2023年江西中考数学复习试题分类汇编：几何压轴题（解析版）

专题07几何压轴题

1.（2022•江西）综合与实践

问题提出

某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板尸ERNP=90。,/尸=60。）

的一个顶点放在正方形中心。处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的

面积变化情况（已知正方形边长为2）.

操作发现

（1）如图1,若将三角板的顶点P放在点。处，在旋转过程中，当O尸与03重合时，重叠部分的面积为

当O/与3c垂直时，重叠部分的面积为—；一般地，若正方形面积为S,在旋转过程中，重叠部

分的面积y与S的关系为—；

类比探究

（2）若将三角板的顶点厂放在点。处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点N.

①如图2,当=CN时，试判断重叠部分AOA/N的形状，并说明理由；

②如图3,当CM=QV时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；

拓展应用

（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心。处，该锐角记为NG。“（设NG（汨=e）,将NGO"绕

点O逆时针旋转，在旋转过程中，/GO8的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为邑，请直接

写出邑的最小值与最大值（分别用含。的式子表示）.

图1图2图3

【答案】见解析

【详解】（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点。处，在旋转过程中，当O尸与重合时，OE与OC重

合，此时重叠部分的面积=\OBC的面积=,正方形ABCD的面积=1；

4

当OF与垂直时，OE^BC,重叠部分的面积正方形ABCD的面积=1；

4

一般地，若正方形面积为S,在旋转过程中，重叠部分的面积S]与S的关系为S]=LS.

114

理由：如图1中，设O尸交AB于点/,O石交5C于点K,过点O作于点M,ON1BC于点、N.

图1

・O是正方形ABCD的中心,

.OM=ON,

­ZOMB=ZONB=ZB=90°,

.四边形OMBN是矩形,

•OM=ON,

四边形OMBN是正方形,

.ZMON=ZEOF=90°,

.ZMOJ=ZNOK,

­ZOMJ=ZONK=90°,

.AOMJ=AONK(AAS),

,S"MJ~S^oNK'

,S四边形OKR7=S正方形OMBN=4S正方形MCD

.S.=-S.

14

故答案为：1,1,s-s.

1=4

(2)①如图2中，结论：AOMN是等边三角形.

图2

理由：过点O作OT_L5C,

­.•O是正方形ABCD的中心，

...BT=CT,

・・・BM=CN,

:.MT=TN，

•;OT工MN,

:.OM=ON,

•;ZMON=60。，

「.AMON是等边三角形;

②如图3中，连接OC,过点O作Q7L3C于点八

图3

・.・CM=CN,ZOCM=NOCN,OC=OC,

:,AOCM=AOCN(SAS),

二Z.COM=ZCON=30°,

ZOMJ=/COM+ZOCM=75°,

•・・OJ工CB,

.•.ZJOAZ=90o-75o=15°,

,;BJ=JC=OJ=1,

JM=OJtanl50=2-y/3,

.­.CM=CJ-M7=l-(2-T3)=^-l,

S四边形ca/cN=2x彳xCMxOJ=^/3-1•

(3)如图4—1中，过点O作OQLBC于点。，当BM=QV时，AOMN的面积最小，即邑最小.

在RtAMOQ中，MQ=OQ-tan£=tan£,

(y

..MN=2MQ=2tan—,

1CL

，2=^AOMN=~XMNxOQ=tan-.

如图4—2中，当CM=CN时，S?最大.

同法可证ACOM=ACON,

:.ZCOM=-a，

2

ZCOQ=45°,

ZMOQ=45°-^a,

QM=OQ-tan（45°-：a）=tan（45°-；or）,

;.MC=CQ_MQ=l_tan（45。一ga）,

/.S2=2SACMO=2xxCMxOQ=1-tan（45°-.

2.（2021•江西）课本再现

（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与NA相

等的角是_NDCE'_；

（2）如图2,在四边形ABCD中，NABC与44DC互余，小明发现四边形ABCO中这对互余的角可类比（1）

中思路进行拼合：先作NCDF=ZABC,再过点C作Cd）尸于点E,连接钻，发现4）,DE,AE之

间的数量关系是—；

方法运用

（3）如图3,在四边形ABCD中，连接AC,N54C=90。，点O是AACD两边垂直平分线的交点，连接。4,

ZOAC=ZABC.

