高考数学一轮复习：指数与指数函数（讲义）（原卷版+解析）

第04讲指数与指数函数

目录

考点要求考题统计考情分析

(1)理解有理数指数幕的含义，了从近五年的高考情况来看，指数

解实数指数基的意义，掌握指数幕的运算与指数函数是高考的一个

运算性质.重点也是一个基本点，常与二次

2022年甲卷第12题，5分

(2)通过实例，了解指数函数的实函数、募函数、对数函数、三

2020年新高考n卷第H题，5分

际意义，会画指数函数的图象.角函数综合，考查数值大小的

(3)理解指数函数的单调性、特殊比较和函数方程问题.

点等性质，并能简单应用.

根式的定义

指数与指数函数

―夯基•必备基础知识梳理

1、指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果无"=口，那么x叫做。的"次方根，其中(〃>1,neN"),记为布，〃称为根指数，。称

为根底数.

(2)根式的性质：

当”为奇数时，正数的"次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.

当”为偶数时，正数的“次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是基运算中的一个参数，。为底数，〃为指数，指数位于底数的右上角，

塞运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数累的分类

〃个

①正整数指数基/“二(nW②零指数幕。°=1("°)；

CL—ClClCI•••ClI"t2V)

③负整数指数幕或"=4(。*0,〃eN*)；④0的正分数指数累等于0,0的负分数指数嘉没有意义.

a

(5)有理数指数哥的性质

①暧a"=a'"+"(a＞0,加,〃w。)；②(4')"=暧"(。＞0,m,ncQ)；

___m

③(ab)"'=a"'b"'(a＞0,b＞0,m&Q)■④"m，〃e。).

2、指数函数

y=优

0<«<1a>l

图

象

o|1

性①定义域R,值域(。，+8)

质②“。=1,即时x=0,y=l,图象都经过(0，1)点

@ax=a,即x=l时，V等于底数。

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤尤<0时，ax>1;x>0时，0<ax<1X<0时，0<优<1;%>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【解题方法总结】

1、指数函数常用技巧

(1)当底数大小不定时，必须分和两种情形讨论.

(2)当0＜。＜1时，xf+oo,y—o；。的值越小，图象越靠近'轴，递减的速度越快.

当。＞1时xf+8,y-o；。的值越大，图象越靠近丫轴，递增速度越快.

(3)指数函数y=优与y=(-)x的图象关于y轴对称.

a

一提升•必考题型归纳

【典例例题】

题型一：指数运算及指数方程、指数不等式

、"+3

【例1】（2023•海南省直辖县级单位•统考模拟预测）

【对点训练1】（2023•全国•高三专题练习）下列结论中，正确的是（

A.设。>。，则於廿二“B.若〃/=2,则加=土蚯

C右。+。,=3,则.5+°2=±逐D.=2—71

【对点训练2】（2023•全国•高三专题练习）A22

B.2+71C.4一兀D.6—71

【对点训练3】（2023•全国•高三专题练习）甲、乙两人解关于x的方程2，+。・2-'+0=0,甲写错了常数。,

17

得到的根为x=-2或X=log21,乙写错了常数C,得至IJ的根为1=0或%=1,则原方程的根是（）

A.x=-2^x=log23B.x=—1或尤=1

C.x=0或x=2D.X=—1或九=2

【对点训练4】（2023•全国•高三专题练习）若关于x的方程9"+3同-根+1=0有解，则实数加的取值范围是

（）

5

A.(l,+°o)—,+coC.(-00,3]D.(1,3]

4

【对点训练5】（2023•上海青浦•统考一模）不等式：的解集为.

【对点训练6】（2023•全国•高三专题练习）不等式10,-6工-3工21的解集为.

【解题总结】

利用指数的运算性质解题.对于形如a"''=6,aM>b,。/⑺<6的形式常用“化同底”转化，再利用指

数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如片"+及r'+c=0或1x+&f+C摩）（0）的形式，可借助

换元法转化二次方程或二次不等式求解.

