处理导数解答题的八种常用方法-2025届高三数学一轮复习讲义

处理导数解答题的八种常用方法

一、方法：

1.列表

根据导函数正负，推导原函数的单调性，列表求极值和最值。

2.分类讨论

导函数最常用的方法，对参数进行分段讨论。

3.分离参数

对于恒成立问题和能成立问题，避免复杂的分类讨论，将参数分离出来，构造新函数求最值。

4.洛必达法则

对于端点值取不到的情况，使用洛必达法则，大题可以直接使用。

5.两边取对数

指数型的不等式或者连乘的不等式，可以两边取对数，利用对数运算降低运算级别。

6.变换主元

若导数问题中含有双变量，根据简单原则确定主元。

7.设而不求

导数零点无法确定的隐零点问题，采用设而不求的方式设出零点，根据方程整体代换，再利用零点存

在定理逐步逼近零点。

8.二阶求导

对于导函数无法判断正负的情况，可以尝试二次求导或者多次求导，再根据图像依次倒推出原函数的

单调性。

二、例题:

分离参数+列表

1.已知函数/。)=(/-。)短.

⑴若a=3,求/(%)的单调区间；

⑵已知石,々是/(%)的两个不同的极值点，且|凡+马因玉4I,若3/(4)<°3+不/一34+6恒成立，求实

数6的取值范围。

解：(l)va=3,.-./(x)=(x2-3)e\r(x)=(/+2x—3)/=0nx=—3或1

令TO。,解得尤e(—应―3)U(l,+8)令尸⑴<0,解得xe(-3,1),

・・・/(x)的增区间为(-应-3),(1,+8)；减区间为(-3,1),

⑵f'(x)=(x2+2x-d)ex=0,即+2x一a=0

由题意两根为,，占+%=-2,4,%2=-。,X,.1!^+x21>|x,x2\：.-2<a<2

且△=4+4。>0,—1<。<2.

—3—3

g(a)=3/(a)—ci—tz"+3a=3(矿a)e"—/——Q-+3(i,

g\a)=3(/+a-l)(e0-1)=0=>a=1、"或a=0

（0与）--1（与，2）

a(-1,0)02

2

g'(a)+0—0+

g(a)/极大值极小值/gQ)

又g(0)=0,g(2)=6e2-8,8(叽叱=6/-8,.•.。>6/-8.

二、分离参数+洛必达法则

2.已知函数=办-1,(其中aeR,e为自然对数的底数).

⑴当。=0时，求曲线"Ax)在(0,〃0))处的切线方程;

(2)当1三1时,若关于%的不等式/⑺三0恒成立,求实数。的取值范围.

⑶当x三1时,若关于1的不等式/⑺三0恒成立,求实数。的取值范围.

2

解：(1)当。=0时，/(刈=/_三-1，"'(x)=e*-x,二/(0)=0"'(0)=1,...切线方程为丁=%.

x

(2)［方法一］2e---l

x>1,f(x)—e*-----cix-120a<---------

2x

X2r2

ex---l(x-lX---1

设g(x)=----2—,贝1Jg'(x)=-------一一

XX

设0(x)=(x-l)ex--+1,贝1J(p\x)=x(ex-1)>0,

。(%)在口,+8)上为增函数，，(p(x)2(p(y)=1>0,

，V=..=匚'在"⑹上为增函数，

33

，g(x)2g(l)=e—3，,•e~~o,

丫2

［方法二］；/(尤)="一］一以一1,；.f\x)=ex-x-a,

设/z(x)=ex-x-a,h'(x)=ex-1,

•••x20,.•.”(0=靖一120,，/7(x)=e，-x-。在口,+8)上为增函数，

W)三以1)=e-1-a.(如何判断其符号？由已知f(x)>°恒成立有/(1)>0)

丫233

又=—120恒成立，「./⑴二^—a—彳20,/.Cl

22，

，力(九)2力(1)=6—1一。>0,「.f\x)=ex-x-a>0,

23

y(x)=e，-二-0-1在口,+8)上为增函数,此时/(x)Nf(X)=e-a—-NO恒成立，

22

..a一e--3-.

2

(改xNO时，『。)》0恒成立.。三1)

X2

解：先证明g(x)在(0,+8)上是增函数，再由洛比达法则5T_“me'-XT，...gaAi,...aWL

iiin-iim-i

x—>0xx->0］

(正常的讨论进行不了，除非系数调到二次项上/0)=，-分两种情况讨论可得aW1)

三、两边取对数

3.设函数/(x)=,斗"＜。＞一1且XHO)

(x+1)ln(x+l)

(1)求/(x)的单调区间；

(2)求/(x)的取值范围；

(3)已知2击＞(x+i)"，对任意xe(-1,0)恒成立，求实数机的取值范围。

左力/•1、「，/、ln(x+l)+l

触⑴“8=一(X+l)[2(X+l)

当f'(x)>。时，即ln(x+1)+1<0,-1<x<e-1-1.