①求证：ZABC+ZADC=90°；

②连接5。，如图4,已知A0=根，DC=n,——=2,求瓦）的长（用含机，〃的式子表示）.

AC

图3图4

【答案】见解析

【详解】（1）解：如图1中，由图形的拼剪可知,ZA=NDCE',

故答案为：ZDCE'.

ZADC+ZABC=90°,ZCDE=ZABC,

ZADE=ZADC+ZCDE=90°,

AD2+DE2=AE2.

故答案为：Alf+DE2=AE2.

(3)①证明：如图3中，连接OC,作AADC的外接圆OO.

图3

•.•点。是AACD两边垂直平分线的交点

.•.点O是AADC的外心，

:.ZAOC=2ZADC,

­.OA=OC,

:.ZOAC=ZOCA,

•/ZAOC+ZOAC+ZOCA=180°,ZOAC=ZABC,

/.2ZADC+2ZABC=180°,

「.ZADC+ZAB。=90°.

②解：如图4中，在射线。。的下方作NCDT=NABC,过点。作CT_LOT于T.

・・・NC7D=NC4B=90。，NCDT=ZABC,

ACTD^ACAB，

CDCT

:.ZDCT=ZACB

~CB~~CA

罟T，3="A

..ADCB^ATCA,

.BDCB

…AT-C4'

AB-

・・・--=2,

AC

AC:BA:BC=CT:DT:CD=1:2:y/5,

:.BD=45AT,

•.•ZADT=ZADC+ZCDT=ZADC+ZABC=90°,DT=^—n,AD=m,

5

:.AT=-JAD。+DT。=Jm2+(^-n)2=Jm2+|ra2,

BD=^5nr+4n2.

3.（2020•江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外

侧作多边形，它们的面积工，S2,S3之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究

(1)如图2,在RtAABC中，3c为斜边，分别以钻，AC,3c为斜边向外侧作RtAABD,RtAACE,

RtABCF,若N1=N2=N3,则面积S「S2,1之间的关系式为+星=Ss_；

推广验证

(2)如图3,在RtAABC中，3C为斜边，分别以AB,AC,3c为边向外侧作任意AABD,AACE,ABCF,

满足4=N2=N3,ZD=ZE=ZF,则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若

不成立，请说明理由；

拓展应用

(3)如图4,在五边形ABCDE中，ZA=ZE=ZC=105°,ZABC=90°,AB=2.^/3,DE=2,点、P在AE

上，ZABP=30°,PE=42,求五边形ABCDE的面积.

【详解】类比探究

(1)•jNl=N3,ZD=ZF=90°,

:.AADB^ABFC,

.S11ADB_ZAB2

SABFCBC

同理可得：^=(—)2,

s.cBC

AB2+AC2=BC~,

S.S,AB,,,AC、，AB2+Aa

—+—=(—)-+(—厂=-----—

2

S3S3BCBCBC

S{+S2=S3J

故答案为：品+邑=邑.

(2)结论仍然成立，

理由如下：•.•N1=N3,ZD=NF,

:.AADBs^BFC,

.•京-BC'

同理可得：心皿=（4£）2,

S.cBC

222

•・・AB+AC=BCf

Sy+S2=S39

(3)过点A作AH_LBP于H,连接PD,BD,

图4

■.■ZABH=3Q°,AB=26,

:.AH=j3,BH=3,N3AH=60°,

•.•ZBAP=105°,

:.ZHAP=45°,

-.■AH±BP,

ZHAP=ZAPH=45°,

PH=AH=y/3,

AP=j6,BP=BH+PH=3+6,

.BP-AH(3+®634+3

..AABP_2_22

■■PE=yf2,ED=2,AP=娓,AB=2-j3,

P£_V2_A/3DE2_A/3

"AP~y/6~3AB-2退一3，

.PEED

"~AP~^B?

&ZE=ZBAP=105°,

^ABPs.DP，

PDPEy/3

:.ZEPD=ZAPB=45°,

BP~AP~3

.•.ZBPD=90°,PD=1+C,

BPPD=(3+g).(l+6)=2百+3

SgPD22—

AABP^AEDP,

,q_13A/3+3A/3+1

.."DE_3x22

3NPBD=a=2,

BP3

:.ZPBD=30°,

ZCBD=ZABC-ZABP-ZPBD=30°,

/.ZABP=ZPDE=ZCBD,

又・.・ZA=N£=NC=105。，

AABP^AEDP^ACBD,

由(2)的结论可得：5瓯口=SAABP+S^)PE=3拒;3+力+1=2人+2,

二.五边形ABCDE的面积=述9+3里+2用2+2石+3=6用7.

