菱形的性质与判定 同步练习题 鲁教版（五四制）八年级数学下册（含答案）

鲁教版八年级数学下册6.1菱形的性质与判定同步练习题

1.已知菱形的两条对角线的长分别为6。“和8a”，则这个菱形的面积是)

A.20cm2B.24cm2C.48sz2D.100cm2

2.如图，菱形ABC。中，AC=6,BD=8,于点H,则A”=()

「2412

A.24B.10D.

5~5

3.如图，在菱形A8C£＞中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE1_8c于点E.PF1AB

于点凡若菱形ABC。的周长为24,面积为24,则PE+P尸的值为（)

2448

A.4B.C.6D.

~5~5

4.菱形的一个性质是（)

A.四个角相等B.四条边相等C.对角线相等D.对角互补

5.如图，在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC与8。相交于点。，且AC=6.AELCO于

)

12「24

A.4B.D.5

~55

6.如图，在菱形A8C。中，AB=4,/区40=120°,AAEF为等边三角形，点E,尸分别

在菱形的边BC,CD上滑动，且£,尸不与B,C,D重合，则四边形AECF的面积是（）

4C.3D.3&

7.如图，在菱形ABC。中，ZA=60°,A3=4,点P是AB边上的一个动点，点E,F分

别是DP,BP的中点，则线段EF的长为（）

D.2M

A.对角线互相平分B.对角线相等

C.对角线互相垂直D.对边平行且相等

9.如图，在菱形A8C。中，对角线AC、BD相交于点。，于点E,若/AOC=110

°,则NAOE的大小为（）

A.20°B.35°C.55°D.70°

10.在。ABC。中，添加以下哪个条件能判断其为菱形（）

A.AB1BCB.BCLCDC.CD±ACD.AC±BD

11.如图，在四边形A8CO中，点E,P分别是AZ）,8c的中点，G,H分别是BD,AC的

中点，AH,CO满足什么条件时，四边形EG尸”是菱形（）

B

A.AB=CDB.AB//CDC.AC=BDD.AD=BC

12.下列说法中，正确的是（）

A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形

C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形

13.已知平行四边形ABCD,下列条件：®AC±BD；②N8AO=90°；®AB=BC^@AC

=BD.其中能使平行四边形ABC。是菱形的有（）

A.①③B.②③C.③④D.①②®

14.下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（）

A.一组邻边相等的平行四边形

B.一条对角线平分一组对角的四边形

C.四条边都相等的四边形

D.对角线互相垂直平分的四边形

15.顺次连接矩形A8CO各边中点所得四边形必定是（）

A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形

16.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的平行四边形ABC。是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.无法确定

17.如图，菱形ABC。的对角线AC,8。相交于点。，点E为43中点，若。4=8,OE=5,

则菱形ABCD的面积为.

18.如图，在四边形A3CQ中，AD//BC,AB=AD,下列条件①AC,20；②0A=0C；③

AC平分NBC。；@ZABC=ZADC,能判定四边形A8C£＞是菱形的有.（填写

序号）

19.如图，四边形ABC。是菱形，对角线AC、8。相交于点0,DHLAB于H,连接。H,

（1）求证：ZDHO=ZDCO.

（2）若0C=4,BD=6,求菱形ABCO的周长和面积.

20.如图，E为菱形ABCO的对角线BO延长线上一点，连接AE,CE.

(1)求证：AE=CE-

(2)若2C=10,AE=13,ZABC=60°,求3E的长.

21.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点尸，交AB于点E,连接

DF.

(1)求证：AF=DF-

(2)若NBAD=76°,求的度数.

22.已知：如图，在菱形ABCD中，尸为边AB的中点，R7与对角线8。交于点G,过G

作GE_LBC于点E,NADB=NFCB.

(1)求证：AB=2BE；

(2)求证：DG=CF+GE.

23.如图，在。ABCC中，G为8C边上一点，DG=DC,延长OG交48的延长线于点E,

过点A作力?〃EZ)交8的延长线于点F.求证：四边形4EDF是菱形.