当/(x)<0时，即111。+1)+1>0,0>%>0-1-1或%>0

故函数/(x)的单调递增区间是(T/-1)

函数/(x)的单调递减区间是(e-T0),(0,+oo).

(2)由广。)=。时，即ln(x+l)+l=O,x=eT-l,

由(1)可知/(X)在上递增，在递减,所以在区间(-1,0)上,

当了=/-1时，Ax)取得极大值，即最大值为了(",-1)=-坟

在区间(。,+8)上，/(%)＞0,

函数/(X)的取值范围为(-s,-eRQ+s).分

m

(3),.2^>(x+l)>0,xe(-l,0)»两边取自然对数得±ln2>wln(x+l)

In2

>(x+l)ln(x+l)对xe(-l,O)恒成立12分

In2

则m大于的最大值,13分

(x+)ln(x+l)

由(2)可知，当了=/-1时，—————取得最大值-gln2

(x+l)ln(x+l)

所以附＞-gin2....................14分

四、两边取对数的技巧、换元构造函数

丫2

4.已知函数/(元)="(1+助———.

1+X

⑴求函数/(X)的单调区间；

⑵若不等式(1+1厂we对任意的〃eN*都成立(其中e是自然对数的底数)，求a的最大值.解：⑴函数

n

/(x)的定义域是(-1,+8),

21n(1+尤)x2+2x2(1+x)ln(l+x)-x2-2x

1+x(1+x)2—(1+x)2

设g(x)=2(1+x)ln(l+x)-x2-2x,则g'(x)=2ln(l+x)-2x.

令h(x)=21n(l+x)-2X贝(Jhr(x)=—-—2=—.

'91+x1+x

当-l<x<0时，〃(x)>0,〃(x)在(一1,0)上为增函数,当x>0时,、(x)<0,〃(尤)在(0,+co)上为减

函数.所以尔x)在产0处取得极大值，而力(0)=0,所以g'(x)<0("0),函数g(x)在(-1,+«))上为减函数.

于是当—l<x<0时，8(%)〉8(0)=0,当天>0时，g(x)<g(0)=0.所以，当—l<x<0时，/^)>0,/(x)

在(一1,0)上为增函数.当x>0时,/'(x)<0,/(无)在(0,+8)上为减函数.

故函数/(无)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为。+8).

11

⑵不等式(1+e等价于不等式(〃+a)ln(l+-)<1.

nn

11<1

由1+—>1知，In(l+与>0,.••上式变形得一九

nn皿1+—)

n

iii

设％=一，则G(尤)=77rl—，龙€(0』,则

几ln(l+%)x

11_(l+x)ln2(l+x)—/

G(%)=----------------------1—r=—5----------A----------.

(1+x)ln2(l+%)x2x2(l+x)ln2(l+%)

由⑴结论知，In2(1+x)--------<0,(/(%)W/(O)=。)BP(l+x)ln2(l+x)-x2<0.

1+x

所以G，(x)<0,xe(O,l],于是G(x)在(0,1]上为减函数.

故函数G(x)在(0』上的最小值为G(l)=+-L

所以a的最大值为，-1.

五、变换主元

5.设函数f(x)=alnx-bx2.

⑴若函数/(X)在x=l处与直线>=-；相切：

①求实数人的值；②求函数/(X)在小㈤上的最大值；

e

⑵当匕=0时，若不等式/(X)三m+x对所有的ae［O,-］,xe口,/］都成立，求实数m的取值范围.

解：(1)@f'(x)=--2bx

Xa

［f'(l)=a-2b=0(a=l

♦.•函数/(X)在x=l处与直线y=W相切.•.「小;1,解得L1.

2f(1)=-b=——b=—

I22

(5)/(x)=lnx--x2,f\x)=--x=-——

2xx

当LxVe时，令尸(x)>0得L<1；令尸(x)<0,得l<x〈e,"(X)在上单调递增，在［1,e］

ee\_e

上单调递减，・・・/'(x)max=Al)=-g.

(2)当b=0时，/(x)=alnx若不等式/(x)之机+x对所有的ae0,|,xe(l,e2］都成立，则alnx2/"+x对

所有的ae0，!”0,/］都成立，

即mWaInx-X,对所有的。e［0,|］,尤e(1,e1都成立，

令〃(a)=alnx-x,则/z(a)为一次函数，m</i(a)min.

•.•xe(l,e2］,，lnx>0,.1/zm)在。€［。，万］上单调递增，/z(«)min=h(G)=-x,

m<-x对所有的xe(1,e?］都成立.

­.■l<x<e2,.---e2<-x<-l,m<(-x)^=-e2..

(注：也可令/z(x)=aInx-则加Wh(x)所有的xe(1,e?］都成立，分类讨论得m<以的血=2a-e?对所

有的ae［0《］都成立，，机V(2a-e2)而l-«2,请根据过程酌情给分)

六、二阶求导

6.设函数/(x)=e，-gx2-x.

