高二数学人教版选择性必修第一册《数列》综合测试卷（A ）

《2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步单元测试AB卷（新高考）》

专题4.11《数列》综合测试卷（A）

第I卷选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（2022•贵州•黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（文））已知数列｛4｝的通项公式%=（-1）向+1,贝U

+〃3=（）

A.-1B.0C.1D.2

2.（2022•四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若a,b,c为实数,数列-1,冬瓦。,-25是等比数列,

则b的值为（）

A.5B.-5C.±5D.-13

3.（2021.江苏省灌南高级中学高二期中）在等差数列｛助｝中，。2、是方程V-3*-4=0的两根，则。3的

值为（）

3

A.2B.3C.±2D.-

2

4.（2022•福建省华安县第一中学高二阶段练习）设等比数列｛%｝中，4+%+/=2,4+%+4=4,则

aw+an+al2=（）

A.16B.32C.12D.18

5.（2022•浙江•高三阶段练习）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律

堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，

对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数

之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2,3,5,8,12,17,23…则该数列的第41项为（）

A.782B.822C.780D.820

6.（2022•陕西省洛南中学高二阶段练习（理））S“为等差数列包｝的前"项和，如果%=120,那么为+%

的值为（）

A.12B.24C.36D.48

7.（2020•天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）已知｛%｝是首项为1的等比数列，S“是｛4｝的前

九项和，且9s3=8$6,则$5=

C.31或5D.—或5

16

8.（2022.全国•高三专题练习）已知等差数列｛4｝的前w项和为S,,若4=2,且§3=几，则％=（）

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9.（2022•辽宁・沈阳市第八十三中学高二开学考试）在等比数列｛加｝中，已知勾=3,“3=27,则数列的通项

公式是（）

A.an=3n,wGN+B.an=3n^,〃GN+C.an=(—l)n^,3n,“GN+D.an=2n^1,wGN+

10.（2022•福建省同安第一中学高二阶段练习）（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；

今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马."马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之,

问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我

的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们

各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是

（）

A.a,b,c依次成公比为2的等比数列B.a,b,c依次成公比为的等比数列

c100c50

C.a=D.c=—

77

11.（2022.湖北武汉・高二阶段练习）设等差数列｛%｝的前n项和是Sn，若.a,”<«1<-am+1（加eN*,且相22）,

则必定有（）

A.5„,>0B.SjOC.5m+1>0D.5m+1<0

12.（2022•江苏・海安县实验中学高二期中）若｛4｝为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（）

A.｛才｝B.｛k-an｝（其中左eR且左20）

C.1—[D.｛lna“｝

第II卷非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2022•北京市广渠门中学高三阶段练习）在等比数列｛%｝中，的=4,%=16,则%=.

14.（2022・全国•高二课时练习）在等比数列｛%｝中，若4=2,公比q=3,前w项和为S,,则满足5“>100

的最小值〃=.

15.（2023・全国•高三专题练习）设等差数列｛劭｝的前“项和为S”，若的=10，&=36,则公差d为一.

16.（2018・全国•高二课时练习）⑶｝是公差不为零的等差数列，且a7,aw，即5是等比数列出冒的连续三项,

若bi=3,则bn=.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的前"项和是S“，且2S“=/+〃，求｛%｝的通项公式.

18.（2023•全国•高三专题练习）数列｛4,｝满足：4=5,2%=。,+“+2.记用=%-力，求证：数列也｝为

等比数列；

19.（2022・全国•高二课时练习）一个无穷等比数列的公比q满足@<1,它的各项和等于6,这个数列的各

项平方和等于18,求这个数列的首项的与公比

20.（2022.黑龙江.鹤岗一中高二期末）记等差数列｛4｝的前〃项和为S“,%=5,8=9.

（1）求数列｛见｝的通项公式；

（2）记0=3%,求数列色｝的前n项和T„.

21.（2022•北京市第十一中学实验学校高三阶段练习）已知数列｛4｝是公比为2的等比数列，且%是%与%T

的等差中项.

（1）求｛%｝的通项公式及前n项和Sn.

（2）设2=^----------.-----------,求数列也｝的前〃项和小

10§2。〃+1，lO§2an+2

22.（2022•河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））已知｛%｝为等差数列，也｝为等比数列，也｝的前"

项和S”=3•2"—3,%=",%+〃i6=仇.

⑴求数列｛%｝,也｝的通项公式；

（2）记g=与二，求数列｛g｝的前"项和T„.

《2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步单元测试AB卷（新高考）》

专题4.11《数列》综合测试卷（A）

第I卷选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.（2022・贵州•黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（文））已知数列｛4｝的通项公式

—

Cln=（1）+1,则。2+=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】通过赋值求得出,。3,即可求得结果.

【详解】因为1）+1，故可得出=°，“3=2,贝!]。2+。3=2.

故选：D.

2.（2022•四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若a,b,c为实数，数列-1,。力,。,-25

是等比数列，则6的值为（）

A.5B.-5C.±5D.-13

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质求得b的值.

【详解】设等比数列的公比为4,

所以人=（一1）以2<0,

根据等比数列的性质可知廿=（-1）x（-25）=25,解得人=-5.