24.已知：如图，在四边形A8C。中，AB//DC,对角线AC、8。交于点。，过点C作CE

_LCC交AB的延长线于点E,联结OE,OC=OE.

(I)求证：OE=LC；

2

(2)如果。B平分NAOC,求证：四边形ABC。是菱形.

25.在RtZVIBC中，ZBAC=90°,。是8C的中点，E是AO的中点，过点A作4尸〃BC

交BE的延长线于点凡连接CF.

(1)求证：AF=BD.

(2)求证：四边形ADCF是菱形.

26.如图，在△4BC中，49是NBAC的平分线，E尸垂直平分AD交A8于E,交AC于F.

求证：四边形AEDF是菱形.

E/Oi

27.如图，四边形A8C。、DE8尸都是矩形，AB=BF,AD,BE相交于M,BC、。尸相交于

N.求证：四边形BMQN是菱形.

E

F

28.如图，已知△ABC中，。是边上的一点，E是AO的中点，过A点作BC的平行线,

交CE的延长线于点凡且AF=B。，连接BE

(1)求证：BD=CD；

(2)若四边形AF8。要为菱形，则需要添加什么条件？证明你的结论.

29.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,BC=3AD,BE=2EC,AC平分NE43.

(1)求证：四边形AECO是菱形：

(2)若BC=6,NA£>C=120°,求AASE的面积.

30.如图，△ABC中，AB=AC=2,ZBAC=30°,△AOF丝△ABC,AD±AC,连接BD、

CF交于点E.

(1)求证：四边形A3EF为菱形；

(2)求CE的长.

31.如图，在四边形A8C£>中，AB=AD,ND4B=90°,4c平分ND48,作。E〃BC交

AC于点E,连接BE.

(I)求证：四边形DEBC是菱形；

(2)若/C£>E=2/ECA,CE=2,求AO的长.

参考答案

1.解：・・,菱形的两条对角线的长分别为6cm和80小

，这个菱形的面积=*X6X8=24(on2),

故选：B,

•・•四边形A8CQ是菱形,

：.AC±BDfOA=OC,OB=OD,

=22

^CVOCOB=V32+42=5，

・・•菱形ABC。的面积=/AOBD=/X6X8=24,

24

：.AH=—

59

故选：c.

3.解：连接3P,如图，

:四边形48C。为菱形，菱形A8C£＞的周长为24,面积为24,

^BA=BC=6fS4ABCU/S菱形ABCZ)=12,

SAABC=SAPAaSNBC，

A—X6XPE+—X6XPF=12,

22

；.PE+PF=4,

故选：A.

4.解：菱形的一个性质是四条边相等,

故选项A、a。错误，B正确，

故选：B.

5.解：•・,四边形A3C。是菱形，

：.AO=—AC=—X6=3,OB=—BD,AC±BD,

222

'：AB=5,

­■•BC，=VAB2-A02=V52-32=4>

：.BD=8,

「X6X8=5AE,

2

故选：C.

6.解：连接AC,如图所示，

:四边形ABC。是菱形，乙840=120°,

：.ZBAC=ZDAC=60°,BC=AB=4,

.../l+NEAC=60°,Z3+ZEAC=60°,

.*.Z1=Z3,

ZBAD=120°,BC//AD,

NABC=ZBAC=ZACB=60°,

.•.△ABC、△AC。为等边三角形，

/.Z4=60°,AC=AB,

在△ABE和△AC5中，

21=N3

<AB=AC，

ZABC=Z4

.♦.△ABE丝zMCF(ASA).

S&ABE=S^ACF，

故S四边形AECFuSaAEC+SaACFuSaAEc+SAABEuSMBC，是定值，

过A作AHLBC于H,则BH=—BC=2,

2

J.AH^ylAB2-BH2=V42-22=2V3>

S四边形AECF=SAABC=_^_8C・A//=*X4X

故选：A.