题型二：指数函数的图像及性质

【例2】（多选题）（2023•全国•高三专题练习）函数/（"=2'+=（awR）的图象可能为（）

【对点训练7】（2023•全国•高三专题练习）已知了⑶=，3?+2如-"—1的定义域为R,则实数a的取值范围

是______

【对点训练8】（2023•宁夏银川•校联考二模）已知函数/（力=4'-2A2—1,xe［0,3］,则其值域为.

【对点训练9】（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（力="（a>0,awl）在［L2］内的最大值是最小值的两

/(x)+l,x>1则g［；］+g(2)=

倍,且g(x)=

log3x-l,0<x<l

【对点训练10］（2023•全国•高三专题练习）函数y=（。-2）2/是指数函数，则（）

A.a=l或a=3B.a=lC.a=3D.。〉0且awl

【对点训练11】（2023•全国•高三专题练习）函数〃耳=（产-6）2的大致图像如图，则实数a,b的取值只可

B.a>0,0<b<}

C.a<0,b>lD.a<0,0<b<l

【对点训练12］（2023•全国•高三专题练习）己知函数/（元）="一4+1（。>0且awl）的图象恒过定点A,

io

若点A的坐标满足关于x,y的方程痛+利=4（根>0,〃>0）,则_*_+二的最小值为（）

mn

A.8B.24C.4D.6

【对点训练13】（多选题）（2023•浙江绍兴•统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”

使用的公式是匕=片（1+灯”伏>-1）,其中匕为预测期人口数，益为初期人口数，%为预测期内人口年增长

率，〃为预测期间隔年数，则（）

A.当左则这期间人口数呈下降趋势

B.当左则这期间人口数呈摆动变化

C.当上=$勺226时，”的最小值为3

D.当左=-g，e,wg此时，”的最小值为3

【对点训练14】（多选题）（2023•山东聊城•统考二模）已知函数=则（）

A.函数〃x）是增函数

B.曲线y=/（x）关于对称

C.函数的值域为

D.曲线y=〃x）有且仅有两条斜率为g的切线

【解题总结】

解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质

找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

题型三：指数函数中的恒成立问题

【例3】（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（%）=2",%£R,若不等式尸（%）+/（%）一根>。在R上恒成立，

则实数m的取值范围是.

,X—r）~x/\

【对点训练15】（2023•全国•高三专题练习）设/（x）=三二，当xeR时，/+如）+/⑴>0恒成立,

则实数m的取值范围是.

【对点训练16］（2023•全国•高三专题练习）已知不等式4，-少2工+2>0,对于ae（ro,3］恒成立，则实数x

的取值范围是.

【对点训练17](2023•全国•高三专题练习)若xe[-L,+s),不等式平-巾2工+1>0恒成立，则实数加的取

值范围是.

【对点训练18](2023•上海徐汇•高三位育中学校考开学考试)已知函数〃x)=油是定义域为R的奇函

数.

(1)求实数6的值，并证明/(x)在R上单调递增；

(2)已知a>0且。片1,若对于任意的4、都有〃%)+；2°廿恒成立，求实数。的取值范围.

【解题总结】

已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象，利用数形结合的方法求解.

题型四：指数函数的综合问题

171

【例4】(2023•全国•合肥一中校联考模拟预测)已知函数/(X)==^+k^+l+―7,则不等式

'/2、+24x-4x-1

〃2x+3)>/(f)的解集为()

A.(—2,1)口(1,B.(-1,1)U(3，H

C.卜川U(3,+⑹D.(-3,1)U(3,^>)

【对点训练191(2023.上海浦东新.华师大二附中校考模拟预测)设.若函数y=/⑺的

I2—U2)

定义域为(F』)U(1,E),则关于X的不等式"2/(a)的解集为.

【对点训练20](2023•河南安阳•统考三模)已知函数〃无)=6+苗[(“>0)的图象关于坐标原点对称，则

a+b=.

【对点训练211（2023•江西景德镇•统考模拟预测）已知/（%）是定义在R上的偶函数，且当x20时，/（x）=e",

则满足“x+1），f（x）的龙的取值范围是

____o

【对点训练22】（2023・河南信阳・校联考模拟预测）已知实数。，8满足半+2a=3,log?炳工+〃=§，则

3]

a+—b=.

