja~+b~

方程.

【详解】

由题得e=£=6①

a

又该双曲线的一条渐近线方程为班-4=0,且被圆好+炉-2cx=0截得的弦长为2石，

所以/"=b=&2-5②

Wr+Zr

又〃2+。2=。2③

由①②③可得："=5,从=2(),

所以双曲线的标准方程为工-工=1.

520

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-1

【解析】

作出可行域，如图：

由z=2y-x得y=:x+gz,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值，A（1,0）

所以4而=-1

故答案为・1

14、27

【解析】

利用等比数列的性质求得4，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.

【详解】

由等比数列的性质可知4=3,则生《0=9,

64（）+4%+=9+3%+3%o>9+=9+64=27.

当且仅当%=4。=3时取得最小值.

故答案为：27.

【点睛】

本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题.

15.1

15

【解析】

分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果.

【详解】

433211

甲被录取的概率Pi=三*工=三；乙被录取的概率p?=鼻、5=可；

JJD乙J

3212s

「•只有一人被录取的概率〃=q（1_外）+〃2（1_四）=三*4+4*1二R.

JJJJ1J

故答案为：—.

【点睛】

本题考食独立事件概率的求解问题，属于基础题.

16、20,21

【解析】

由题意知数列｛a,,｝奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据〃为奇数和〃为偶数分别算出求和公式,代入数

值检验即可.

【详解】

解：由题意知数列｛。”｝的奇数项构成公差为2的等差数列，

偶数项构成公比为2的等比数列，

则J+I+2"T)"+2(I-2-)=力+公_2；

口/+2伏-1)］驾£^=2叫我2-2.

21-2

当左二10时,59-2'°+102-2-1122,5^-2"+102-2-2146.

2122

当〃=11时,S21=2"+11-2=2167,522=2+11-2=4215.

由此可知，满足20194S,”<3(X)0的正整数〃z的所有取值为20,21.

故答案为：20,21

【点睛】

本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式，是综合题，分清奇数项和偶数项是解题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)—+/=1；(2)见解析

4

【解析】

(1)根据已知可得丝1=1,结合离心率和亿〃，。关系，即可求出椭圆W的标准方程：

a

(2)CD斜率不为零，设CD的方程为x=，〃.y+l,与椭圆方程联立，消去X,得到纵坐标关系，求出方

程，令1二4求出例坐标，要证A、。、M三点共线，只需证女皿-Kw=0,将原。一的M分子用纵坐标表示,

即可证明结论.

【详解】

V-2V2

（1）由于一力2,将1=一《•代入椭圆方程0+2T=1,

a2b2

得y=±S,由题意知尘=1,即〃=2".

aa

又e=£=立，所以a=2,b=\,

a2

所以椭圆卬的方程为上+V=i.

4.

（2）解法一：

依题意直线CO斜率不为0,设。。的方程为x=my+l,

x=my+1

联立方程消去X得(m2+4)),2+2^-3=0,

厂2.

一+y=1

4-

由题意，得』＞0恒成立，设。（为，必），。（工2，）’2），

S、I2/773

所以y+%=——「■，XM=——

加“+4nr+4

直线C8的方程为）'二上;（无一2）.令1=4,得加（4,巨、）.

x1-2Xj-2

又因为力（一2,0）,D（x2,y2）,

则直线AM的斜率分别为勖=仁

所以“2去一六T*瑞产

上式中的分子3%(%-2)-y(x2+2)=3y2(myl-l)-yl(my2+3)

-6m+6/77

=2〃%%一3(凹+%)二=0,

m2+4

•.•仁＞一心”=。•所以A,D,M三点共线.

解法二:

当直线CD的斜率A不存在时，由题意，得C。的方程为％=1,

代入椭圆W的方程，得C（1「C）,。（1,-

直线CB的方程为），=-比2）.

则M（4,-6），人M=（6,-G）,4。=（3,-券），

所以AM=2A。，即4，D,M三点共线.

