北京某中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试卷

北京交大附中2025届初三年级开学练习（数学）2024.09

班建_____________考号：__________

一、选择题（共16分，每题2分）

第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下列各式：®V3,②③西，④庇，⑤疹工I中，最简二次根式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.在△地。中，乙4,ZB,NC的对边分别为a,b,c,下列条件中可以判断//=90°的是（）

A.a=3,6=4,c=5B.a=6,b=5,c=4

C.a—2,b=V2,c=V2D.a=1,b=2,c=V3

3.若直线经过第一、二、四象限，则直线歹=加+〃的图象大致是（）

g9

A.-9B.C.-D.9

44

5.表格是某社团20名成员的年龄分布统计表，记录数据的纸张不小心被撕掉了一块，仍能够分析得出关

于这20名成员年龄的统计量是（）

年龄/岁11121314

人数56

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

6.如图，在长为60m，宽为40机的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，

横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为2024加2,问道路应为多

宽？若设道路宽为山”，则下列方程正确的是(

A.40X60-40X2A--60x=2024

B.40X60-(40-x)(60-2x)=2024

C.(40-x)(60-2x)=2024

D.40X60-40X2A--60x-2A2=2024

7.如图1,在&48C中，ZA=9Q°,AB=3,AC=4,尸是边8C上的一个动点，过点P分别作

于点。，PEL4c于点E,连接如图2所示的图象中，猫等:是该图象的最低点.下列四组变

量中，歹与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（)

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A.点尸与8的距离为x,点P与C的距离为y

C.点尸与D的距离为x,点尸与£的距离为yD.点尸与8的距离为x,点。与£的距离为y

8.如图，点/,B,C在同一条直线上，点3在点4。之间，点。，£在直线/C同侧，AB<BC,AA

=ZC=90°,AEAB出ABCD,连接DE.设48=a,BC=b,DE=c,给出下面三个结论:

@a+b<c；（2）a+ba2+b2；③&（a+6）>c.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题（共16分，每题2分）

9.式子k。在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

10.将直线y=fcc+3向上平移3个单位长度后经过点（1,4）,则后的值是.

11.在口/BCD中，若/4=/8+50°,则的度数为度.

12.已知x=2是一元二次方程X?-2加x+4=0的一个解，则根的值为.

13.将抛物线>=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式

为.

14.在一次演讲比赛中，甲的演讲内容90分、演讲能力80分、演讲效果90分，若按照演讲内容占50%,

演讲能力占40%,演讲效果占10%,计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为

15.如图，矩形48CD的对角线NC、8。相交于点。，ZAOB=60AB=2,那么8c的长

是.

16.已知抛物线y=ax2+6x+c（a,b,c是常数，aWO）经过点（-1,-1）和（0,1）,当x=-2时，与

其对应的函数值有下列结论：①融c>0；②关于x的方程ax2+6x+c+l=0有两个不等的实数根;

③。>2；④若方程ax2+bx+c=0的两根为xi，X2,则XI+X2<-2.其中正确的有.

三、解答题（共68分，第17、18题每题4分，第19-21题每题6分，第22题5分，第23

题6分，第24题5分，第25、26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、

演算步骤或证明过程.

-1

17.计算:（2024-7T）0+（^）-1+|V3-2|-V27.

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18.解方程：x2-2x-3=0.

19.在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以线段为对角线的正方形”.

小丽的作法如下：

1

①分别以点/、8为圆心，以大于万48为半径作弧，两弧交于£、/两点；

②连接昉，与A8交于点。；

③以点。为圆心，ON长为半径作弧，与直线跖交于C、。两点；

④分别连接线段NC,BC,BD,DA.所以四边形。就是所求作的正方形.

根据小丽的作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；A----------------------B

（2）完成下面的证明.

证明：'：OA=OB,OC=OD,

...四边形为平行四边形.（①）（填推理的依据）

"：OA=OB=OC=OD,BPAB=CD,

...四边形/D3C为矩形.（②）（填推理的依据）

•：CD⑶AB,

，四边形4DBC为正方形.

20.已知关于x的一元二次方程X?-（m+3）x+2+m=Q.