7.解：如图连结3。,

•.•四边形ABCO是菱形，

：.AD=AB=4,

VZA=60°,

.♦.△ABO是等边三角形，

：.BD=AD=^,

•.•点E,F分别是。尸，8尸的中点，

■为△P8O的中位线，

：.EF^—BD=2,

2

故选：4

8.解：•••菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角

线互相平分，对角线互相垂直；

平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分,

菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，

故选：C.

9.解：•.•四边形ABCD是菱形，

：.AC±BD,ZABC^ZAZ)C=110°,

AZABO=—ZABC=55°,

2

\-OElAB,

：.ZOEB=90°,

:.NBOE=90°-55°=35°,

AZAOE=90a-35°=55°,

故选：c.

10.解：A、-JABLBC,

：.ZABC=90°,

又,:四边形ABCD是平行四边形，

二四边形A8C。是矩形；故选项A不符合题意；

B、'：BC±CD,

：.ZBCD=90°,

又：四边形ABCD是平行四边形，

二四边形ABC。是矩形；故选项8不符合题意；

C、CDLAC,不能判定ABCD是菱形；故选项C不符合题意;

。、：四边形ABCD是平行四边形，

5L,：ACLBD,

四边形ABC。是菱形；故选项。符合题意；

故选：D.

11.解：当AB=C。时，四边形EGFH是菱形.理由如下：

•.•点E,G分别是A£>,8。的中点，

；.EG是△ABO的中位线，

：.EG//AB,EG=—AB,

同理HF〃AB,HF=—AB,EH//CD,EH=—CD,

22

J.EG//HF,EG=HF,

：.四边形EGFH是平行四边形，

又

：.EG=EH,

平行四边形EGF4是菱形.

故选：A.

RFC

12.解：A、・・,两邻边相等的平行四边形是菱形,

选项A不符合题意；

反,・,一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形,

二选项B符合题意；

C、；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形，

，选项C不符合题意；

；对角线垂直的平行四边形是菱形，

，选项。不符合题意；

故选：B.

13.解：①0ABec中，ACLBO,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定必8。

是菱形；故①正确；

②。ABCD中，/54。=90°,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定。A2CO

是矩形，而不能判定。ABCD是菱形；故②错误；

③。ABCC中，AB=BC,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定是菱

形；故③正确；

D、SBC。中，AC=BD,根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定048co是矩

形，而不能判定。4BCD是菱形；故④错误.

故选：A.

14.解：A、•..一组邻边相等的平行四边形是菱形，

•••选项A不符合题意；

8、•.•一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，

选项B符合题意；

c、四边相等的四边形是菱形，

选项C不符合题意；

：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，

选项。不符合题意；

故选:B.

15.解：如图：E,F,G,H为矩形的中点，则AH=HZ)=BF=CF,AE=BE=CG=DG,

在RtAAE/7与中，AH=HD,AE=DG,

：.△AEgADGH,

：.EH=HG,

同理，丛AEH乌ADGHQ/\BEFm/\CGF沿丛DGH,

：.EH=HE=GF=EF,NEHG=NEFG,

四边形EFGH为菱形.

故选：D.

16.解：过A作于F,过8作BELA。，交D4的延长线于E,

•••两张等宽的纸条交叉叠放在一起,

：.AF=BE,

•.•平行四边形ABCD的面积S=DCXAF=ADXBE,

：.DC=AD,

V四边形ABCD是平行四边形，

.••四边形A8C3是菱形，

故选：C.

17.解：•..四边形A8CD为菱形，04=8,

J.ACLBD,AC=2OA=16,

.\ZAOB=90°,

是AB的中点，

...AB=2OE=2X5=10,

•••OB=VAB2-0A2=V102-82=6-

：.BD=2OB=\2f

・・・S菱形ABCD=*AC・8O=*X16X12=96,

故答案为：96.