2----------------

【对点训练23】（多选题）（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考二模）点加（石,%）在函数y=e，的图象上,

当百40,1）,则£可能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

1.(2022.全国.统考高考真题)9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>Q>a

2.(2022•北京•统考高考真题)已知函数〃无)=「二，则对任意实数x,有()

1+2

A./(-x)+/(%)=0B./(T)-/(X)=0

c./(-x)+/(x)=lD./(-%)-/(%)=1

3.(2020•山东.统考高考真题)已知函数y=〃x)是偶函数，当xe(0,+◎时，y="(0<a<l),则该函数

在(一*0)上的图像大致是()

第04讲指数与指数函数

目录

考点要求考题统计考情分析

(1)理解有理数指数幕的含从近五年的高考情况来看，

义，了解实数指数塞的意义，指数运算与指数函数是高

掌握指数幕的运算性质.考的一个重点也是一个基

2022年甲卷第12题，5分

(2)通过实例，了解指数函数本点，常与二次函数、塞函

2020年新高考II卷第11题,

的实际意义，会画指数函数的数、对数函数、三角函数综

5分

图象.合，考查数值大小的比较

(3)理解指数函数的单调性、和函数方程问题.

特殊点等性质，并能简单应用.

根式的定义

指数与指数函数

定点

―夯基•必备基础知识梳理

1、指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果无'="，那么x叫做。的〃次方根，其中(〃>1,neN*),记为折，”称

为根指数，。称为根底数.

(2)根式的性质：

当“为奇数时，正数的"次方根是一个正数，负数的“次方根是一个负数.

当“为偶数时，正数的〃次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是基运算a"(aNO)中的一个参数，a为底数，〃为指数，指数位于

底数的右上角，幕运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数累的分类

〃个

①正整数指数暴屋丁-；②零指数累。°=()；

CI_—C°lC7lCI•••ClS\rletNIV*))1"°

③负整数指数塞，'=5(。*0,neN*)；④0的正分数指数事等于0,0的负分数指

数募没有意义.

(5)有理数指数塞的性质

①暧优=""+0(。>0,m,n&Q).②(a‘")"="""(〃>0,m,〃e。)；

@(ab/1=ambm(a>0,b>0,m^Q)-④武=/(a>0,"l,n&Q).

2、指数函数

y=ax

0<a<la>l

图

象V

o\1Xo\1X

性①定义域R,值域(0,+8)

质②a0=l,即时x=0,y=l,图象都经过(0，D点

@ax=a,即x=l时，V等于底数。

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤xvO时，ax>1;x>0时，0<ax<1xvO时，%>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【解题方法总结】

1、指数函数常用技巧

(1)当底数大小不定时，必须分“a>1”和“0<a<1"两种情形讨论.

(2)当0<a<l时，xf+00，y_>o；。的值越小，图象越靠近'轴，递减的速度越快.

当。>1时xf+oo,>一0;。的值越大，图象越靠近'轴，递增速度越快.

⑶指数函数y=/与y=(-)%的图象关于y轴对称.

a

.提升•必考题型归纳

【典例例题】

题型一：指数运算及指数方程、指数不等式

【例1】（2023.海南省直辖县级单位.统考模拟预测）==（）

\277

A.9B.-C.3D.走

99

【答案】B

故选：B.

【对点训练1】（2023•全国•高三专题练习）下列结论中，正确的是（）

A.设"°，则层.=4B.若〃[8=2,贝1|加=±3

C.若。+。一’=3,则a5+q-^:土^^D.,（2-万）4=2—万

【答案】B

434325

【解析】对于A,根据分式指数幕的运算法则，可得拒.万一万+W一选项A错误;

对于B,优8=2,故机=±啦，选项B正确；

对于C,4+：=3,储+/）2=〃+〃-|+2=3+2=5，因为。＞。，所以后+尸=6'，选项

C错误；

对于D,42_%）4=|2—同=万一2，选项D错误.

