2023级高二年级数学试题含答案

2023级高二年级数学试题一、单选题1．平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】B2．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B3．如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（

）

A． B．C． D．【答案】A4．若直线平分圆的周长，则等于（

）A．9 B． C．1 D．【答案】B5．已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A6．已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（

）A．20 B．16 C．18 D．14【答案】C7．已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由直线过定点，又由曲线，可得，作出曲线与直线的图象，如图所示，因为直线，可得，又由，解得，若直线与曲线有公共点，则，即实数的取值范围为.故选：B.8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取点，推理证明得，把问题转化为求点M到定点B，N距离和的最小值作答.【详解】如图，点M在圆上，取点，连接，有，当点不共线时，，又，因此∽，则有，当点共线时，有，则，因此，当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取等号，所以的最小值为.故选：C【点睛】方法点睛：圆及圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、多选题9．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（）A．始终过定点 B．若，则或C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限【答案】ACD【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确；选项B：当时，，重合，故B错误；选项C：当时，由，得或2，故C正确；选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.故选：ACD10．在棱长为2的正方体中，点分别是线段，线段，线段上的动点（包含端点），且．则下列说法正确的有（

）A．平面B．异面直线与所成的最大角为C．三棱锥的体积为定值D．当四棱锥的体积最大时，该四棱锥外接球的表面积为【答案】ACD【详解】选项A：连结，因为在正方体中，，所以又易知四边形为矩形，所以所以，又因为平面，平面，所以平面，故选项A正确.选项B：又，因此，因此直线MN与AP所成的角就是直线与AP所成的角，当P为中点时，直线与AP所成的角最大为90°，故选项B错误.选项C：观察可知，三棱锥的体积为，故三棱锥的体积为定值，故选项C正确.选项D：由正方体的性质可知，当四棱锥的体积最大时，与重合，此时四棱锥的外接球为正方体的外接球，表面积为，故选项D正确.故选：ACD.11．已知点在圆上，点、，则（

）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，【答案】ACD【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.三、填空题12．若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为.【答案】13．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为【答案】/0.514．已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是【答案】或．【详解】圆，则圆心为，半径，设两切点为，则，因为，在中，，所以,因此只要直线上存在点，使得即可满足题意．圆心，所以圆心到直线的距离，解得或．故答案为：或．

四、解答题15．已知圆和圆．(1)求证：圆和圆相交；(2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长．【答案】(1)证明见解析；(2)公共弦方程为，公共弦的长为.【详解】（1）由题设，则，，则，所以，即圆和圆相交；（2）由（1）结论，将两圆方程作差得，即公共弦方程为，又到的距离，所以公共弦的长为.16．已知动点与两个定点，的距离的比是2.(1)求动点的轨迹的方程；(2)直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【详解】（1）设点，动点与两个定点，的距离的比是，，即，则，化简得，所以动点的轨迹的方程为；（2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，直线被曲线截得的弦长为，圆心到直线的距离，①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离，化简得，解得或，此时直线的方程为或.综上，直线的方程是或.17．已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P为C上一点，且，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以，则，，由椭圆的定义可得，所以，故椭圆的标准方程为.（2）因为，所以，所以，所以.18．在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为.19．已知椭圆：的右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴，与有两个交点A，B，线段的中点为M.(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；(3)延长线段与椭圆交于点P，若四边形为平行四