【上海54】第一次月考A卷（考试版+解析）

2023-2024学年九年级上学期第一次月考A卷·基础知识达标测（考试时间：100分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第24章、第25章（沪教版）5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，2．已知线段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正确的是（）A．2a＝3b B．a+b＝5 C． D．3．如图，已知l1∥l2∥l3，它们依次交直线l4、l5于点A、B、C和点D、E、F，如果DE：DF＝3：5，AC＝12，那么BC的长等于（）A．2 B．4 C． D．4．已知非零向量、、，下列条件中不能判定的是（）A． B． C．， D．，5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是（）A． B． C．3 D．6．在矩形ABCD中，下列结论正确的是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知，那么＝．8．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，，那么AB的长是．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，如果S△ADE＝4，S△BDF＝9，那么S△ABC＝．10．如图，已知在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，且相交于点F，过点F作FG∥AC，那么＝．11．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点，CE⊥DE，AD＝5，BC＝11，则DC＝．12．如图，斜坡AB的坡度i1＝1：，现需要在不改变坡高AH的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC的坡度i2＝1：2.4，已知斜坡AB＝10米，那么斜坡AC＝米．13．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB＝3AE，设，，那么＝．14．已知：如图，EF∥AB∥CD，AC与BD交于点E，AB＝6，CD＝9，那么EF＝．15．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么它的重心G到C点的距离是．16．如图，某飞机在离地面垂直距离1000米的上空A处，测得地面控制点B的俯角为60°，那么飞机与该地面控制点之间的距离AB等于米（结果保留根号）．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ABE＝∠C，DE∥AB，如果AB＝6，AC＝9，那么S△BDE：S△CDE的值是．18．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为．三、解答题：（本大题共7题，19-22题每题10分，23-24题每题12分，25题14分，满分78分）19．计算：．20．已知x：y＝0.5：0.3，y：z＝：，求x：y：z．21．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．22．如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN、M′N′为法线．入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．（1）求BC的长；（结果保留根号）（2）如果DE＝8.72米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0.93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cos40.5°取0.76，tan40.5°取0.85）23．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC边于点D．求：（1）线段AB的长；（2）tan∠DBA的值．24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，连接BO并延长交边CD于点E．（1）①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值；（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．25．已知在正方形ABCD中，对角线BD＝4，点E、F分别在边AD、CD上，DE＝DF．（1）如图，如果∠EBF＝60°，求线段DE的长；（2）过点E作EG⊥BF，垂足为点G，与BD交于点H．①求证：；②设BD的中点为点O，如果OH＝1，求的值．

2023-2024学年九年级上学期第一次月考A卷·基础知识达标测（考试时间：100分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一．选择题（共6小题）1．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，B.1×4≠2×3，故不符合题意，C.≠2×3，故不符合题意，D.，故符合题意，故选：D．【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．2．已知线段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正确的是（）A．2a＝3b B．a+b＝5 C． D．【分析】根据比例的性质进行判断即可．【解答】解：A、由a：b＝2：3，得3a＝2b，故本选项错误，不符合题意；B、当a＝4，b＝6时，a：b＝2：3，但是a+b＝10，故本选项错误，不符合题意；C、由a：b＝2：3，得＝，故本选项正确，符合题意；D、当a＝4，b＝6时，a：b＝2：3，但是＝，故本选项错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．3．如图，已知l1∥l2∥l3，它们依次交直线l4、l5于点A、B、C和点D、E、F，如果DE：DF＝3：5，AC＝12，那么BC的长等于（）A．