故选：B.

【对点训练2】（2023•全国•高三专题练习）)

A.兀B.2+兀C.4—兀D.6—7T

【答案】B

-05-2

【解析】阂+7^+（23ml沪g+兀-2+4*.2+兀.

故选：B

【对点训练3】（2023•全国•高三专题练习）甲、乙两人解关于x的方程2工+6・2一*+°=0,甲

写错了常数6,得到的根为x=-2或尸log217，乙写错了常数c,得至U的根为x=0或x=l,

则原方程的根是（）

A.%=-2或x=log23B.x=-l或x=l

C.x=0或x=2D.x=-l或无=2

【答案】D

【解析】令"23则方程2'+力2-、+0=0可化为』+b+6=0，甲写错了常数6,

所以;和U是方程产+”+根=o的两根，所以+-苫，

44144J2

乙写错了常数C,所以1和2是方程〃+加+6=0的两根，所以b=lx2=2,

则可得方程/一亍+2=0,解得(=标=4,

所以原方程的根是x=-l或x=2

故选：D

【对点训练4】(2023•全国•高三专题练习)若关于x的方程9'+3用-〃?+1=0有解，则实数加

的取值范围是()

A.。,+8)B.C.(-oo,3]D.(1,3]

【答案】A

【解析】方程9工+3加-"z+l=0有解，

(3)+3x3,-m+l=O有解，

令3*=f>0,

则可化为『+3”机+1=0有正根，

则产+3f=m-l在(。,+。)有解,又当t«0,+oo)时,/2+3z>0

所以m—l>0=>m>l,

故选：A.

【对点训练5】(2023・上海青浦・统考一模)不等式2427VM的解集为.

【答案】(-3,2)

【解析】函数y=2"在R上单调递增，则

3<§)3(—o2/口-3<2-3(Z)od_2x_3<-3(x-l),

BPx2+x-6<0,解得-3<x<2,

所以原不等式的解集为(-3,2).

故答案为:(-3,2)

【对点训练6】(2023•全国•高三专题练习)不等式10工-6*-3工21的解集为.

【答案】[1,+8)

【解析】由10'-6-3,21,可得+(色]+f—<1.

因为、=(小;=直;=焦］均为区上单调递减函数

则/(x)在R上单调逆减，且/(1)=1,

:.x>\

故不等式ioA-6x-y>i的解集为□，+℃).

故答案为：［1,+8).

【解题总结】

利用指数的运算性质解题.对于形如i=b,afM>b,afw<6的形式常用“化同底”

转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a2'+&'+C=0或

/+Bax+C厘)(0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.

题型二：指数函数的图像及性质

【例2】(多选题)(2023.全国.高三专题练习)函数=2'+三(。eR)的图象可能为()

【答案】ABD

【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给。赋值，判断选项.当。=0时，

〃力=2，，图象A满足；

当。=1时，〃a=2工+(,"0)=2,且〃r)=/(x),此时函数是偶函数，关于y轴对

称，图象B满足；

当。=—1时，/(x)=21-^,/(0)=0,H.f(-%)=-/(%),此时函数是奇函数，关于原点

对称，图象D满足；

图象C过点(0,1),止匕时。=0,故C不成立.

故选：ABD

【对点训练7】(2023•全国•高三专题练习)已知了(%)=的定义域为R,则实

数a的取值范围是.

【答案】[-1,0]

【解析】•//(x)=正+2—1的定义域为R,

3，+2mT-12。对任意XGR恒成立，

2

即y+2ax-a21=3°恒成立，

即x2+2ax-a20对任意xeR恒成立，

A=4a2+4a<0，则TWaW0.

故答案为FLO].

【对点训练8】(2023咛夏银川.校联考二模)已知函数〃X)=4'-2£+2—1,xe[0,3],则其

值域为.

【答案】[-5,31]

【解析】令r=23Vxe[0,3]，.-.l<r<8,

r.g(r)=r—4/—1=(t—2)——5,re[l,8]

又>=8(。关于t=2对称，开口向上，所以g«)在[1,2)上单调递减，在(2,8]上单调递增，

M|8-2|>|2-1|,

.」=2时，函数取得最小值，即g⑺1111n=-5,f=8时，函数取得最大值，即g”)1mx=31,

.-./(x)e[-5,31].