当直线CO的斜率上存在时，

设CO的方程为y=k（xT）（AwO）,C（x，y）,。（々，为），

联立方程消去丁，得（41+1比2—8人+4公一4=0.

由题意，得4>0恒成立，故必"'内/一而十

直线C8的方程为)2).令1=4,得M(4,2、).

又因为4-2,0),D(x2,y2)t

则直线4。，AM的斜率分别为心。=37，L=/二、，

X2+23(七一2)

-k-必X_3%(4-2)-)，仆2+2)

所以的A"X2+23(^-2)3(X,-2)(X2+2),

上式中的分子3y2(%-2)-%(x2+2)=3k(々-1)(芭一2)一-再一1)(占+2)

4公一48左2

、、攵(内左

=2kxx-5+x',)+8Z=2kx47,2--।--1--5kx-Ai-l-.1+8=0

所以原「女■=0.

所以A,D,M三点共线.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查

计算求解能力，属于中档题.

18、(I)见解析(II)

7

【解析】

(I)推导出BC_LCE,从而EC_L平面A8CO,进而ECLBDt再由BD±AEf得3O_L平面

A£C,从而8O_LAC,进而四边形ABCD是菱形，由此能证明AB=AD.

(II)设AC与"。的交点为G,推导出EC〃FG,取3c的中点为0,连结OD,则OO_L6C,以0为坐标原点，以过点。

且与CE平行的直线为x轴，以6c为y轴，O0为z轴，建立

空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.

【详解】

71

(I)证明：4BCE=—，即3C_LCE,

2

因为平面平面BCE,

所以EC_L平面A8CO,

所以EC_L30,

因为BD上AE，

所以3O_L平面AEC,

所以5O_LAC,

因为四边形ABC。是平行四边形，

所以四边形A8C。是菱形，

故AB=A。；

解法一：(II)设AC与3。的交点为G,

因为EC//平面8。厂，

平面AECI平面33尸于尸G,

所以EC//FG,

因为G是AC中点，

所以尸是AE的中点，

因为N3CD=60。，

取8C的中点为。，连接8,

则O£)ABC,

因为平面A3C0_L平面BCE,

所以面

以。为坐标原点，以过点。且与C石平行的直线为X轴，以9C所在直线为）'轴，以8所在直线为Z轴建立空间直角

坐标系.不妨设AB=2,则8（0,—1,0）,A（0,—2,6）,。（0,0,6）,F1,——,BF=1,—

\/\

B4=（0.-l,V3）,5D=（0,1,73）,

设平面力8尸的法向量4=（%，X，zJ,

1币_八

则产匕1。,取4=卜"①1）,

-y}+V3z）=0

同理可得平面DBF的法向量%=（0.-1）,

设平面ABF与平面DBF的夹角为6,

因为cos（〃i，〃2）4•%_2_\jl

勺n22,J77

所以二面角4一8/一。的余弦值为立.

7

解法二：（II）设AC与区。的交点为G,

因为EC7/平面BOb,平面AECI平面BDF于FG,

所以EC//FG,

因为6是4。中点，

所以/是AE的中点，

因为AC_L3。，AC.LFG,

所以ACJL平面8。尸，

所以4CJ_K/，

取Bb中点”，连接G〃、AH.

因为尸G=8G,

所以GHA.BF,

故Z?77J_平面A"G,

所以即NA//G是二面角A-4b-力的平面角,

不妨设AB=2,

因为AG=G，GH=—f

2

在R/AAG”中，tanZ.AHG=4b,

所以cos/AHG二立，所以二面角A—斯一Q的余弦值为立.

77

【点睛】

本题考查求空间角中的二面角的余弦值，还考查由空间中线面关系进而证明线线相等，属于中档题.

