《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 9-6 多元函数的极值

第九章多元函数微分学第六节多元函数的极值一、多元函数的极值二、多元函数的最值三、条件极值与拉格朗日乘数法四、小结

在一元函数的微分学中，我们中曾讨论了极值问题。同样，在很多管理科学、经济学和很多工程、科技等实际问题中，也常常需要对多元函数研究其极值问题。

我们采用与一元函数类似的方法，研究最简单的多元函数—二元函数的极值问题，进而解决实际问题中的最大值与最小值的问题。所得到的的结论，大部分可以推广到三元及三元以上的多元函数中。一、多元函数的极值

设函数f(x)在某区间I上有定义，，并且存在x0的某一个小邻域．如果f(x0)是f(x)在U(x0)内的最大值（最小值），则称x0是f(x)的一个极大值（极小值）；称x0为函数f(x)的一个极大（小）值点．复习：一元函数的极值的定义1、多元函数极值的概念

定义1设函数z=f(x,y)在区域D内有定义，P0(x0,y0)是D的一个内点.若存在P0的某一个邻域，使得对于该邻域

称f(x0,y0)

为函数z=f(x,y)的一个极大（小）值，而称P0为

该函数的极大（小）值点．

极大值点与极小值点统称极值点。极大值与极小值统称为极值.1.极值点能在边界上吗？2.极值点唯一吗？3.极大值一定比极小值大吗？4.极值是整体概念还是局部概念？内异于P0(x0,y0)的任意点都有例1函数在点(2,0)处取得极小值.因为对点(2,0)的任一邻域内异于(2,0)的点，函数值恒为正；而在点(2,0)处，z=0,因此函数在点(2,0)取极小值.解：例2函数

在点(0,0)处取得极大值.

当(x,y)=(0,0)时,z=0,而当(x,y)

(0,0)时,z

0.因此函数在点(0,0)处极大值.解：例3函数

z

xy在点(0,0)处不取极值.

因为在点(0,0)处，

z=0，而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.解：2、极值存在的必要条件

设函数z

f(x

y)在点P0(x0,y0)的偏导数fx(x0

y0)

fy(x0

y0)都存在，且在点P0(x0,y0)处取得极值

则必有

fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

定理1(极值存在的必要条件)

证

设函数z=f(x,y)在区域D内的点P0(x0,y0)处取得极大值，z=f(x,y)在P0(x0,y0)点存在偏导数，由定义，对P0(x0,y0)某邻域内的任何异于P0(x0,y0)的点(x,y)，都有

特别地，在这个邻域内满足x≠x0,y=y0的点(x,y0)处，也有这说明一元函数z=f(x,y0)在x=x0点处取得极大值.2、极值存在的必要条件

设函数z

f(x

y)在点P0(x0,y0)的偏导数fx(x0

y0)

fy(x0

y0)都存在，且在点P0(x0,y0)处取得极值

则必有

fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

定理1(极值存在的必要条件)

由z=f(x,y)在P0(x0,y0)点存在偏导数，因此，一元函数z=f(x,y0)在x0点处可导.证

由一元函数存在极值的必要条件，z=f(x,y0)在x0点处的导数必为0，即类似地，可以证明驻点

满足方程组的点(x0

y0)称为函数z

f(x

y)

的驻点

极值点驻点定理1说明：偏导存在时比如，对函数z=xy，点(0,0)是驻点,但函数在该点处不取极值.

设函数z

f(x

y)在点P0(x0,y0)的偏导数fx(x0

y0)

fy(x0

y0)都存在，且在点P0(x0,y0)处取得极值

则必有

fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

问题：怎样判断一个驻点是否是

极值点呢？定理2(极值存在的充分条件)

（1）在点P0(x0,y0)的某邻域内具有连续的二阶偏导数；

（2）fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

令若函数z

f(x

y)满足则函数z

f(x

y)在点P0(x0,y0)处，当

(1)AC

B2>0时,取得极值

且当A<0时有极大值

当

A>0时有极小值

(2)AC

B2<0时，不取极值

(3)AC

B2

0时，可能有极值

也可能没有极值，需

另作讨论

根据以上定理，求具有二阶连续偏导数的函数z

f(x

y)的极值时，有如下的步骤：（1）通过解方程组，求出函数的驻点；（2）计算在驻点处的三个二阶混合偏导数的值，得

的值；（3）确定在每个驻点处的符号，依照定理2，判别在该点处是否取得极值，取极值时是极大值还是极小值.例4求函数的极值.解：显然，该函数在全平面内处处有连续的二阶偏导数.解方程组得驻点求出二阶偏导数在点处,有且函数在这点取极小值.在点处,有且函数在这点取极大值.在点处,有在点处,有函数在这点不取极值.函数在这点不取极值.