故答案为：[-5,31].

【对点训练9】(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)="(a>0,awl)在[L2]内的最大

值是最小值的两倍，且g(尤bl/‘'"：'：却[，则g「l+g(2)=______

[log3x—<3J

3

【答案】3或--

【解析】当a>l时，函数/(%)在[1，2]内单调递增，

此时函数〃力的最大值为〃2)=a1,最小值为/(I)=a,

[2X+1x>l

由题意得储=2a,解得〃=2,则g(%)=(9",

[log3x-l,0<x<l

lHJ^g[1]+g(2)=log3g-l+22+l=3；

当0<〃<1时,函数〃尤）在［1,2］内单调递减，

此时函数“X）的最大值为了⑴=4,最小值为“2）=/,

由题意得4=2/,解得a=；,则g（x）=<I+l,x>l

log3x-l,0<x<l

此时g（；）+g⑵=1鸣；-1+出+1=-1-

3

故答案为：3或-二.

4

【对点训练10］（2023•全国•高三专题练习）函数y=（a-2）2优是指数函数，则（）

A.4=1或a=3B.<7=1C.a=3D.a>0且

【答案】C

【解析】由指数函数定义知（。-2）2=1,同时。>0,且。工1,所以解得“=3.

故选：C

【对点训练11X2023•全国•高三专题练习）函数〃x）=（泮-"的大致图像如图,则实数a,

6的取值只可能是（）

C.tz<0,Z?>lD.a<0,0<b<l

【答案】C

【解析】若。>0,y=e^—b为增函数，

且％—>+oo,yf+oo,/(%)f+oo,与图象不符，

若a<0,>=为减函数，

且xf+℃,yf—b,f（x）—>,与图象相符，所以。<0,

当/（x）=0时，em=b,

结合图象可知，止匕时x<0,所av>0,贝Ue">e°=l,所以6>1,

故选:C.

【对点训练12］（2023•全国•高三专题练习）已知函数/。）="-4+1">0且"1）的图

io

象恒过定点4若点A的坐标满足关于x,y的方程皿+利=4（加>0,〃>0）,则▲+女的最

mn

小值为（）

A.8B.24C.4D.6

【答案】C

【解析】因为函数〃力=。1+1（，>0,々。1）图象恒过定点（4,2）

又点A的坐标满足关于X,y的方程痛+〃y=4（m>0,〃>0）,

所以4机+2〃=4,

即2根+〃=2

4mn)

4+

勿

当且仅当4丝7=?T即1〃=2m=1时取等号；

nm

1?

所以上+女的最小值为4.

mn

故选：C.

【对点训练13】（多选题）（2023•浙江绍兴•统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，

“直接推算法”使用的公式是工=《（1+幻”（左>-1），其中尸，为预测期人口数，庶为初期人口

数，%为预测期内人口年增长率，九为预测期间隔年数，则（）

A.当左€（-1,0）,则这期间人口数呈下降趋势

B.当Ze（-l,0）,则这期间人口数呈摆动变化

C.当左=5《22用时，〃的最小值为3

D.当左=一（勺4；《时，〃的最小值为3

【答案】AC

【解析】4>0,0<1+左<1,由指数函数的性质可知：匕=《（1+幻"伏>-1）是关于力的单调

递减函数，

即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；

k=^,P„=P0^>2P0,所以O,所以心*2（〃eN）,

log,2e（2,3）；所以"的最小值为3,故C正确;

3

%=T，d审亭，所以自今所以〃a'""）,

bg2；=bg22e（l,2）,所以”的最小值为2,故D不正确;

32

故选：AC.