22

4.(2019•江西)在图1,2,3中，已知wWCD,ZABC=120°,点E为线段3c上的动点，连接AE,以

(2)如图2,连接AF.

①填空：ZFADZEAB(填"<"，"二”)；

②求证：点尸在NABC的平分线上；

(3)如图3,连接EG,DG,并延长DG交84的延长线于点X,当四边形AEGH是平行四边形时，求生

AB

的值.

【答案】见解析

【详解】(1)・・,四边形但G是菱形，

ZAEF=180。—ZE4G=60。，

/.ZCEF=ZAEC-ZAEF=60°,

故答案为：60°；

(2)①・.•四边形ABCD是平行四边形，

.•.ZDAB=180°-ZABC=60°,

•・•四边形AEFG是菱形，NE4G=120。，

.\ZFAE=6Q°,

:.ZFAD^ZEAB,

故答案为：=；

②当E4v5石时，如图2—1,作于7W_LB4交84的延长线于N,

贝IZFNB=ZFMB=90°，

,\ZNFM=6O°f又ZAFE=60。，

,\ZAFN=ZEFM9

・.・EF=EA,ZFAE=6O°,

.•.AAEF为等边三角形，

:.FA=FE,

在AAFN和AEFM中，

"AFN=ZEFM

<ZFNA=ZFME,

FA=FE

/.AAFN=AEFM(AAS)

:.FN=FM,又FM工BC,FNLBA,

二.点尸在ZABC的平分线上，

当54=BE时，如图3,连接AF,

-.BA=BE,ZABC=120°,

:.ZBAE=ZBEA=30°,

•••NE4G=120。，四边形AEFG为菱形，

.-.ZE4F=60°,又EA=EF,

；.AA£F为等边三角形，

:.ZFEA=60°,FA=FE,

贝UN/=XB=NFffi=90。，又Fk=FE,

点厂在ZABC的平分线上，

当时，同理可证，点尸在NABC的平分线上,

综上所述，点厂在NABC的平分线上；

(3)设线段ZM,GE相交于点N,

•.•四边形AEFG是菱形，NE4G=120。，

.,.ZAGr=60。,

:.ZFGE=ZAGE=30°,

•.•四边形AEGH为平行四边形，

:.GE//AH,

ZGAH=ZAGE=30°,ZH=ZFGE=30°,

:.ZGAN=90°,又ZAGE=30°,

:.GN=2AN,

•：ZDAB=GQ°,ZH=30°,

:.ZADH=30°,

；.AD=AH=GE,

•.•四边形ABCD为平行四边形，

BC=AD,

:.BC=GE,

\-ZDAE=ZEAB=30°,

.••平行四边形ABEN为菱形，

：.AB=AN=NE,

GE^3AB,

BC1

5.(2018•江西)在菱形ABCD中，ZABC=60°,点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边AAPE,

点E的位置随着点尸的位置变化而变化.

(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE,3P与CE的数量关系是_3尸=原_,CE

与4)的位置关系是一；

(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理

由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理)；

(3)如图4,当点尸在线段班)的延长线上时，连接3E,若AB=2也,BE=2^/19,求四边形ADPE的

面积.

【答案】见解析

【详解】(1)如图1中，结论：PB=EC,CEYAD.

理由：连接AC.

•.•四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

:.AABC,AACD都是等边三角形，ZABD=ZCBD=30°,

:.AB=AC,ZBAC=60°,

•.•AAPE是等边三角形，

;.AP=AE,ZPAE=G0°,

\ZBAC=ZPAE,

:.ZBAP=Z.CAE,

AB=AC

<ZBAP=ZCAE,

AP=AE

:.ABAP=ACAE,

:.BP=CE,ZABP=ZACE=30°,

延长CE交AD于"，

ZCAH=60°,

,\ZCAH+ZACH=90°,

ZAHC=90°,即CE_LAD.

故答案为依=£C,CELAD.

（2）结论仍然成立.

