24.6 实数与向量相乘（第1课时）同步练习

24.6实数与向量相乘（第1课时）【夯实基础】1.下列命题中的假命题是（ ）（A）向量与的长度相等（B）两个相等向量若起点相同，则终点必相同（C）只有零向量的长度等于0（D）平行的单位向量都相等2.填空： ； ； ； ； ； ．3.如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O．设，，试用、表示下列向量：，，，，，．5.如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，EG与FH相交于点O．设，，试用向量或表示向量、，并写出图中与相等的向量．6．（2020·全国·九年级课时练习）如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）7．（2019·全国·九年级课时练习）如图，在矩形中，、、、是、的三等分点，设，．请用向量、表示向量、，并写出图中与、相等的向量．8．（2019·全国·九年级课时练习）作图题：（1）已知向量、，求作向．（2）已知两个不平行的向量，，求作向量．9．（2019·全国·九年级课时练习）已知非零向量，请利用勾股定理正确作出．10．（2019·全国·九年级课时练习）已知非零向量，求作、、．11．（2014·上海闵行·一模）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，；(2)求作向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【能力提升】1．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知DE∥AC，DF∥AB，BD：DC=2：5，设．表示：．2．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在△ABC中，D是AB边的中点，E是BC延长线上的点，且BE=2BC，试用、表示．3．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，O为△ABC内一点，点D、E分别在AB、AC上，且；若，，求：用向量，表示．4．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，.试用、的式子表示向量.5．（2022·上海·八年级期末）如图，已知平行四边形ABCD，=，=．（1）=；（用，的式子表示）（2）=；（用，的式子表示）（3）若AC⊥BD，||=4，||=6，则|+|=．6.如图，已知点D、E分别在的边AB、AC上，DE//BC，AD=4，BD=7，试用向量表示向量．7.如图，已知，求作（提示：利用三角形的重心）．

24.6实数与向量相乘（第1课时）（解析版）【夯实基础】1.下列命题中的假命题是（ ）（A）向量与的长度相等（B）两个相等向量若起点相同，则终点必相同（C）只有零向量的长度等于0（D）平行的单位向量都相等【答案】D【解析】D选项，平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量． 【总结】此题主要考查向量的相关概念．2.填空： ； ； ； ； ； ．【答案】；；；；；．【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如是利用减法法则，箭头指向被减数，同时，这样运算复杂了，但也是一种思路．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．3.如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O．设，，试用、表示下列向量：，，，，，．【答案】．【解析】利用平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分的性质来求解以上向量:；；；；；．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．4.已知非零向量，求作，．【解析】与方向相同，长度是的倍；方向与相反，长度是的3倍，作图略．【总结】此题主要考查如何根据已知向量求作所需的向量．5.如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，EG与FH相交于点O．设，，试用向量或表示向量、，并写出图中与相等的向量．【答案】，与相等的向量有．【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以，与相等的向量有五个．6．（2020·全国·九年级课时练习）如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】化简得﹣+2；作图见解析．【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形．【详解】解：==﹣+2．如图：=2，=﹣，则=﹣+2，即即为所求．【点睛】此题考查了平面向量的运算法则以及作法．注意作图时准确利用三角形法则是关键．7．（2019·全国·九年级课时练习）如图，在矩形中，、、、是、的三等分点，设，．请用向量、表示向量、，并写出图中与、相等的向量．【答案】，，，【分析】根据平面向量的定义和性质求解即可.【详解】解：，，，．【点睛】本题考查了相等向量的识别，掌握向量的定义是关键.8．（2019·全国·九年级课时练习）作图题：（1）已知向量、，求作向．（2）已知两个不平行的向量，，求作向量．【分析】（1）先将向量化简，然后根据三角形法则即可求出答案；（2）先将向量化简，然后根据三角形法则即可求出答案.【详解】解：（1）原式=，如图，，，，则即为所求；（2）原式=，=，如图，，，，则即为所求.【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算及三角形法则解题的关键．9．（2019·全国·九年级课时练习）已知非零向量，请利用勾股定理正确作出．【分析】利用勾股定理作出，然后在向量的方向上截取相应长度即可作出符合条件的向量.【详解】解：作法：1．作射线AM，在射线AM作；2．过点B作AM的垂线BN，在射线BN上截取BC=2AB；3．连接AC，4．在在射线AM上截取AD=AC；5．向量就是所要求作的向量.【点睛】本题考查了向量的作图，用勾股定理作出长度为的线段是关键.10．（2019·全国·九年级课时练习）已知非零向量，求作、、．【分析】与方向相同，长度是的3倍，据此作图即可；与方向相反，长度是的2倍，据此作图即可；与方向相反，长度是的倍，据此作图即可.【详解】解：（1）（2）（3）【点睛】本题考查了向量的作图，明确各向量与已知向量的方向及长度关系是作图的关键.11．（2014·上海闵行·一模）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，；(2)求作向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【答案】(1)=+；(2)取点AB的中点M，作=，连接，则即为所求．【详解】试题分析：（1）由DE∥BC，AD:DB＝2:3，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE：AC=2：5，又由＝，＝，利用三角形法则，即可求得，继而求得答案；（2）取点AB的中点M，作=，连接，则即为所求．试题解析：（1）∵DE∥BC，∴AE:AC＝AD:AB="2:5"，∵＝，＝，∴=+=+，∴==（）=+；（2）取点AB的中点M，作=，连接，则即为所求．考点：平面向量【能力提升】1．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知DE∥AC，DF∥AB，BD：DC=2：5，设．表示：．【答案】；；；【分析】由BD：DC=2：5可得出的值；由平行线分线段成比例定理可得出的值；由BD：DC=2：5可得BD：BC=2：7，可求出的值，点睛向量加法法则可求出的值；平行线分线段成比例定理可得的值．【详解】∵BD：DC=2：5，∴，BD：BC=2：7，CD：BC=5：7，∵DF∥AB，∴，∴，∵BD：BC=2：7，∴，∴，∵DE//AC，∴=，∴．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理及向量的加法，熟练掌握向量的加法法则是解题关键．2．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在△ABC中，D是AB边的中点，E是BC延长线上的点，且BE=2BC，试用、表示．【答案】【分析】根据平面向量几何运算的三角形法则表示.【详解】∵D是AB边的中点，BE=2BC∴∴【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，解题的关键是掌握平面向量几何运算的三角形法则.3．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，O为△ABC内一点，点D、E分别在AB、AC上，且；若，，求：用向量，表示．【答案】【分析】根据三角形法则和平行线分线段成比例来求．【详解】解：∵∴∴DE∥BC∴∵∴；【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，.试用、的式子表示向量.【答案】【分析】先根据平行线分线段成比例得到，得到，再根据即可求解.【详解】即，与同向，【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识.5．（2022·上海·八年级期末）如图，已知平行四边形ABCD，=，=．（1）=；（用，的式子表示）（2）=；（用，的式子表示）（3）若AC⊥BD，||=4，||=6，则|+|=．【答案】（1）﹣+；（2）+；（3）2．【分析】（1）（2）根据平面向量的加法法则计算即可解决问题；（3）利用勾股定理计算即可；【详解】解：（1）=﹣+；（2）==+；（3）∵AC⊥BD，||=4，||=6，∴|+|=．故答案为（1）﹣+；（2）+；（3）2．【点睛】本题考查平行四边形的性质．平面向量的加法法则等知识，解题的关键是熟练掌握三角形加法法则，属于中考常考题型．6.如图，已知点D、E分别在的边AB、AC上，DE//BC，AD=4，BD=7，试用