《高等数学（经济类）下册 第2版》习题及答案 第十章 二重积分习题答案

习题10-1（A）1．设，其中；，其中，利用二重积分的几何意义说明与的关系.解：由于，所以.2.用几何意义计算下列二重积分值：（1），其中由直线及两坐标轴围成；解：由二重积分的几何意义可知，为以为底，以为顶的四面体的体积，如图10-2所示，故.（2），其中：.解：由二重积分的几何意义可知，此二重积分为以为底，以曲面为顶的上半球的体积，即.3．比较下列二重积分的大小：（1）与，其中由直线及两坐标轴围成；解：由于在积分区域上有，所以，故有.（2）与，其中：，；解：由于在积分区域上有，，所以，故有.（3）与，其中；解：由于在积分区域上有，所以，故有（4）与，其中是以点为顶点的三角形区域.解：由于在积分区域上有，所以，故有.4．估计下列二重积分的值：（1），其中；解：由于在积分区域上函数的最大值，最小值，且，由，故有即.（2），其中；解：由于在积分区域上函数的最大值，最小值，且，由，故有即.（3），其中.解：由于在积分区域上函数的最大值，最小值，且，由，故有即.习题10-1（B）利用二重积分的几何意义说明：（1）当积分区域关于轴对称，且函数满足（即函数是变量的奇函数）时，有.解：由于积分区域是关于轴对称，故可以把分成两部分和，即，且与的面积相等，故.由于，即在与中关于轴对称点上函数值符号相反．根据几何意义是以（不妨设为顶、为底的曲顶柱体体积；而是以（这时为顶、而以为底的曲顶柱体体积的负值，并且这两块立体区域关于轴对称，其体积值相等，如果记，则，所以．（2）当积分区域关于轴对称，且函数满足（即函数是变量的偶函数）时，有，其中为在的部分.解：由于积分区域是关于轴对称，故可以把分成两部分和，即，且与的面积相等，故，由于，即在与中关于轴对称点上函数值相等．根据几何意义是以（不妨设为顶、为底的曲顶柱体体积；同样是以（这时为顶、而以为底的曲顶柱体体积，并且这两块立体区域关于轴对称，其体积值相等，如果记，则，所以．并由此计算下列二重积分的值，其中.（1）；（2）；（3）.解：（1）由于且，积分区域是关于轴对称所以.（2）由于且，积分区域是关于轴对称，被积函数是关于的奇函数，所以.（3）由于且，积分区域是关于轴对称，被积函数是关于的奇函数，所以.估计积分的值，其中.解：由于，且积分区域的面积，在上的最大值，最小值，故.判断积分的符号，其中.解：当时，有，故，因此.

习题10-2（A）在下列区域上分别将二重积分化为直角坐标系下的二次积分：由直线，轴和轴围成；解：.由抛物线和直线围成；解：由解得故.由曲线及围成；解：由解得，故.由抛物线及直线围成；解：由解得，故.由不等式确定；解：.由不等式确定.解：.利用直角坐标计算下列二重积分：（1），其中由直线围成；解：.（2），其中由直线，及围成；解：.（3），其中由直线，，及围成；解：.（4），其中由双曲线及直线，围成；解：.（5），其中由双曲线及直线，围成；解：.如果二重积分的被积函数是两个函数与的乘积，即，并且积分区域，证明这个二重积分等于两个定积分的乘积，即.并由此计算二重积分，其中，.解：（1）.（2）.交换下列累次积分的次序：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.计算下列二次积分：（1）；（2）.解：（1）.（2）.设平面薄片所占的闭区域由直线，和轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量.解：由题意可得故所求平面薄片的质量为.求由平面，，及所围成的立体体积.解：由题意可知该立体体积，其中由轴、轴及直线围成。所以.为修建高速公路，要在一山坡中开辟出一条长500米，宽20米的通道.据测量，以出发点一侧为原点，往另一侧方向为轴，往公路延伸方向为轴，且山坡的高度为（米）试计算所需挖掉的土方量.解：由题意可知，需要挖掉的土方量即为以为顶，以为底的曲顶柱体的体积，其中，即,其中，.故(立方米)即需要挖掉的土方量为立方米.习题10-2（B）在直角坐标系计算下列二重积分：（1），其中由抛物线，直线及轴围成的闭区域；（2），其中是由所围成的闭区域；（3），其中由直线，及所围成的闭区域.解：（1）由解得，故.（2）由于是由所围成，故.（3）因为，并且，，，所以.将下列累次积分或二重积分化为定积分：（1），其中在区间上连续；解：由于，，故将原积分交换积分次序可得.（2），其中由直线，及所围成的闭区域，函数连续.解：.交换积分次序：（1）；（2）.解：（1）积分区域，交换积分次序.（2）积分区域，交换积分次序为.设在上连续，并设，计算.解：由积分可知，积分区域为，交换累次积分的次序，由于,所以.又因为，所以.若函数在区间上连续，区域为，，证明.证：由于积分区域为，，故该区域满足关于直线对称.将这个区域划分为两个区域为，，因此.从而有得证.

习题10-3（A）在极坐标系下，将二重积分化为二次积分,其中区域分别是：（1）；解：.（2）；解：.（3）由直线及圆围成的第一象限部分；解：.（4）是圆的外部和圆的内部围成的在第一象限部分；解：由得，故有.（5）是两圆域，的公共部分；解：由得，故有.（6）.解：.利用极坐标计算下列二重积分：（1），其中区域为，.解：.（2），其中是围成的闭区域；解：.（3），其中；解：.（4），其中是由，及直线，围成的位于第一象限部分的闭区域；解：.（5），其中是位于第一象限的圆域.解：.将下列直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）.（2）.（3）.（4）.将下列极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分：（1）；（2）.解：（1）.（2）.习题10-3（B）在极坐标系下计算下列二重积分：（1），其中是圆域；解：由可知，其对应的极坐标方程为，故.（2），其中为圆域.解：由于，其中为圆域，为圆域.故.所以.计算以面上的圆周的闭区域为底，以曲面为顶的曲顶柱体体积.解：根据题意可知，其中积分区域是由围城的圆域，故有.某水池呈圆形，半径为5米，以中心为坐标原点，距中心距离为处的水深为米，试计算该水池的蓄水量.解：该水池的蓄水量，其中由圆围成，故（立方米）所以该蓄水池的蓄水量为立方米.

习题10-4（A）计算，其中积分区域.解：.计算，其中是由曲线，在第一象限所围成的区域.解：.计算，其中是由不等式，确定的无界区域.解：.习题10-4（B）1.讨论并计算下列反常二重积分：（1），其中；（2），其中.解：（1）,当，即时，,当，即时，,所以，当时，此反常二重积分收敛于，其他情况下发散.（2）由于，故当，即时，,所以，当时，此积分收敛于，当时，此积分发散.

总习题十1.填空.（1）积分的值是；（2）设闭区域，则=.解：（1）填.此题需要交换积分次序才能计算所得的二次积分，得.（2）填.此题需用极坐标下计算重积分..2.计算下列二重积分:（1），其中是顶点分别为，，和的梯形闭区域；（2），其中；（3），其中是圆周所围成的闭区域；（4），其中.解：（1）可以表示为，，于是.（2）由于，，故.（3）利用极坐标计算.在极坐标系中的，于是.（4）利用对称性可知，，用极坐标计算.因此，原式.3.交换下列二次积分的次序:（1）；（2）；（3）.解：（1）所给的二次积分等于闭区域上的二重积分，其中.将表达为，，则得.（2）所给的二次积分等于闭区域上的