图2

理由：选图2,连接AC交BD于O,设CE交4D于〃.

・・•四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

.-.AABC,AACD都是等边三角形，ZABD=ZCBD=30°,

:.AB=AC,Z^4C=60°,

・.・AAPE是等边三角形，

,\AP=AE,ZR4E=60°,

:,ZBAP=Z.CAE.

AB=AC

<ZBAP=ZCAE,

AP=AE

:.\BAP=\CAE,

:.BP=CE,ZPBA=ZACE=30°,

\-ZCAH=60°,

.-.ZC4H+ZACH=90°,

.*.ZAHC=90°,即CE_LAZ).

选图3,连接AC交BD于O,设CE交AD于H.

•・•四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

/.AABC,AACD都是等边三角形，ZABD=ZCBD=30°,

:.AB=AC,ZBAC=60°,

・・・AAPE是等边三角形，

:.AP=AE,ZE4E=60。，

.\ZBAP=ZCAE.

AB=AC

<ZBAP=ZCAE,

AP=AE

:.ABAP=ACAEf

:.BP=CE,ZABP=ZACE=30°,

vZC4/f=60°,

Z.CAH+ZACH=90°,

.\ZAHC=90°,即CEJ_AT).

(3)NBAP=\CAE,

E

由(2)可知£C_LAD,CE=BP,

在菱形ABCD中，ADIIBC,

,\EC±BC,

•：BC=AB=26BE=2M,

在RtABCE中，EC=7(2A/19)2-(2A/3)2=8,

,•.BP=CE=8,

・・・AC与BD是菱形的对角线,

:.ZABD=-ZABC=30°,ACLBD,

2

/.BD=2BO=2AB•cos30°=6,

:.OA=-AB=y/3,DP=BP—BD=8—6=2,

2

:.OP=OD+DP=5,

在RtAAOP中，AP=sjAO2+OP2=277,

S四边形ADPE=S^DP+3AA£P=-X2x^3+

E

B

C

图3

6.(2022•南昌模拟)已知正方形ABCD与正方形AEFG,正方形MFG绕点A旋转一周.

(1)如图1,连接3G、CF,

①求”的值;

BG

②求NBbC的度数.

(2)当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF、BE,分别取CF、BE的中点M、N,连接MN,

猜想MN与况的数量关系与位置关系，并说明理由.

CD

F

E

【答案】见解析

【详解】(1)①如图1,连接AF，AC,

•.•四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,

AC=y[2AB,AF=0AG,ZCAB=ZGAF45°,

ZGAF+ZCAG=Z.CAB+Z.CAG

ACAF

,\ZCAF=ZBAG,—=——

ABAG

.'.ACAF^ABAG,

②・・・AC是正方形BCD的对角线，

,-.ZABC=90°,ZACB=45°,

在A5cH中，ZBHC=180°-(ZHBC+ZHCB)

=180°-(Z/ffiC+ZACB+ZACF)

=180°-(Z/ffiC+ZACB+ZABG)

=180°-(ZABC+ZACB)

=45°；

(2)BE=2MN,MNLBE,

理由如下：如图2,连接ME,过点。作CQ//跖，交直线ME于Q,连接5Q,设CF与AD交点为P,

CF与AG交点为R,

.•CQ//EF,

:./FCQ=/CFE,

・・•点M是CF的中点，

:.CM=MF,

又・・・NCMQ=/FME,

\CMQ=AFME(ASA),

/.CQ=EF,ME=QM,

/.AE=CQ9

\-CQ//EF,AGHEF,

:.CQ//AG,

ZQCF=ZCRA,

•.AD//BC,

:.ZBCF=ZAPR,

.NBCQ=NBCF+/QCF=ZAPR+ZARC,

•/ZDAG+ZAPR+ZARC=180°,ZBAE+ZDAG=180°,

,\ZBAE=ZBCQ,

又・.BC=AB,CQ=AE,

:.NBCQ^NBAE(SAS),

BQ^BE,ZCBQ=ZABE,

NQBE=NCBA=90°,

-,-MQ=ME,点N是BE中点,

BQ=2MN,MN//BQ,

:.BE=2MN,MN,BE.