18.解：®*：AB=ADfAC1BD,

:.0B=0D,

*：AD//BC,

・・・/AD0=/CB0,

又・・♦/A0D=/C0B,

：./^AOD^ACOBCASA),

:・AD=CB,

・・・四边形ABC。是平行四边形,

又,.,A8=A。，

・•・平行四边形4BC。是菱形，故①能判定四边形A8CO是菱形;

②・.・AB=A。，ACLBD,

：.OB=OD,

・・・。4=。。，

・・・四边形ABCD是平行四边形，

又,.,A8=AO,

・・・平行四边形A8CO是菱形，故②能判定四边形A8CO是菱形;

③，以。〃垢

：.ZDAC=ZBCA,

,・，AC平分/BCD,

JZDCA=ZBCAf

：.ZDAC=ZDCA,

:.AD=CD,

：.AB=AD=CDf不能判定四边形ABC。是菱形；

@*:AD//BC9

：.ZBAD+ZABC=\SO0,

・.・ZABC=ZADCf

：.ZBAD+ZADC=1SO°,

：.AB//CD,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

又・・・48=4。，

・•.平行四边形ABCD是菱形，故④能判定四边形ABCD是菱形;

故答案为：①②④.

19.(1)证明：・・•四边形ABC。是菱形，

：・OD=OB,AB//CD,BD_LAC,

VDH1AB,

:.DHLCD,

；./DHB=90°,

JOH=—BD=OD=OB,

2

：.ZODH=ZDHOf

9

：DH±CDf

：・NODH+/ODC=90°,

•：BD±AC,

：.ZO£>C+ZDCO=90o,

：.ZODH=ZDCO,

：./DHO=ADCO-,

(2)解：•.•四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC^CD=AD,0D=0B=、BD=3,0A=0C=4,BD±AC,

2

：.AC=2OC=4,NCOO=90°,

在RtZ\OCO中，由勾股定理得：CD=A/OD2<)C2=^32+42=5,

二菱形ABCD的周长=4CD=20,

菱形ABC。的面积得8OXAC得X6X8=24.

20.(1)证明：I•四边形ABC。是菱形，

：.AB=CB,NABE=NCBE,

在△ABE和aCBE中，

'AB=CB

<ZABE=ZCBE.

BE=BE

:.AABE%ACBE(SAS),

：.AE=CE；

(2)解：连接AC交8。于O,如图：

•.•四边形ABC。是菱形，

.".AC1.BD,ZABO=—ZABC=30°,AB=BC=10,

2

：.ZAOC=ZAOD=9^,

：.OA^—AB^5,

2

OB=VAB2-0A2=V102-52=5V3>

°WAE2-0A2=V132-52=12>

BE=OB+OE=12.

21.(1)证明：连接BF,如图所示：是线段AB的垂直平分线,

：.AF=BF,

・・♦四边形ABC。是菱形，

：.BC=DC,NBCF=NDCF,

在△8CF和△OC/中，

'BC=DC

<ZBCF=ZDCF，

CF=CF

:・4BCF经4DCF(SAS),

：・BF=DF,

:.AF=DF；

(2)解：由(1)得：△BCF9XDCF,

：.ZFDC=ZFBCt

・・,四边形48co是菱形，

：.AB=BCZBAC=-ZBAD=—X70°=35°,AD//BC,

f22

NBCF=NDCF=NBAC,ZABC=\SO°-ZBAD=\S0°-70°=110°

丁敏是线段AB的垂直平分线，

:.AF=BF9

：.ZFBA=ZBAC=35°,

AZFBC=AABC-ZABF=110°-35°=75°,

:.NFDC=NFBC=75°.