【对点训练14】（多选题）（2023•山东聊城・统考二模）已知函数,则（）

A.函数/（x）是增函数

B.曲线y=〃x）关于（。,£|对称

C.函数/（无）的值域为（。,

D.曲线y=/（x）有且仅有两条斜率为;的切线

【答案】AB

【解析】根据题意可得了（尤）=5,X=1-不、1，易知、=黄1石是减函数，

所以/（尤）=1-”■是增函数，即A正确；

2r12X1

由题意可得〃T）=M=六，所以+=F—+—一=1,

v7v72X+12X+1

即对于任意xeR,满足〃r）+/（x）=l,所以y=〃x）关于］。，［对称，即B正确;

11

由指数函数值域可得2工+1«1,y），所以册即〃句=1_"«0,1）,

所以函数八》）的值域为（0,1）,所以C错误；

2、In2

易知/（了）=令r（x）=g,整理可得（2，）2-（51n2-2）・2，+l=0,

（2'+1『

令2—e（0,+oo）,即r-（51n2—2»+l=0,

易知A=（51n2-2）2-4,又因为=32<36<6.252=2.5,<e“，即25<e%

2

所以51n2<4,BP0<51n2-2<2,HittA=（51n2-2）-4<0:

即关于f的一元二次方程产-（51n2-2"+l=0无实数根；

所以（2工丫-（51n2-2>2工+1=0无解，即曲线y=〃x）不存在斜率为g的切线，即D错误;

故选：AB

【解题总结】

解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析,

从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

题型三：指数函数中的恒成立问题

【例3】(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=2、,xeR,若不等式「(无)+/(乃-倘

在R上恒成立，则实数m的取值范围是.

【答案】(F,。〉

【解析】令/(尤)=「。>。),”")=*+0>。，

因为〃《)=«+工)2-工在区间(0,+8)上是增函数，

24

所以“⑺>"(0)=0.

因此要使r+/>m在区间(。，+8)上恒成立，应有机4。，即所求实数机的取值范围为

故答案为：(-8,0］.

【对点训练15】(2023•全国•高三专题练习)设〃同=主心二,当xeR时，

/卜2+如)+/(1)>0恒成立，则实数m的取值范围是.

【答案】(-2⑵

?x—r)~x111

【解析】由函数/(%)=三—三.(2、-2-*)=？2=(扣，

•.•X=2，,y2=-1g［均为在R上的增函数，故函数/(X)是在R上的单调递增函数，

且满足/(-%)=2*1一2-=-(2--2*|)=-/(%),所以函数为奇函数，

因为f(x2+mx)+/(I)>0,即f(x2+mx)>-/(I)=/(-I),

可得d+尔>-1恒成立，即+如+1>o在xeR上恒成立，

则满足根2-4<0，即毋<4,解得一2<〃?<2,

所以实数优的取值范围是(-2,2).

故答案为：(-2⑵.

【对点训练16】(2023•全国•高三专题练习)已知不等式4*-幺2*+2>0,对于恒

成立，则实数尤的取值范围是.

【答案】y,0)D(l,+8)

【解析】设t=2%t>0,

则产-8+2>0,对于。€(-8,3］恒成立,

2

即0</+-,对于ae(-oo,3］恒成立，

即产一3t+2>0,

解得/>2或7<1,

即2*>2或2工<1，

解得x>l或x<0，

综上，x的取值范围为（-8,O）D（1,+00）.

故答案为：（-8,0）0（1,+8）.

【对点训练17]（2023•全国•高三专题练习）若无e[-l,+oo）,不等式4,+1>0恒成立,

则实数加的取值范围是.

【答案】（一8,2）

【解析】令t=2",；无1+°°），

：军-加-2x+l>0恒成立，：.m<^+t,te+8）恒成立，

\-t+->2,当且仅当r=l时，即x=0时，表达式取得最小值，

t

m<2,

故答案为（-s,2）.

【对点训练18]（2023•上海徐汇・高三位育中学校考开学考试）已知函数/（力="V7+子h是定

义域为R的奇函数.

⑴求实数匕的值，并证明“X）在R上单调递增；

⑵已知a>0且awl,若对于任意的4、X2e[l,3],都有/（xJ+52°廿恒成立，求实数“

的取值范围.

