具有交互作用的正交试验设计

具有交互作用的正交试验设计1、交互作用

通过前面的学习我们已经知道采用正交试验设计方法可以明显减少多因素试验的试验次数，同时也能在一定程度上得到能够满足工程应用的试验结果。

但是，在前面的讨论中我们都是基于一个假设展开的，即在所有被考虑的对试验结果有影响的各因素之间对试验结果的影响是相互独立的，但是工程实践告诉我们这种情况很少出现，因此正交试验设计过程中考虑各因素的相互作用将显得十分必要，首先让我们来看个有关交互作用的例子：

例1

有4块试验田，土质情况基本一样，种植同样的作物。现将氮肥、磷肥采用不同的方式分别加在4块地里，收获后算出平均亩产，如下表所记。氮肥、磷肥交互作用的效果＝氮肥、磷肥的总效果－（只加氮肥的效果＋只加磷肥的效果）相关概念因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用称为交互作用，通常将A因素与B因素的交互作用记作：A×B，称为1级交互，通常的称在一次试验中同时与A因素发生交互作用的因素的个数为交互级数。交互作用相关概念样本中能独立变化的数据数目。只要有n-1个数确定，第n个值就确定了，它不能自由变化。所以自由度就是n-1。自由度表示的是一组数据可以自由变化的数量的多少。

自由度通俗点说，一个班上有50个人，我们知道他们语文成绩平均分为80，现在只需要知道49个人的成绩就能推断出剩下那个人的成绩。你可以随便报出49个人的成绩，但是最后一个人的你不能瞎说，因为平均分已经固定下来了，自由度少一个了。2、关于自由度和正交表的选用原则选正交表必须遵循的原则：正交表各列的水平数必须等于研究因素的水平数要考察的因素及交互作用的自由度综合必须不大于所选用正交表的总自由度

dfT≥fA+fB+fC+…+fAxB+fBxC+fAxC+…自由度的两条规定：（1）正交表的总自由度f总＝试验次数－1；正交表每列的自由度f列＝此列水平数－1（2）因素A的自由度fA

＝因素A的水平数－1；因素A、B间交互作用的自由度fAxB

＝fA×fB如三因素四水平43

的正交试验应安排

3(4-1)+1=10次以上的试验.

如三因素四水平43

并包括第一、二个因素的交互作用的正交试验至少应安排的试验次数为3(4-1)+(4-1)(4-1)+1=19.

又如安排43×23的混合水平的正交试验至少应安排3(4-1)+3(2-1)+1=13次以上的试验.

若再加上包括第一、五个因素的交互作用的正交试验则至少应安排的试验次数为

3(4-1)+3(2-1)+(4-1)(2-1)+1=16.3、交互作用的处理原则

试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是处理交互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简单。但交互作用又与因素不同，表现在：①用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施；②一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有（m-1）p列。表头设计时，交互作用所占列数与因素的水平m有关，与交互作用级数p有关。

2水平因素的各级交互作用均占1列；对于3水平因素，一级交互作用占两列，二级交互作用占四列，……，可见，m和p越大，交互作用所占列数越多。

例如，对一个25因素试验，表头设计时，如果考虑所有各级交互作用，那么连同因素本身，总计应占列数为：

C51+C52+C53+C54+C55

＝5+10+10+5+1＝31，那么此试验必选L32（24）正交表进行设计。一般对于多因素试验，在满足试验要求的条件下，有选择地、合理地考察某些交互作用。

综合考虑试验目的、专业知识、以往的经验及现有试验条件等多方面情况进行交互作用选择。一般原则是：①忽略高级交互作用②有选择地考察一级交互作用。通常只考察那些作用效果较明显的，或试验要求必须考察的。③试验允许的条件下，试验因素尽量取2水平。4、有交互作用的试验表头设计

表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排，必须严格按交互作用列表进行安排。这是有交互作用正交试验设计的一个重要特点，也是关键的一步。

在表头设计中，为了避免混杂，那些主要因素，重点要考察的因素，涉及交互作用较多的因素，应该优先安排，次要因素，不涉及交互作用的因素后安排。

所谓混杂，就是指在正交表的同列中，安排了两个或两个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一列中这些不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。4.1交互作用表

下面介绍交互作用表和它的用法，下表就是正交表L8（27）所对应的交互作用表。1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)列号（

）列号正交表自由度的确定：（1）每列的自由度

f列＝水平数－1（2）两因素交互作用的自由度

fA×B＝fA×fB

（两因素自由度的乘积）对2因素2水平的正交表，因为：fA＝fB＝

2－1＝１，每列只有一个自由度；而fA×B＝fA×fB

＝1×1＝1，所以也占一列。

对于2因素3水平，fA＝fB＝

3－1＝2，每列有2个自由度；而fA×B＝fA×fB

＝2×2＝4，由于交互作用列有4个自由度，而每列是2个自由度，因此2个3水平因素的交互作用列占2列。

对于2因素n水平，fA＝fB＝

n－1，每列有n个自由度；而两因素交互作用的自由度为：fA×B＝fA×fB

＝（n－1）（n－1），所以交互作用列要占（n－1）列。

在实际研究中，有时试验因素之间存在交互作用。对于既考察因素主效应又考察因素间交互作用的正交设计，除表头设计和结果分析与前面介绍略有不同外，其它基本相同。

【例】

某一种抗菌素的发酵培养基由A、B、C三种成分组成，各有两个水平，除考察A、B、C三个因素的主效外，还考察A与B、B与C的交互作用。试安排一个正交试验方案并进行结果分析。

（4）有交互作用的正交设计与分析实例

①

选用正交表，作表头设计

由于本试验有3个两水平的因素和两个交互作用需要考察，各项自由度之和为：3×(2-1)+2×(2-1)×(2-1)=5，因此可选用L8(27)来安排试验方案。正交表L8(27)中有基本列和交互列之分，基本列就是各因素所占的列，交互列则为两因素交互作用所占的列。可利用L8(27)二列间交互作用列表来安排各因素和交互作用。

如果将A因素放在第1列，B因素放在第2列，查表可知，第1列与第2列的交互作用列是第3列，于是将A与B的交互作用A×B放在第3列。这样第3列不能再安排其它因素，以免出现“混杂”。然后将C放在第4列，查表可知，B×C应放在第6列，余下列为空列，如此可得表头设计。

②

列出试验方案

根据表头设计，将A、B、C各列对应的数字“1”、“2”换成各因素的具体水平，得出试验方案列于表。③

结果分析按表所列的试验方案进行试验，其结果分析与前面并无本质区别，只是：应把互作当成因素处理进行分析；应根据互作效应，选择优化组合。

试验号ABA×BC空列B×C空列试验结果1111111155211122223831221122974122221189521212121226212212112472211221798221211261K1279339233353337327347K2386326432312328338318k169.7584.7558.2588.2584.2581.7586.75k296.5081.50108.0078.0082.0084.5079.50极差R26.753.2549