人教A版数学(选择性必修一讲义)第04讲1.3空间向量及其运算的坐标表示(学生版+解析)

第04讲1.3空间向量及其运算的坐标表示课程标准学习目标①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示1、空间直角坐标系空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．2、空间向量的坐标表示2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.【即学即练1】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．【答案】【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有.所以向量用坐标形式表示为.故答案为：知识点02：空间向量运算的坐标表示设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法减法数乘数量积知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示1、两个向量的平行与垂直平行（）垂直（）（均非零向量）特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.【即学即练2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________．【答案】【详解】因为，，且，所以，即，即，解得.故答案为：2、向量长度的坐标计算公式若，则，即空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度3、两个向量夹角的坐标计算公式设，则【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，，.(1)求x，y，z的值；(2)求向量与所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，，，，因为，设存在实数，使得，所以，则.因为，，则.∴所以.（2）由（1）知，，，∴，，∴，，，∴.∴向量与所成角的余弦值为.4、两点间的距离公式已知，则题型01空间向量的坐标表示【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点在平面内，则点的坐标可能是（

）A． B． C． D．【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（

）A． B．C． D．【典例3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知点，，点满足，则点的坐标是________.【变式1】（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于A． B． C． D．【变式2】（2023春·高二课时练习）若､，点在线段上，且，则点的坐标是___________.题型02空间向量的坐标运算【典例1】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，求：(1)；(2)；(3).【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出，，，四点的坐标；(2)写出向量，，，的坐标．【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知点、，且满足，则点的坐标为（

）A． B． C． D．题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）若向量，满足条件，则（

）A． B． C．1 D．2【典例2】（2023春·高二课时练习）已知向量，．求．【变式1】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·天津·高二统考期末）已知空间向量，，，则（

）A． B． C． D．题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）【典例1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（

）A． B．17 C． D．【典例2】（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，______．【变式1】（2023秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为________.题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）已知向量，，且，那么等于（

）A． B． C． D．5【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，H为的中点．求||.【典例3】（2023秋·山东日照·高二统考期末）已知，，且，则_____．【变式1】（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，，且，则为______.题型06空间向量的模（根据空间向量的模求参数）【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知向量，且，则____________．题型07空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）【典例1】（2022·高二课时练习）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，动点在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，点在线段上，求线段长的最小值．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是_________．【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______.【变式2】（2023·上海·高三专题练习）已知，，是空间两两垂直的单位向量，，且，则的最小值为________．【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，则的最小值为__________．题型08空间向量的夹角问题（坐标形式）【典例1】（2023秋·山东临沂·高二校考期末）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（

）A． B． C．或 D．2【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是________．【典例4】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量(1)求；(2)求向量与夹角的余弦值.【变式1】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）若向量，，且,的夹角的余弦值为，则实数等于（

）.A．0 B． C．0或 D．0或【变式2】（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，则、夹角的余弦值是______．【变式3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）已知向量，.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值.题型09空间向量的投影向量（坐标形式）【典例1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（

）．A． B． C． D．【典例2】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（

）A． B．C． D．【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·广东广州·高二秀全中学校考期末）已知，，则在上的投影向量为（

）A．1 B． C． D．题型10空间向量的平行关系（坐标形式）【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，且，则（

）A．， B．，C．， D．，【典例2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知两个向量，，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【典例3】（2023·高二单元测试）向量，，，且，，则______.【变式1】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）设，向量，，，且，，则（

）A． B． C．4 D．3【变式2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．题型11空间向量的垂直关系（坐标形式）【典例1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知，，且与互相垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知向量．(1)求；(2)当时，若向量与垂直，求实数和的值；(3)若向量与向量共面向量，求的值．【典例3】（2023春·高二课时练习）已知点、、，，．(1)若，且，求；(2)求；(3)若与垂直，求．【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，.(1)求与的夹角余弦值；(2)若，求的值.【变式2】（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知向量，，，且．(1)求实数的值；(2)若，求实数的值．题型12易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数【典例1】（多选）（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）若向量与的夹角为锐角，则实数的值可能为（

）.A．4 B．5 C．6 D．7【典例2】（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.【典例3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________．【变式1】（2023春·高二课时练习）若，，若与的夹角是钝角，则的值的取值范围为__________.【变式2】（2023春·高二课时练习）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.1.3空间向量及其运算的坐标表示A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，，则（