2 B．4 C． D．【分析】由“DE：DF＝3：5，EF＝DF﹣DE”，可得出EF：DF＝2：5，由l1∥l2∥l3，利用平行线分线段成比例，可得出＝，代入AC＝12，EF：DF＝2：5，即可求出BC的长．【解答】解：∵DE：DF＝3：5，EF＝DF﹣DE，∴EF：DF＝2：5．∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴BC＝．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．4．已知非零向量、、，下列条件中不能判定的是（）A． B． C．， D．，【分析】根据平行向量的定义逐一判断即可．【解答】解：∵向量、、为非零向量，，∴与方向相同，∴，∵||＝2||，不能说明方向相同或相反，∴不能判定；∵，，∴；∵，，∴与方向相同，∴，故选项B符合题意，故选：B．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平行向量的定义是解题的关键．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是（）A． B． C．3 D．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，∴AB＝＝＝，∴sinA＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．6．在矩形ABCD中，下列结论正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据矩形的性质及向量的性质可进行求解．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，AO＝OC，∴，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查向量及矩形的性质，熟练掌握向量及矩形的性质是解题的关键．二．填空题（共12小题）7．已知，那么＝．【分析】由，可设a＝3k，b＝4k，然后代入，化简求解即可求得答案．【解答】解：∵，∴设a＝3k，b＝4k，∴＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，注意解此题的关键是掌握由，可设a＝3k，b＝4k的解题方法．8．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，，那么AB的长是．【分析】根据余弦值的定义即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由cosB＝得AB＝＝＝9，故答案为：9．【点评】本题主要考查解直角三角形，解此题的关键在于利用三角比的定义求解即可．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，如果S△ADE＝4，S△BDF＝9，那么S△ABC＝．【分析】根据DE∥BC，DF∥AC推出判定△ADE∽△BDF的条件，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出AD与BD的比，再根据比例的性质求出AD与AB之比，判定△ADE∽△ABC后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴∠ADE＝∠DBF，∠AED＝∠ACB，∠BFD＝∠ACB，∴∠AED＝∠BFD，∴△ADE∽△DBF，∵S△ADE＝4，S△BDF＝9，∴，∴，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，又∵，∴，∵S△ADE＝4，∴S△ABC＝25．故答案为：25．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．10．如图，已知在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，且相交于点F，过点F作FG∥AC，那么＝．【分析】根据AD、BE分别是BC、AC边上的中线可得，根据FG∥AC可得，进而得出结论．【解答】解：∵AD、BE分别是BC、AC边上的中线，∴，DC＝BC，∵FG∥AC，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．11．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点，CE⊥DE，AD＝5，BC＝11，则DC＝．【分析】利用两角相等证明△ADE与△BEC相似，求出AE，根据勾股定理分别求出DE和CE，根据勾股定理进而求出DC．【解答】解：∵直角梯形ABCD且AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∵CE⊥DE，即∠DEC＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，又∠AED+∠ADE＝90°，∴∠BEC＝∠ADE，∴△ADE∽△BEC，∴＝，∵E是腰AB的中点，AD＝5，BC＝11，∴BE=AE＝，在Rt△ADE中，根据勾股定理，DE＝＝4，在Rt△BCE中，根据勾股定理，CE＝＝4，在Rt△DEC中，根据勾股定理，CD＝＝16，故答案为：16．【点评】本题考查三角形相似和直角三角形中勾股定理的运用，解题的关键是找到两个三角形相似．12．如图，斜坡AB的坡度i1＝1：，现需要在不改变坡高AH的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC的坡度i2＝1：2.4，已知斜坡AB＝10米，那么斜坡AC＝米．【分析】根据斜坡AB的坡度i1＝1：和AB的值先求出AH，再根据斜坡AC的坡度i2＝1：2.4求出AC即可．【解答】解：∵i1＝1：，∴tan∠ABH＝，∴∠ABH＝30°，∴AH＝AB＝10＝5（米），∵坡度i2＝1：2.4，∴，即，解得CH＝12，∴AC＝＝13（米）．故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡脚问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．13．