72

19、(1)最小值为一，此时机=〃=一；(2)见解析

33

【解析】

(1)由已知得/(〃?)+2/(〃)=(nr+2n2)-(m+2i)+3=>+2n~+1,

法一:・・・〃z+2〃=2,.“xZ-Z”，根据二次函数的最值可求得；

法二:运用基本不等式构造〃22+2/N，〃/+4加〃+4/)=；(/〃+2〃)2=g,可得最值；

法三：运用柯西不等式得：nr+2n2=-(m2+n2+n2)(l2+12+12)>-(//?+//+n)2,可得最值；

(2)由绝对值不等式得，-*"z+〃一又

|m+n-l|=|(H-/n)+(2w-l)|<|w-«]+|2/?z-l|<1+(2同+1)=2(同+1),可得证.

【详解】

(1)f(tn)+2/(n)=(w2+2n2)-(m+2n)+3=nr+2n2+1，

法一:,.•/??+2〃=2,/.m=2-2n,

277

f(m)4-2f(〃)=(2-2n)2+2/?2+1=6n2-8〃+5=6(〃——)2+->—

72

.•./(加)十2八〃)的最小值为飞，此时刀=)=,；

JJ

22222222222

法二:fn+2n=—(3m+6n)=—[m+2(//z+n)+4/?1>—(m4-4n)=—(m+2n)=—t

33

4772

.*./(W)4-2/(n)>-+l=-,即/(M+2/(〃)的最小值为§,此时机=〃=§；

法三：由柯西不等式得：

1114

m2+2n2=—(m2+〃？4-/?2)(12+124-12)>—(m+n+n)2=—(6+2〃)？=—,

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.•./.(相)+2f⑺>-+l=-,BP/(/n)+2/(/?)的最小值为-,此时m=/?=-；

(2)|w—/?|<1,二•|1(加)-fW\=|(/n2-n2)-(m-w)|=|/n-w|•仙+n-l|<|m+n-l|,

X|/n+n-l|=|(n-nz)+(2/n-l)|<|zn-n|+|2/n-l|v1+(2帆+1)=2伽+|1),

：\f(ni)-f(n)|<2(|w|+1).

【点睛】

本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.

20、(1)4=4,&=4.(2)纥=〃

【解析】

(1)利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来，再做和；(2)用组合数表示4和4,再由公式

(〃一攵)c：=%L或AC：=〃c二将组合数进行化简，得出最终结果.

【详解】

解：(1)范数为奇数的二元有序实数对有：(TO),(0,-1),(0,1),(1,0),

它们的范数依次为1,1,1,1,故4=4,4=4.

(2)当〃为偶数时，在向量。二(%,工,刍,…，皿)的〃个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以

可按照含0个数为：1,3,…，应一1进行讨论：。的〃个坐标中含1个0,其余坐标为1或一1,共有C：-2"T个，每

个〃的范数为〃一1;

〃的〃个坐标中含3个0,其余坐标为1或一1,共有C，2”-3个，每个〃的范数为〃-3；

〃的〃个坐标中含〃-1个0,其余坐标为1或-1,

共有C；：，2个，每个〃的范数为1；所以

4=c：•+c：♦r-3+…+•2,

纥=(〃f.C：.2"T+(〃-3)C：2-3++C「2

因为(2+1)"=C；.2"+C：•2〃T+c：•r-2+…+C；,①

(2-1)"=Cj；-T-C；,-T-l+C；-2n-2-+(T)"C；，②

①:②得，C：.2〃T+C：.2”-3+=写1,

所以4=亨・

.(〃一

解法h因为n(〃M)C：=("Z)•而R=〃•域二备=“3,

所以纥二(〃一1)•C：•2'1+(〃-3)•C：•2〃-3++C；：-'.2.

=〃(*・2〃T+C>2"-3+,..+C；；2)

=2〃(C%2〃-2+c3.2i+，,+C")

=2"•(宁卜"fl).

解法2：1''②得,C〉2〃+C>2""+=与也・

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,（〃一11!,

又因为《"所念广,.（」）!（,一）广心£，所以

(〃一1)!

n\=〃叱；

人