）A． B．40 C．6 D．363．（2023春·江苏扬州·高二统考期中），，，若，，共面，则实数为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高二专题练习）已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（

）A． B． C． D．5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考开学考试）设，向量，且，则（

）A． B． C． D．6．（2023春·高二课时练习）已知，，与的夹角为120°，则的值为（

）A． B． C． D．7．（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高二专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》里，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（

）.A． B． C． D．二、多选题9．（2023春·山东临沂·高二统考期末）空间中三点是坐标原点，则（

）A．B．C．点关于平面对称的点为D．与夹角的余弦值是10．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．为钝角 D．在方向上的投影向量为三、填空题11．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知向量满足，且，则_________，在上的投影向量的坐标为______________．12．（2023·高三课时练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.四、解答题13．（2023春·高二课时练习）已知向量，，，且，.(1)求向量，，；(2)求向量与向量所成角的余弦值.14．（2023·江苏·高二专题练习）（1）已知向量.①计算和②求.（2）已知向量.①若，求实数；②若，求实数.B能力提升1．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．12．（2023春·高二课时练习）已知，，则取最小值时的值是（

）A． B． C． D．3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省海头高级中学校考期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（

）A． B． C． D．4．（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A． B． C． D．问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

第04讲1.3空间向量及其运算的坐标表示课程标准学习目标①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示1、空间直角坐标系空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．2、空间向量的坐标表示2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.【即学即练1】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．【答案】【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有.所以向量用坐标形式表示为.故答案为：知识点02：空间向量运算的坐标表示设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法减法数乘数量积知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示1、两个向量的平行与垂直平行（）垂直（）（均非零向量）特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.【即学即练2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________．【答案】【详解】因为，，且，所以，即，即，解得.故答案为：2、向量长度的坐标计算公式若，则，即空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度3、两个向量夹角的坐标计算公式设，则【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，，.(1)求x，y，z的值；(2)求向量与所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，，，，因为，设存在实数，使得，所以，则.因为，，则.∴所以.（2）由（1）知，，，∴，，∴，，，∴.∴向量与所成角的余弦值为.4、两点间的距离公式已知，则题型01空间向量的坐标表示【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点在平面内，则点的坐标可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，，显然，不共线，根据向量基本定理可得，故C点坐标为，经验算只有B选项符合条件，此时，故选：B【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】在等边中，，所以，则，，则.故选：ABC【典例3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知点，，点满足，则点的坐标是________.【答案】【详解】设，为坐标原点.由点满足，得，可得，则点的坐标是.故答案为：．【变式1】（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于A． B． C． D．【答案】C【详解】由题，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，则故选C．【变式2】（2023春·高二课时练习）若､，点在线段上，且，则点的坐标是___________.【答案】【详解】解：点､，为线段上一点，且，所以，设点的坐标为，则，则，即，解得，即；故答案为：．题型02空间向量的坐标运算【典例1】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)2(3)4【详解】（1）由，得（2）（3）【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出，，，四点的坐标；(2)写出向量，，，的坐标．【答案】(1)点，点，点C，(2)；；；．【详解】（1）点在z轴上，且，所以点的坐标是．同理，点C的坐标是．点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是．点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是．（2）；；；．【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【详解】因为，，，且，，三向量共面，设，则，即，解得.故选：D【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知点、，且满足，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设点，由，则，所以，，解得，故点.故选：B.题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）若向量，满足条件，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】根据向量的运算可得：，所以，所以，故选：B【典例2】（2023春·高二课时练习）已知向量，．求．【答案】【详解】由向量，，可得.【变式1】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，由，得，解得.故选：B.【变式2】（2023秋·天津·高二统考期末）已知空间向量，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，故选：A题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）【典例1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（

）A． B．17 C． D．【答案】A【详解】以D作坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面MPN的法向量为，则，令，则，故，设，则，因为直线与平面平行，所以，，因为，所以，故，故当时，取得最小值，最小值为.故选：A【典例2】（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【详解】设的中点为，以为原点建立如图所示的空间坐标系，则，设，则，，，在以为球心，以为半径的球面上，，，，令，则直线与单位圆相切时，截距取得最小值，令，解得或的最大值为.故选：C【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，______．【答案】/【详解】解：因为点在直线上运动，，所以设，则，所以当时，取得最小值，此时，所以故答案为：【变式1】（2023秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，由点在直线上，可得存在实数使得，即，可得,所以,则，根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.故选：C.【变式2】（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为________.【答案】【详解】因为MN是长方体外接球的一条直径，长方体的棱长分别为1、1、所以，如图，设，则因为当时取等号，此时点P在ABCD平面内，又当时取等号，此时点P在ABCD平面内.即所求的范围是.故答案为：题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）已知向量，，且，那么等于（