（1）求证：对于任意实数相，该方程总有实数根；

（2）若这个一元二次方程的一根大于2,求加的取值范围.

21.

,m的值为

（2）点尸（-3,以）、Q（2,72）在函数图象上，yi/（填＜、＞、=）；

（3）当夕＜0时，x的取值范围是；

（4）关于x的一元二次方程a/+6x+c=5的解为.

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22.在平面直角坐标系xOy中，函数y=fcc+6"W0)与y=-日+3的图象交于点(2,1).

(1)求人,b的值;

(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=wx(mW0)的值既大于函数〉=履+6的值，也大于函数

y=-fcc+3的值，直接写出m的取值范围.

23.如图，在△NBC中，/C4B=90°,点、D,£分别是8C,/C的中点.连接。E并延长至点尸，使得

EF=DE.连接4F,CF,AD.

(1)求证：四边形/DC尸是菱形；

(2)连接8巴若N/C3=60°,AF=2,求8尸的长.

24.某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.

(1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分(百分制).对评委给某位选手的打分进行

整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

心教师评委打分：

86889091919191929298

b.学生评委打分的频数分布直方图如图(数据分6组：第1组82Wx<85,第2组85Wx<88,第3组

88WxV91,第4组91WxV94,第5组94Wx<97,第6组97WxW100）：

c.评委打分的平均数、中位数、众数如下:

平均数中位数众数

教师评委9191m

学生评委90.8n93

根据以上信息，回答下列问题:

®m的值为,n的值位于学生评委打分数据分组的第组；

②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为焉贝氏91

(填"=”或“<”)；

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（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均

数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进

入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：

评委1评委2评委3评委4评委5

甲9390929392

乙9192929292

丙90949094k

若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是,表中后“为整数）

的值为.

25.电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡上按

水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米（NB=Cr＞=27米），

以过点N的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点。建立平面直角坐标系，如图所示.经

测量，/。=40米，斜坡高度12米（即3、。两点的铅直高度差）.

结合上面信息，回答问题：

（1）若以1米为一个单位长度，则。点坐标为,下垂电缆的抛物线表达式

为;

（2）若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全

要求，否则存在安全隐患.（说明：直线轴分别交直线和抛物线于点X、G.点G距离坡面

的铅直高度为G〃的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由.

26.在平面直角坐标系xOy中，点Cxi,m）,（X2，n）在抛物线夕=仆2+8+。（a＞0）上，设抛物线的对

称轴为直线》=/.

（1）若对于X1=1,X2=3,wm=n,求f的值；

（2）若对于2＜刈＜3,存在机＞〃，求才的取值范围.

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27.已知：在正方形/BCD中，点E是BC延长线上一点，且连接。£,过点。作DE的垂线

交直线N5于点尸，连接郎，取斯的中点G,连接CG.

(1)当CEC8C时,

①补全图1;

②求证：AADF出4CDE；

③用等式表示线段CD,CE,CG之间的数量关系，并证明;

(2)如图2,当C£〉5C时，请你直接写出线段CQ,CE,CG之间的数量关系.

AD4D

BCEBCE

图1图2

28.在平面直角坐标系xQy中，M为平面内一点.对于点P和图形少给出如下定义：若图形少上存在点

Q,使得点尸与点。关于点河对称，则称点P为图形少关于点M的“中心镜像对称点

(1)如图1,A(-1,1),B(2,1).

1

①在点Pi(-2,-1),尸2(0,-2),尸3(5，-1),P4(2,-1)中，线段关于点M(0,0)的

“中心镜像对称点“是；

②若点尸(1,-3)是线段关于点M(机，〃)的“中心镜像对称点”，请直接写出点M的横坐标加

的取值范围；

(2)如图2,矩形COM中，C(2,-1),£>(-2,-1),£(-2,1),F(2,1).若直线y=x+m

上存在矩形关于点M(%，2)的“中心镜像对称点”，请直接写出优的取值范围.