故选：B

3.（2021•江苏省灌南高级中学高二期中）在等差数列｛即｝中，④、必是方程9一3》-4=0的

两根，则田的值为（）

A.2B.3C.±2D.-

2

【答案】D

【分析】根据韦达定理可得出+%=3,再利用等差中项运算求解.

【详解】由题意可得：出+%=3

V｛an｝为等差数列，贝!]%+&=2a3=3

.a4

故选：D.

4.(2022.福建省华安县第一中学高二阶段练习)设等比数列｛4｝中，％+%+%=2,

aA+a5+a6=4f贝|+%i+%2=(

A.16D.18

【答案】A

【分析】利用等比数列的性质求出公比，代入计算即可.

933

则al0+alt+al2=(q+a2+a3)q=2x(^)=16

故选：A.

5.(2022•浙江•高三阶段练习)北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种

物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变

本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶

等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差

数列：2,3,5,8,12,17,23…则该数列的第41项为()

A.782B.822C.780D.820

【答案】B

【分析】利用等差数列的通项公式和累加法求通项可求解.

【详解】设该数列为｛%｝,

由题可知，数列曾用-4｝是以外-4=1为首项,1为公差的等差数列，

所以4=l+(wT)xl="，

所以(%—«!)+(/—%)+…+(%+1一q)=a“+i=1+2+…+〃，

所以“a=~~~~+2=822,

故选:B.

6.(2022•陕西省洛南中学高二阶段练习(理))S“为等差数列｛a,｝的前n项和，如果兀=120,

那么为+%的值为()

A.12B.24C.36D.48

【答案】B

【分析】利用等差数列求和公式结合等差中项的性质直接可得解.

(«1+a)-10(a+4?)-10

【详解】由已知得儿=1047=5(%+%)=120，

解得2+%=24,

故选：B.

7.（2020・天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）已知｛%｝是首项为1的等比数列，

S“是｛凡｝的前"项和，且9s3=8S6,贝1]邑=（）

A.31B.—C.31或5D,卫或5

1616

【答案】B

【分析】数列｛%｝为等比数列，通过等比数列的前"项和公式化简9s3=8$6,从而得到公比

4的值，从而求出$5的值.

【详解】因为｛%｝是首项为1的等比数列，S“是｛%｝的前几项和，且9S3=8$6

当"1时，9x智二理=8、驾二©,计算得4=1

\-q1-q2

2

当4=1时，S3=3,Ss=6,所以9S3W8s6

31

综上：$5暇

16

故选：B

8.（2022・全国•高三专题练习）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若4=2,且$3=几，

贝4邑1=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】方法,：：S3=S]9S"—S3=4+%+…+^19=8（4+09）=。

%+%9=0

5*2=%+/+/+（。4+。5+，）+“20+”21

=q+a?+/+%0+"21=q+2（4+=2,

方法二：由于S〃=A/+即是二次函数f（x）=A%2+取,当工=〃时的函数值根据

二次函数的对称性，由邑=工9可知，S”的关于〃=11对称，因此51=£=%=2,

故选:B

二'多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得

0分.

9.（2022•辽宁•沈阳市第八十三中学高二开学考试）在等比数列｛即｝中，已知田=3,田=27,

则数列的通项公式是（）

A.an—in,"GN+B.an=3n^1,〃GN+C.an=（—1）H-73W,〃GN+D.an=2n^1,n

£N+

【答案】AC

【分析】根据已知条件求得数列｛%｝的公比4,进而求得。”，从而确定正确选项.

【详解】设等比数列｛"“｝的公比为q,则。3=。4=3'/=27,/=9,4=±3,

当4=3时，%=3><31=3".当4=一3时，%=3x（—3）^=（-1）^3.

故选：AC

10.（2022•福建省同安第一中学高二阶段练习）（多选）我国古代数学专著《九章算术》中

有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主

曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人

的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人

说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、

马、羊的主人应分别偿还。升、6升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（）

A.a,b,c依次成公比为2的等比数列B.〃，c依次成公比为3的等比数列

c100-50

C.a=----D.c=—

77

【答案】BD

【分析】根据已知条件判断反c的关系，结合等比数列的知识求得凡J从而确定正确选

项.

【详解】依题意”=26,6=2c,所以瓦。依次成公比为1的等比数列，

Q+〃+C=50,即4。+2。+。=7。=50,。=笆,。=4。=生^.

77

所以BD选项正确.

故选：BD

11.（2022・湖北武汉•高二阶段练习）设等差数列｛%｝的前〃项和是S,，若-品<4<-am+1（机e

N*,且加22）,则必定有（）

A.鼠>0B.Sm<QC.S,n+l>0D.5„,+1<0

【答案】AD

【分析】根据等差数列求和公式即可判断.

aa

［详角军］-m<4<-m+l

4+〃故>0,ax+am+i<0,

（q+金）X利(q+q“+Jx(m+l)(0

・•・Stn>0,5团讨

一22

故选：AD.