）A． B． C． D．5【答案】C【详解】因为，，且，所以，即，所以，所以，故选：C．【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，H为的中点．求||.【答案】【详解】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，则有，，，，，，，，.【典例3】（2023秋·山东日照·高二统考期末）已知，，且，则_____．【答案】【详解】因为，所以，解得所以，.故答案为：【变式1】（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，，且，则为______.【答案】【详解】，，且，，即，解得又故答案为：题型06空间向量的模（根据空间向量的模求参数）【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知向量，且，则____________．【答案】3【详解】因为，所以，可得，因为，解得，故答案为3.题型07空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）【典例1】（2022·高二课时练习）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，动点在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】以D为原点，以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，，，.取的中点为H，连接，.在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以.又面，面，所以面.同理可证：面.又，所以平面平面．因为平面，所以点P只能在线段上运动．易知，设（），，则，，，．当时，取得最小值；当时，取得最大值36．故PC长度的取值范围为．故选：C【典例2】（2023·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，点在线段上，求线段长的最小值．【答案】【详解】依题意，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，设，，则，设，，则．若线段EF的长最小，则必满足，则，可得，即，因此，，当且仅当时等号成立，所以线段EF长的最小值为．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是_________．【答案】【详解】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，则，由可设，由是单位空间向量可得，由可设，，当，的最小值是2，所以，取，，，当时，最小值为.故答案为：.【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______.【答案】4【详解】是空间相互垂直的单位向量，设，，设，又，，又，，，其中，，，当且仅当时取得等号，的最小值是4．故答案为：4．【变式2】（2023·上海·高三专题练习）已知，，是空间两两垂直的单位向量，，且，则的最小值为________．【答案】【详解】由题意可设，，,由，得，，，所以（当且仅当，时等号成立），所以的最小值为.故答案为：.【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，则的最小值为__________．【答案】/【详解】解：，，∴，，当且仅当时等号成立，即的最小值为故答案为：.题型08空间向量的夹角问题（坐标形式）【典例1】（2023秋·山东临沂·高二校考期末）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，解得，则，，，设向量与的夹角为，则，，，即与的夹角为．故选：A．【典例2】（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（

）A． B． C．或 D．2【答案】A【详解】因为，所以，，又与夹角的余弦值为，，所以，解得，注意到，即，所以.故选：A.【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是________．【答案】120°【详解】由题意，空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则，所以,又因为，所以.故答案为：【典例4】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量(1)求；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以.（2）因为，所以，又因为，所以故与夹角的余弦值为.【变式1】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）若向量，，且,的夹角的余弦值为，则实数等于（

）.A．0 B． C．0或 D．0或【答案】C【详解】由题意得，解得或，故选:C．【变式2】（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，则、夹角的余弦值是______．【答案】/【详解】因为，，由空间向量的夹角公式可得，，所以、夹角的余弦值是，故答案为：.【变式3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）已知向量，.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）∵，，∴，，∴；（2）设与的夹角为，则，，，，，∴，∴向量与夹角的余弦值为.题型09空间向量的投影向量（坐标形式）【典例1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】向量在向量上的投影向量为.故选:C.【典例2】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，，，所以，所以，，，所以向量在上的投影向量是，所以向量在上的投影向量的坐标是，故选：D.【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：B【变式2】（2023秋·广东广州·高二秀全中学校考期末）已知，，则在上的投影向量为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】解：因为，，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：C题型10空间向量的平行关系（坐标形式）【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，且，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】，，则，由，可得，解之得故选：B【典例2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知两个向量，，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以故选：C【典例3】（2023·高二单元测试）向量，，，且，，则______.【答案】【详解】因，，而，则有，解得，即又，且，则有，解得，即，于是得，，所以.故答案为：【变式1】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）设，向量，，，且，，则（

）A． B． C．4 D．3【答案】D【详解】因为，故，故，因为，故，故，故，，故，故，故选：D.【变式2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：若，则，因为已知向量，，所以，解得，所以.故选：.题型11空间向量的垂直关系（坐标形式）【典例1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知，，且与互相垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：根据题意，向量