由前述可知，如果函数在所讨论区域内具有偏导数，极值只可能在驻点处取得.然而，如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点显然不是驻点，函数在这些点处也可能取得极值.也就是说，偏导数不存在的点也可能为极值点.如例2中的圆锥面在点(0,0)处的一阶偏导数

不存在，但是在点(0,0)处取得极大值.因此，在讨论函数的极值问题时，驻点和使得一阶偏导数不存在的点都应当考虑.二、多元函数的最值

我们知道，如果f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在区域D上必定能取得最大值和最小值.使函数取得最大值和最小值的点既可能在区域D的内部，也可能在区域D的边界上.求函数f(x,y)在有界闭区域D上最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.

例5

求函数在圆域：上的最大值和最小值.解：令在区域D的边界上，函数的值恒为1，比较区域内部的驻点和边界点上的函数值，可知，函数在区域D的内部,得驻点(1,1),且在驻点(1,1)处取得最大值，在边界上所有的点处取最小值1.例6

某工厂要用铁板做一个容积为V的长方体有盖水箱，

问如何设计最省材料？解：设水箱的长、宽和高分别为x,y,z,则水箱所用材料的表面

积为且由于，于是有显然，S为x和y的二元函数，分别对x和y求偏导数，令解方程得根据题意可知，水箱表面积的最小值一定存在，必在目标函数的定义域内取得。而函数在定义域内有唯一驻点.因此，最小值一定在唯一驻点处取得。即当长、宽何高均为时，水箱所用材料最省.例7某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为需求函数为销售量分别为总成本函数为问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？解：由题意，总利润函数为令解得又由于可知所以利润函数在处取得极大值.又因驻点唯一，因而可以说明，当两个市场的售价分别为80和30时，总利润最大,最大利润为三、条件极值与拉格朗日乘数法

我们把自变量满足一定限制条件的求极值问题称为条件极值问题。在条件极值问题中，把自变量所要满足的附加条件称为约束条件，把要求极值的函数称为目标函数。如例2，实际上是求目标函数在约束条件下的极值问题.例2中，由条件将z表示为代入表面积表达式中，即化为了无条件极值问题.

这种方法是通过显化约束条件中的某一个自变量，再代入目标函数中消去此自变量，从而把三元函数的条件极值问题化为求二元函数的无条件极值问题。条件极值无条件极值

在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不简单.下面介绍拉格朗日乘数法.

寻求二元函数z

f(x,y)在满足约束条件

下在(x0,y0)取得极值的必要条件.

假设函数满足隐函数存在定理，方程确定一个隐函数，则有将代入z

f(x,y)中，有二元函数条件极值问题转化为一元函数无条件极值问题，由一元可导函数取得极值的必要条件，有将代入上式，得若设则上述必要条件就变为函数z

f(x,y)在约束条件下在取得极值的必要条件！为了便于记忆，引入辅助函数：则上式可写为：拉格朗日函数拉格朗日乘子拉格朗日乘数法求函数在约束条件下可能的极值点.1.作拉格朗日函数2.求拉格朗日函数的驻点，为此，解方程组：3.方程组解出驻点点(x,y)就是函数在约束下可能的极值点.条件例8

某工厂要用铁板做一个容积为V的长方体有盖水箱，

问如何设计最省材料？(利用拉格朗日乘数法解答)解：设水箱的长、宽和高分别为x,y,z,则水箱所用材料的表面

积为且构造拉格朗日函数为令解方程得

根据题意可知，水箱表面积的最小值一定存在，则必在目标函数唯一可能的极值点处取得.因此，当长、宽何高均为时，水箱所用材料最省.

要求四元函数函数

在约束条件在约束条件不止一个时，拉格朗日乘数法也是适用的.下的极值.作拉格朗日函数令求解方程组，即可得到函数在约束条件下可能的极值点.两个约束条件，对应两个拉格朗日乘子.例9某商家通过电台及网络推广两种媒体做某商品广告．根据统计资料，销售收入R(百万)与电台广告费用x(百万)和网络推广广告费用y(百万)有如下关系（1）在不限定广告费用的情况下，求最优广告策略；（2）若限定广告费用为1.5（百万）时，求最优广告策略．解：由题意，最优广告策略即为使利润最大化。（1）利润函数为令得驻点

由实际问题，利润函数的最大值一定存在，必在唯一的驻点

处取得。所以在不限定广告费用时，当电台广告费用为0.75万元，网络推广广告费用为1.25万元时，广告策略最优．例9某商家通过电台及网络推广两种媒体做某商品广告．根据统计资料，销售收入R(百万)与电台广告费用x(百万)和网络推广广告费用y(百万)有如下关系（1）在不限定广告费用的情况下，求最优广告策略；（2）若限定广告费用为1.5（百万）时，求最优广告策略．解：构造拉格朗日函数得令

由实际问题，利润函数的最大值一定存在，必在唯一可能的极值点

处取得