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB＝3AE，设，，那么＝．【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，从而得出，再根据AB＝3AE推出，再根据三角形运算法则即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴，∵AB＝3AE，∴BE＝，∴，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟练掌握平面向量三角形运算法则是解题的关键．14．已知：如图，EF∥AB∥CD，AC与BD交于点E，AB＝6，CD＝9，那么EF＝．【分析】证明△CEF∽△CAB，＝，同理可得＝，得到+＝1，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴＝，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BDC，∴＝，∴+＝+＝1，∴+＝1，解得：EF＝，故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．15．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么它的重心G到C点的距离是．【分析】延长CG交AB于D，如图，根据三角形重心的性质得到AD为AB边上的中线，CG＝2DG，则CG＝AB，然后利用勾股定理计算出AB即可．【解答】解：延长CG交AB于D，如图，∵G点为△ABC的重心，∴CD为AB边上的中线，CG＝2DG，∴CD＝AB，∴CG＝CD＝AB，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∴CG＝×5＝，即三角形的重心G到C点的距离是．故答案为．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．16．如图，某飞机在离地面垂直距离1000米的上空A处，测得地面控制点B的俯角为60°，那么飞机与该地面控制点之间的距离AB等于米（结果保留根号）．【分析】根据题意可得：AC⊥BC，∠DAB＝60°，DA∥BC，从而可得∠ABC＝∠DAB＝60°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：AC⊥BC，∠DAB＝60°，DA∥BC，∴∠ABC＝∠DAB＝60°，在Rt△ABC中，AC＝1000米，∴AB＝＝＝（米），∴飞机与该地面控制点之间的距离AB等于米，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ABE＝∠C，DE∥AB，如果AB＝6，AC＝9，那么S△BDE：S△CDE的值是．【分析】利用相似三角形的判定定理和性质定理求得线段AE的长，再利用平行线分线段成比例定理求得BD：CD的值，最后利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质解答即可．【解答】解：∵∠ABE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝4．∴EC＝AC﹣AE＝5．∵DE∥AB，∴，∴．∴S△BDE：S△CDE＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等高的三角形的面积比等于底的比的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．18．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为．【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：第1步：利用角平分线的性质，得到BD＝CD；第2步：延长AC，构造一对全等三角形△ABD≌△AMD；第3步：过点M作MN∥AD，构造平行四边形DMNG．由MD＝BD＝KD＝CD，得到等腰△DMK；然后利用角之间关系证明DM∥GN，从而推出四边形DMNG为平行四边形；第4步：由MN∥AD，列出比例式，求出的值．【解答】解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．∵＝＝＝＝，∴BD＝CD．如图，延长AC，在AC的延长线上截取AM＝AB，则有AC＝4CM．连接DM．在△ABD与△AMD中，，∴△ABD≌△AMD（SAS），∴MD＝BD＝CD．过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．∵MN∥AD，∴＝＝，∴CK＝CD，∴KD＝CD．∴MD＝KD，即△DMK为等腰三角形，∴∠DMK＝∠DKM．由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1＝∠2；∵MN∥AD，∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，又∵∠DKM＝∠3（对顶角），∴∠DMK＝∠4，∴DM∥GN，∴四边形DMNG为平行四边形，∴MN＝DG＝2FD．∵点H为AC中点，AC＝4CM，∴＝．∵MN∥AD，∴＝，即，∴＝．故答案为：．方法二：如图，有已知易证△DFE≌△GFE，故∠5＝∠B+∠1＝∠4＝∠2+∠3，又∠1＝∠2，所以∠3＝∠B，则可证△AGH∽△ADB设AB＝5a，则AC＝4a，AH＝2a，所以AG∶AD＝AH∶AB＝2∶5，而AD＝AG+GD，故GD∶AD＝3∶5，所以AG：GD＝2：3，F是GD的中点，所以AG：FD＝4：3．【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．三．解答题（共7小题）19．计算：．【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．【解答】解：＝＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键．20．已知x：y＝0.5：0.3，y：z＝：，求x：y：z．【分析】由比例的性质容易得出结论．【解答】解：∵x：y＝0.5：0.3＝5：3＝10：6，y：z＝：＝2：5＝6：15，∴x：y：z＝10：6：15．【点评】本题考查了比例的性质；熟练掌握比例的基本性质是解决问题的关键．21．