.，，则，

，，，2，，若向量.与.互相垂直，则有，解可得：；故选：D.【典例2】（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知向量．(1)求；(2)当时，若向量与垂直，求实数和的值；(3)若向量与向量共面向量，求的值．【答案】(1)(2)，(3)【详解】（1），，，．（2）因为，所以，解得，因为，且向量与垂直，所以，即，．所以实数和的值分别为和；（3）解：设，则解得，即，所以向量与向量，共面．【典例3】（2023春·高二课时练习）已知点、、，，．(1)若，且，求；(2)求；(3)若与垂直，求．【答案】(1)或；(2)(3)或【详解】（1）、，，，且，设，且，解得，或；（2）、、，，，，，；（3），，又与垂直，，解得或．【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，.(1)求与的夹角余弦值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以，，，所以；（2），因为，所以，解得.【变式2】（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知向量，，，且．(1)求实数的值；(2)若，求实数的值．【答案】(1)，；(2).【详解】（1）因为，所以，使得，所以有，解得，所以，.（2）由（1）知，，所以，.因为，所以，即，解得.题型12易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数【典例1】（多选）（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）若向量与的夹角为锐角，则实数的值可能为（

）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【详解】因为与的夹角为锐角，所以，解得，当与共线时，，解得，所以实数x的取值范围是，经检验，选项C、D符合题意.故选：CD【典例2】（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.【答案】【详解】解：因为向量，，且与的夹角为钝角，所以，且，解得，所以实数的取值范围为，故答案为：【典例3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________．【答案】【详解】由已知与的夹角为钝角，则，即，解得.若a与b的夹角为180°，则存在，使.所以，所以，，所以且.故t的取值范围是.故答案为：.【变式1】（2023春·高二课时练习）若，，若与的夹角是钝角，则的值的取值范围为__________.【答案】【详解】已知，，因为与的夹角是钝角，所以，即，即，解得.若与的夹角为180°，则存在，使，所以，解得，.所以，且.故的取值范围是.【变式2】（2023春·高二课时练习）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.【答案】【详解】因为与的夹角是锐角，所以，即，解得，若与的夹角为，则存在，使，即，所以，解得.故t的取值范围是.故答案为：.1.3空间向量及其运算的坐标表示A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，解得：.故选：B.2．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，，则（

）A． B．40 C．6 D．36【答案】C【详解】由题意，∵，，∴，∴.故选：C.3．（2023春·江苏扬州·高二统考期中），，，若，，共面，则实数为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】向量，，，若向量，，共面，则存在唯一的实数对，使，即，解得，实数的值为．故选：D4．（2023·全国·高二专题练习）已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设向量在基底下的坐标为，则，又向量在基底下的坐标为，则，所以，即，所以解得所以向量在基底下的坐标为.故选：C.5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考开学考试）设，向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】向量，且，∴，解得∴，∴，选项C正确.故选：C．6．（2023春·高二课时练习）已知，，与的夹角为120°，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，0，，，，，，所以，，，所以，所以，且，解得：．故选：A．7．（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图建立坐标系，设，，则，，，，，，，即，所以，当时，所以，所以．故选：C．8．（2023·全国·高二专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》里，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（

）.A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知三棱柱为直三棱柱，且，以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的直角坐标系，如下图所示：

因为，则，由于动点在“堑堵”的侧面上运动，则存在实数使得，又，所以，所以，又，所以，化简可得，即，又，又，所以，,所以，又，函数在上单调递减，且，所以的最大值为.故选：B.二、多选题9．（2023春·山东临沂·高二统考期末）空间中三点是坐标原点，则（

）A．B．C．点关于平面对称的点为D．与夹角的余弦值是【答案】AB【详解】，，故A正确；，，，故B正确；由点关于平面对称的点为，故C错误；因为，所以D错误.故选：AB10．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．为钝角 D．在方向上的投影向量为【答案】BD【详解】因为，所以，不垂直，A错，因为，所以，B对，因为，所以，所以不是钝角，C错，因为在方向上的投影向量，D对，故选：BD.三、填空题11．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知向量满足，且，则_________，在上的投影向量的坐标为______________．【答案】【详解】两边平方化简得：，①因为，所以，又，代入①得：，解得：，，