22.证明：(1),・•四边形ABC。是菱形,

；.AB=BC,AD//BC,

：.NADB=NDBC,

'：NADB=/FCB,

：.NFCB=/DBC,

：.GB=GC,

又・：GE工BC,

:・BC=2BE,

：.AB=2BE；

(2)如图，延长CRDA交于点H,

・・•四边形ABCQ是菱形，

J.AD//BC,ZABD=ZDBC,

：.ZH=ZFCB,

:・/H=4ADB,

:・DG=HG,

丁点尸是43的中点，

:・AF=BF,AB=2BF,

；・BF=BE,

在△AF”和△8FC中，

<ZH=ZFCB

<ZAFH=ZBFC，

AF=BF

AAAFH^ABFC(AAS),

:.CF=FH,

在aBG尸和△BGE中，

<BF=BE

<ZABD=ZDBC，

BG=BG

:.△BG0/XBGE(SAS),

:・FG=GE,

：.DG=HG=HF+FG=FC+GE.

23.证明：•・,四边形ABC。是平行四边形,

:.NBAD=/C,AD//BC,AB//CD,

'：AF//ED9

・・・四边形AEDF是平行四边形，

■:AD//BC,

；.NDGC=NADE,

•：DG=DC,

：.ZDGC=ZC,

：.ZBAD=ZADEf

：.AE=DEf

，平行四边形AEOb是菱形.

24.证明：(1)过。作OFLCE于F,如图所示:

♦：OC=OE,

:.CF=EF,

VOF1CE,CELCD,

：.OF//CD,

■:AB//DC,

：.OF//AB,

・・.OF是△ACE的中位线，

：.OA=OCf

：.OE=^AC；

u

(2)：AB//DCt

:.ZOAB=ZOCD9

在aAOB和△OCO中，

<Z0AB=Z0CD

<OA=OC，

ZA0B=ZC0D

•••△AOBdOCO(ASA),

:.OB=OD,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,

：.NADB=NCBD,

・.・。3平分NAOC,

・・・NADB=NCDB,

：.ZCBD=ZCDBf

：.BC=DC,

，平行四边形ABC。是菱形.

25.证明：(1)-JAF//BC,

：.N4FE=NDBE

：△ABC是直角三角形，A。是BC边上的中线，E是AO的中点,

：.AE=DE,BD=CD

在△AFE和△QBE中，

"ZAFE=ZDBE

,ZAEF=ZBED-

AE=DE

/.(A4S))

：.AF=BD

(2)由(1)知，AF=BD,且BO=C£>,

：.AF=CD,且AF〃BC,

四边形A3c尸是平行四边形

VZBAC=90",。是2c的中点，

•••AD-|BC=DC

四边形AOC尸是菱形

26.证明：平分/BAC

：.ZBAD=ZCAD

又；EFLAD,

，ZAOE=NAOF=90°

•在△AE。和△AFO中

"ZEA0=ZFA0

<A0=A0，

ZA0E=ZA0F

：./\AEO^/\AFO(ASA),

：.EO=FO,

尸垂直平分A。，

：.EF,AO相互平分，

...四边形AE。尸是平行四边形

又EF±AD,

，平行四边形AEC尸为菱形.

27.证明：•.•四边形ABC。、OEB尸都是矩形，AB=BF,

二/48C=/MBF=90°,

ZABM=NFBN,

/\ABM与/\FBN0/\EDM,

：.BN=DM,

：.四边形BMDN是平行四边形，

同理△ABM丝△尸BN,则

四边形BMDN是菱形.

28.解：(1)-AF//BC,

：.ZFAE=ZCDE,

在AAE尸和△OEC中，

，ZFAE=ZCDE

<AE=DE，

ZAEF=ZCED

/.AAEF^ADEC(ASA),

：.AF=CD,

'：AF=BD,

：.BD=CD.

(2)需要添加NBAC=90°.

证明：VZBAC=90°,BD=CD,

：.AD=^BC=BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，

又,：AF//BD,AF=BD,

，四边形AFB。是平行四边形，

四边形AFBO是菱形.

29.(1)证明：:BE=2EC,

:.BC=3EC,

又：BC=3A。，

：.AD=EC,

'：AD//BC,

•••四边形AECD是平行四边形，

：AC平分/EC。，

：.ZACD=ZACE,

,JAD//BC,

：.ZDAC=ZACE=ZACD,

J.AD