【解析】（1）因为函数/（"=1r'是定义域为R的奇函数，

则〃。）=¥=。，解得6=-1，止匕时〃x）=2二=1--—,

23X+13X+1

对任意的xeR,3x+l>0,即函数/（x）的定义域为R,

3-“—]3"3”―1）1_

/（一"）=笆1=?卢司=匚彳=一""，即函数”X）为奇函数，合乎题意，

任取％、”R且…2,则0<3"<3'2,

所以，小）-仆）力-岛卜卜；则/⑹<“），

所以，函数“X）在R上单调递增.

(2)由(1)可知,函数/(x)在[1,3]上为增函数，

QQ1

对于任意的公、马e[L3],都有/(%)+广*2,则六2一日⑴=(

a"W2，

因为％e[1,3],则题-2右[-1,1].

当。<”1时，则有解得gwo<l；

当°>1时，贝!]有a<2,1b匕时l<aW2.

综上所述，实数。的取值范围是；，ju(l，2].

【解题总结】

已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系

中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

题型四：指数函数的综合问题

171

【例4】(2023•全国•合肥一中校联考模拟预测)已知函数/(x)=k?+kz+l+—7，

-2*+24尤一4x-1

则不等式“2%+3)>/卜2)的解集为()

A.(-2,1)51，y)B.(-1,1)U(3,^»)

C.,；,1)U(3,+S)D.(-3,l)U(3,y)

【答案】B

【解析】依题意，xwl,f(x\=^—+^,

'/4x-4x-1

QX+1iQ1—x-iz^x+1QX+1

故〃l+x)+〃l—x)=—■—+1+-+------+1--=—：—+------+2=2,

v7v74-4x4x-4x4X-44-4r

故函数的图象关于(1,1)中心对称，

121

当x>l时，y=——y=——j=l+—；单调递减，

2+24-4x-1

1O1

故/(X)在(1,+8)上单调递减，且=M■万+疝三+1+匕>1,

函数/(X)的图象关于(1,1)中心对称，/(X)在("』)上单调递减,/(X)<L

[^/(2%+3)>/(x2),故2X+3<X2<1或尤2<I<2X+3或1<2尤+3<%2,

解得-1<X<1或X>3,故所求不等式的解集为（-1,1）U（3,笆），

故选：B.

【对点训练19］（2023.上海浦东新.华师大二附中校考模拟预测）设/"）=«/^+£|.若

函数y=的定义域为（Y』）U（i，y），则关于x的不等式/>/（«）的解集为

【答案】［1,+8）

【解析】若。40,对任意的xeR,21-«>0,则函数f（x）的定义域为R,不合乎题意，

所以，a>0,由2工一。W0可得xwbg?。，

因为函数y=〃x）的定义域为{无归片1},所以，/og2a=1,解得a=2,

所以，仆）<=+与，则/（力”2）=2］=+；2,

由可得2注2，解得x21.

因此，不等式就2〃.）的解集为［1,+向.

故答案为：［1,+8）.

2/7-1

【对点训练20］（2023•河南安阳•统考三模）已知函数/⑴=6+正工（〃〉0）的图象关于坐

标原点对称，则J〃+b=.

【答案】13/1.5

【解析】依题意函数/（X）是一个奇函数，

又2,-。20，所以X*log2。，

所以/（x）定义域为{x\x^log2a},

因为/（x）的图象关于坐标原点对称，所以臃2。=0,解得a=L

z—1\Z—1/

所以八5T+占;2]__12X-1

^2b=

2X-1~2X-12X-1

13

所以匕=彳，所以〃+6=不

22

3

故答案为：—.

2

【对点训练21］（2023•江西景德镇•统考模拟预测）已知〃可是定义在R上的偶函数，且当

xNO时，〃x)=e，，则满足〃x+l)N/(x)的x的取值范围是.

【答案】」

【解析】由函数性质知产(x)=/(2x),

•.•/(X+1)>/2(X)=/(2X),

.•.f(|x+l|)>/(|2x|),|x+l|>|2x|,

1「1-

即(x+19)2(2x7),解得一xe——,1,

故答案为：一.

【对点训练