12.（2022•江苏.海安县实验中学高二期中）若｛qj为等比数列，则下列数列中是等比数列的

是（）

A.｛说｝B.｛k-an｝（其中keR且左w0）

cl/D.｛In%｝

【答案】ABC

【分析】根据给定条件，利用等比数列定义直接判断作答.

【详解】因｛。“｝为等比数列，设其公比为4,则有

2

对于A，,=（-廿）2=/是常数，数列｛叫是等比数列，A是；

对于B,左eR且左片0,詈包=4=4是常数，数列％凡｝是等比数列，B是；

工♦a〃an

1

对于C,与且=&=,是常数，［工［是等比数列，c是；

a„

对于D,显然%=1,｛4｝为等比数列，而lna“=0,数歹£ln%｝不是等比数列，D不是.

故选：ABC

第II卷非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2022.北京市广渠门中学高三阶段练习）在等比数列｛。"｝中，％=4,%=16,则/=

【答案】8

【分析】根据等比中项的性质求解即可.

【详解】由题，贝且%=。3,02,所以为=8,

故答案为：8

14.（2022.全国•高二课时练习）在等比数列｛%｝中，若q=2,公比q=3,前”项和为S”,

则满足S.>1。。的最小值〃=.

【答案】5

【分析】先求得S"，由S">100求得符合题意的W的最小值.

【详解】s=-^----^=3"-1>100,3">102，

"1-3

31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,所以"的最小值为5.

故答案为：5

15.（2023・全国•高三专题练习）设等差数列｛劭｝的前w项和为反，若田=10,$4=36,则

公差d为.

【答案】2

【分析】利用等差数列前w项和、通项公式列方程求基本量.

[CL=CL+2d=10[a,=6

【详解】由题设;;C…解得]

电=44+6〃=36[d=2

故答案为：2

16.（2018・全国•高二课时练习）｛a/是公差不为零的等差数列，且a7,aio,ai5是等比数列

｛%｝的连续三项，若也=3,则bn=.

【答案】3xg）"T

【分析】由题意可得。7=6+64,%。=1+9"，q=4+14d,又因为它们是等比数列｛2｝

的连续三项，进而得至=即可得到等比数列的公比进而得到答案.

【详解】解：因为数列｛%｝是公差d不为零的等差数列，

所以。7=%+6d,qo=%+9d,ai5=ax+14tZ,

又因为％,%。，阳是等比数列｛%｝的连续三项，

所以（《+6d）（q+14d）=（q+9d了,

解得：d=O（舍去）或1=普,

%+9d5

所以4=

ax+6d3

因为等比数列｛a｝的首项为伉=3,

所以a=6?^1.

故答案为6?gi.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝的前"项和是S,,且2S“="+〃，求｛q｝的

通项公式.

【答案】a“=n.

｛S],n=l

【分析】利用、.，求解通项公式，通过验证得到。“=〃

[SN-Sc“T，心2

【详解】当〃=1时，q=5=1；

当此2时，=S-S显然q=S1=l满足上式，

annn—l"—"("I2)

3

18.(2023・全国•高三专题练习)数列｛q｝满足：4=5,2a„+1=a„+«+2.记用=。“-力，求

证：数列也,｝为等比数列；

【答案】证明见解析

【分析】由递推公式可得2&+1-(〃+1)]=%-“，即可得证；

【详解】证明：2%=。,+〃+2,2&+]-(〃+1)]=67"-〃,

011

...寸=5，.♦•数列｛2｝是以弓，公比为1的等比数列.

19.(2022•全国•高二课时练习)一个无穷等比数列的公比q满足回＜1,它的各项和等于6,

这个数列的各项平方和等于18,求这个数列的首项可与公比q.

【答案1q=4,^=—

【分析】根据无穷等比数列前"项的极限和即可求解.

【详解】由题意可知：这个数列的各项平方后，依然构成一个等比数列，且公比为首项

-^-=6

20.(2022•黑龙江•鹤岗一中高二期末)记等差数列｛4｝的前几项和为5”,生=5,邑=9.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵记bn=3%,求数列｛%｝的前〃项和Tn.

【答案】(1)。“=2〃-1；

⑵71=19"一1).

【分析】(1)根据已知条件列出关于首项和公差的方程组即可求解；

(2)根据等比数列求和公式即可求解.

(1)

[CL+2d=5,

由题可知%,,c，解得q=l，d=2,

[3%+3d=9,

・，.%=2〃—1；

(2)

ih32n+1

・.・2=3劭=32〃T=±X9〃，.・.d=^^=9,

T

〃3bn32〃

，｛。｝是首项为3,公比为9的等比数列，

21.（2022•北京市第十一中学实验学校高三阶段练习）已知数列｛4｝是公比为2的等比数列,

且〃3是。1与。4T的等差中项.

（1）求｛4｝的通项公式及前〃项和S”；

、

⑵设7勿-------1:-------,求数列出,｝的前〃项和

log?cin+l,iog2an+2

【答案】⑴。"=2"T,S“=2"-1

ri

⑵f

【分析】（1）利用等差中项的性质结合等比数列的通项公式和前九项和的定义可求解;（2）利用

裂项相消法