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；（2）由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．22．如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN、M′N′为法线．入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．（1）求BC的长；（结果保留根号）（2）如果DE＝8.72米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0.93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cos40.5°取0.76，tan40.5°取0.85）【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得CF和BF的值，然后即可计算出BC的值；（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深．【解答】解：（1）作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，则AF∥MN∥M′N′，∴∠ABM＝∠BAF，∠ACM′＝∠CAF，∵∠ABM＝30°，∠ACM′＝60°，∴∠BAF＝30°，∠CAF＝60°，∵AF＝6米，∴BF＝AF•tan30°＝6×＝2（米），CF＝AF•tan60°＝6×＝6（米），∴BC＝CF﹣BF＝6﹣2＝4（米），即BC的长为4米；（2）设水池的深为x米，则BN＝CN′＝x米，由题意可知：∠DBN＝22°，∠ECN′＝40.5°，DE＝8.72米，∴DN＝BN•tan22°≈0.4x（米），N′E＝CN′•tan40.5°≈0.85x（米），∵DN+DE＝BC+N′E，∴0.4x+8.72＝4+0.85x，解得x≈4，即水池的深约为4米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC边于点D．求：（1）线段AB的长；（2）tan∠DBA的值．【分析】（1）先解Rt△ABC，得出sinC＝＝，设出AB＝3k，则BC＝5k，由BC2﹣AB2＝AC2，得出方程（5k）2﹣（3k）2＝82，解方程求出k的值，进而得到AB；（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD＝x，则CD＝8﹣x．根据角平分线的性质得出DE＝AD＝x，利用HL证明Rt△BDE≌Rt△BDA，得到BE＝BA＝6，那么CE＝BC﹣BE＝4．然后在Rt△CDE中利用勾股定理得出DE2+CE2＝CD2，即x2+42＝（8﹣x）2，解方程求出x的值，即为AD的长，再根据正切函数的定义即可求解．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∴sinC＝＝，BC2﹣AB2＝AC2，∴可设AB＝3k，则BC＝5k，∵AC＝8，∴（5k）2﹣（3k）2＝82，∴k＝2（负值舍去），∴AB＝3×2＝6；（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD＝x，则CD＝8﹣x．∵BD平分∠CBA交AC边于点D，∠CAB＝90°，∴DE＝AD＝x．在Rt△BDE与Rt△BDA中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），∴BE＝BA＝6，∴CE＝BC﹣BE＝5×2﹣6＝4．在Rt△CDE中，∵∠CED＝90°，∴DE2+CE2＝CD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AD＝3，∴tan∠DBA＝＝＝．【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，全等三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解决第（2）问的关键．24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，连接BO并延长交边CD于点E．（1）①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值；（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠DCA，由平行线的性质得出∠DAC＝∠ACB，由直角三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB，根据相似三角形的判定定理可得出结论；②得出∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m，则可得出答案；（2）①如图3，当点E在AD上时，证明四边形ABCE是矩形．设AD＝CD＝x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案；②如图4，当点E在CD上时，设AD＝CD＝x，则CE＝x﹣2，设OB＝OC＝m，由相似三角形的性质得出，证明△EOC∽△ECB，得出比例线段，可得出方程，解方程可得出答案．【解答】（1）①证明：如图1，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，∴△DAC∽△OBC；②解：如图2，若BE⊥CD，在Rt△BCE中，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m，在Rt△DCH中，DC＝2m，∴CH＝m，∴BC＝BH+CH＝3m，∴；（2）设AD＝CD＝x，则CE＝x﹣2，设OB＝OC＝m，∵OE＝3，∴EB＝m+3，∵△DAC∽△OBC，∴，∴，∴．∵∠EBC＝∠OCE，∠BEC＝∠OEC，∴△EOC∽△ECB，∴，∴，∴，∴m＝，将m＝代入，整理得，x2﹣6x﹣10＝0，解得x＝3+，或x＝3﹣（舍去）．∴CD＝3+．【点评】本题考查了相似形综合题，掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关键．25．已知在正方形ABCD中，对角线BD＝4，点E、F分别在边AD、CD上，D