11

01

图1图2

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北京交大附中2025届初三年级开学练习（数学）2024.09

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

题号12345678

答案BCDCBCDD

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.Q210.-211.6512.213.y=2(x-3)?+2

14.8615.2V316.①②③

三、解答题（共68分，第17、18题每题4分，第19-21题每题6分，第22题5分，第23

题6分，第24题5分，第25、26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、

演算步骤或证明过程.

17.（2024-7T）°+（I）-1+|V3-2|-V27

=1+3+（2-73）-373

=l+3+2-V3-3V3

=6—4V

18.x2-2x-3=0,

（x-3）（x+1）=0,

'.x-3=0或x+l=0,

・・X1=3,X2~~1;

19.（1）解：图形如图所示：

（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形

2B

②对角线相等的平行四边形是矩形

（3）CDLAB

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20.(1)证明：：关于x的一元二次方程--(加+3)x+2+s=0,

A=(机+3)2-4X1X(2+m)=(m+1)2^0,

对于任意实数加，该方程总有实数根；

(2)解：设方程的两个实数根为XI、X2,

.._m+3±(m+l)

•X=2，

・・町=加+2,X2~1,

•.•这个一元二次方程的一根大于2,

m+2＞2,

解得：机＞0,

：.m的取值范围加＞0.

21.(1)向上；(1,-4)；5；

(2)＞；

(3)-l＜x＜3；

(4)x=-2或4；

22.(1);直线＞=-履+3点(2,1),

-2左+3=1,

解得k=\,

将点(2,1)代入y=x+6得：2+6=1,

解得b=-1.

(2)"2》1.

23.(1)证明：•.•点E是NC的中点，

：.AE=EC.

'：EF=DE,

...四边形ADCF是平行四边形.

在△NBC中，ZCAB=9Q°，点。是BC的中点，

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:.AD=BD=DC.

，四边形NOC尸是菱形；

(2)解：过点尸作尸G，3c交2C的延长线于点G.

•.,四边形4DC尸是菱形，4cB=60°,AF=2,

：.CF=DC=AF=2,ZACF=ZACD=60°,

/.ZFCG=180°-/ACF-NACD=60°,

ZGFC=90°-ZFCG=30°,

在△。/G中，ZCGF=90°,ZGFC=30°,

1

ACG="F=1,

：.FG=yJCF2-CG2=V3,

'：BD=CD=2.

：.BG=BD+CD+CG=5.

在ABFG中，ZBGF=90°

：.BF=VBG2+GF2=2V7.

24.(1)①91；4；②＜；

(2)甲；92.

_12^2

25.(1)(20,-15),y=Toox+尹;

(2)这种电缆的架设符合安全要求，理由如下:

由(1)可知：y=^QX2+^x,8(-40,-27),D(20,-15),

设斜坡3。解析式为y=fcc+6,代入8(-40,-27),D(20,-15),

(-40k+b=-27

可得:l20k+6=-15

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解得：卜=弓

3=-19

1

斜坡BD解析式为y=^x-19,

则电缆与坡面的铅直度拈，备：-（），（）

IWJG/7=0+―x-19=3^6+#+19=x+10&+18,

1

.二--->0,

100

・,•当x=-10时，GH有最小值为18,G8最小=18>13.5,

・・・这种电缆的架设符合安全要求；

26.（1）:•点（打，m）,（X2，H）在抛物线^=办2+反+。（6Z>0）上，且xi=l,X2=3,m—n,

・・・£=^i^=2；

2

（2）・・・40,

・••当时，>随x的增大而增大；当xW时，歹随x的增大而减小，

设抛物线上的四个点的坐标为/（1-1,加z）,B（6加B）,C（2,〃c），D（3,RD）,

•・,点/关于对称轴x=l的对称点为/'（什1,

・・,抛物线开口向上，点5是抛物线顶点，

①当tWl时,nc<nD，

・・・.什1W2.

；・mA<nc，

・••不存在别>〃，不符合题意；

②当KW2时，nc<nD,

・・・2〈汁1W3.

；.mA>nc，

・・・存在加>力符合题意；

③当2VyW3时，n的最小值为mB,

•二存在加>〃，符合题意；

④当3V/V4时，nD<nc，

：.2<t-1<3,

第4页（共6页）

.存在加＞〃