⑴若左=0,求若x)的最小值;

⑵若当龙20时f(x)21,求实数Z的取值范围.

解：(1)左=0时,f(x)=ex-x,f\x)=ex-1.

当xe(-co,0)时，尸(x)<0；当xe(0,+oo)时，f'(x)>0.

所以/(x)在(-8,0)上单调减小，在(0,+8)上单调增加

故/(X)的最小值为/(0)=1

(2)f\x)=ex-kx-l,f\x)=ex-k

当左W1时，r(x)>0(x>0),所以/'⑴在［0,+⑹上递增，

而/'(0)=0,所以尸(©20(x20),所以/⑴在［0,+8)上递增，

而"))=1,于是当时,/(%)>1.

当左〉1时，由/"(x)=0得x=ln左

当xe(0,lnQ时,rW<0,所以:(功在(0/nQ上递减,

而八0)=0,于是当尤e(0,lnQ时,/(九)<0,所以/(%)在(0,ln幻上递减,

而"))=1,所以当xe(0,lnQ时,/(%)<1.

综上得左的取值范围为(-8』］.

七、分类讨论

7.已知函数,3=匕小区由

X

(I)求函数f(X)的定义域

(II)确定函数f(X)在定义域上的单调性，并证明你的结论.

(III)若x〉0时/(x)＞占恒成立，求正整数N的最大值.

解：⑴定义域(-1,0)。(0,+8)

(2)/,(X)=4[^T+W+D]当尤>0时，/'(x)<0单调递减。

XX+1

111X

当XG(-1,0),令g(x)=--+ln(x+1)g'(x)=----V+--=-~~

x+1(x+1)x+1(X+1)

ga)1+w)11X

g'(x)=-----T-----------二-------------T

U+l)2x+1(x+1)2

故g(x)在(―1,0)上是减函数,即g(x)>g(0)=l>0,

故此时/⑺=-+ln(x+1)]

Xx+1

在(一1,0)和(0,+8)上都是减函数

(3)当X>0时,/(%)>—^7恒成立，令1=1有％<2[l+ln2]

x+1

又k为正整数，.•.!<的最大值不大于3

k

下面证明当k=3时，/W>―r0>0)恒成立

X+1

当x>0时(x+1)ln(x+1)+1-2x>Of旦成立

令g(x)=(x+l)ln(x+l)+l—2x贝(Jg'O)=ln(x+l)-l,当—l时，gf(x)>0

当0<%<e-l时，g，(x)<0:.当x=e-1时，g(x)取得最小值g(e-l)=3-e>0

当X>0时，(x+l)ln(x+l)+l-2%>0恒成立，因此正整数k的最大值为3

八、分离参数+设而不求

8.已知函数/'(无)=([-6x?+3x+f)e工,teR.

若存在实数te[0,2],使对任意的xe[l,向，不等式/(X)WX恒成立.求正整数加的最大值.

解：不等式/(x)Vx,即(尤3-6x2+3x+f)e"x,即/4旄一，一/+6/一3尤.

转化为存在实数/[0,2],使对任意xe[l,%],不等式任x/-尤3+6/一3%恒成立,

即不等式04旄-，-尤3+6尤2_3》对任意xe[1,m]上恒成立。

即不等式0<e-，—_?+6x—3在x©[L间上恒成立。

x2x

设(p(x)=e~-x+6x-3,则(p'(x)=~e~-2x+6o

设厂(x)=°'(x)=-H*-2x+6,则/(x)=ef-2,因为14x4m,有r'(x)<。。

故r(x)在区间[1,间上是减函数。

Xr(l)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,r(3)=-e-3<0

故存在/e(2,3),使得r(x0)=*%)=0。

当lWx<x()时，有d(x)>0,当」>!时,有d(x)<0。

从而y=G(x)在区间[1,5]上递增，在区间[%，+00)上递减。

又火1)=1+4〉0,以2)="2+5>0,夕(3)=I+6>0,

9(4)=e-+5>0用(5)="5+2〉0,^(6)=e-6-3<0.

所以当时，恒有0(x)>0；当x26时，恒有。。)<0；

故使命题成立的正整数m的最大值为5.

九、设而不求+两边取对

9.已知函数/(x)=mrl(x+l)(x>o).

X

(I)试判断函数/(X)在(0,+8)上单调性并证明你的结论；

(II)若/*)>々恒成立，求整数N的最大值；

(III)求证：(1+1X2)(1+2X3)…[1+〃(加l)]>e2"T.

1X11

解：(I)/'(X)=­[-----1-ln(x+1)]=—-[----+ln(x+1)]

XX+1XX+1

x>0,/.x2>0,--—>0,ln(x+1)>0,/.f\x)<0./(%)在(0,oo)上递减.

x+1'

(II)f(x)>—恒成立,即/z(x)=a+l)[l+ln(x+l)]>々恒成立.

x+1