7.(2022•吉安一模)在RtAABC中，ZACB=90°,AC=2,ZABC=30°,点A关于直线3c的对称点为

点A,连接A'3,点尸为直线3c上的动点(不与点3重合)，连接"，将线段"绕点尸逆时针旋转60。，

得到线段PD,连接A'D,BD.

［问题发现］

(1)如图①，当点P在线段3C上时，线段BP与AD的数量关系为相等，ZDAB=；

［拓展探究］

(2)如图②，当点P在3c的延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说

明理由；

［问题解决］

(3)当乙犯1'=45。时，求线段钎的长度.

D

图①图②

【答案】见解析

【详解】（1）在RtAABC中，NACB=90。，AC=2,NABC=30。，点A关于直线5。的对称点为A,则

ZABC=ZABC=30°,AB=AB.

:.ZABA=60°,

「.AW是等边三角形，

.\ZAAB=60°.

­,-ZAPD=60°,

:.ZBAP=ZABP=ZPAC=30°,

...AP=PB,PC=-AP,

2

•・・AP=PD,

PC=-PD,

2

:.PC=CD,

又・・・AC=AC,ZACP=ZACD,

AAPC=△ADC(SAS),

.\DA=AP,ZCAD=ZPAC=30°,

:.PB=DA,ZBAD=600+30°=90°,

故答案为：相等；90°；

(2)成立，证明如下：

如图②，连接4),

是等边三角形,

.\AB=AA,

由旋转的性质可得：AP=DP,ZAPD=60°,

.〔AAPD是等边三角形,

：.PA=PD=AD,

ZBAP=ZBAC+ZCAP,ZAAD=ZPAD+Z.CAP,ZBAC=ZPAD,

:.ZBAP=ZAAD,

在ABAP与△AAD中，

AB=AA'

<ZBAP=ZA'AD,

AP=AD

.-.ABAP^^AADiSAS),

:.BP=AD,ZAA!D=ZABC=3Q)°,

■.■ZBAA=60°,

ZDAB=ZBAA+ZAAD=90°：

(3)当点P在线段3c的延长线上时，如图②，连接/ID,

在RtAABC中，ZACB=9。。，AC=2,ZABC=30。,

:.AB=4,BC=2拒,

ZADB=45°,ZBA'r)=90°,

.-.ZA,DB=ZA,BD=45°,

:.AB=AD,

:BP=AD,ZAAD=ZABC=30°,

：.A'D=BP=AB=4,

CP=BP-BC=4-2^3,

AP2=AC2+CP2=4+(4-2退了，

AP=2j6-2y/2；

若点尸在线段CB的延长线上，如图③，连接4),

图③

■.■ZADB=45°,ZBA,D=90°,

:.ZA!DB=ZABD=45°,

:.AB=AD,

：.AB=AB=AD^4=BP,

PC=2百+4,

AP2=AC2+CP2=4+(4+2A/3)2,

:.AP=2y/6+2yf2；

综上所述：AP=2屈+2⑤或2娓—2位.

8.(2022•新余一模)综合与实践

如图1,已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GEVBC,垂足为E,GF±CD,垂足为F.

【证明与推断】

(1)①四边形CEGF的形状是正方形；

②黑的值为

【探究与证明】

(2)在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转夕角(0。＜。＜45。)，如图2所示，试探

究线段AG与3E之间的数量关系，并说明理由;

【拓展与运用】

（3）如图3,在（2）的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，当3、E、尸三点共线时，探究AG和GE

的位置关系，并说明理由.

图3

【答案】见解析

【详解】（1）①正方形②也.

理由：如图1中，：四边形ABCD是正方形,

:.ZBCD=90°,ZBCA=45°,

:GE工BC、GFLCD,

ZCEG=ZCFG=NECF=90°,

二.四边形CEGF是矩形，ZCGE=ZECG=45°,

:.EG=EC,

：.四边形CEG尸是正方形，

•.•AC=03C,CG=72EC,

.­.AG=AC-CG=®BC-EC)=42BE,

:.丝~=也.

BE

故答案为：正方形，A/2.

(2)结论：AG=^2BE,

理由：如图2中，连接CC.由旋转可得NBCE=NAGG=c,

图2

•.,四边形ABCD是正方形,

:.ZABC=90°,AB=BC,

・•・AABC为等腰直角三角形,

由①得四边形GECF是正方形,

:.ZGEC=ZECF=90°,GE=EC,

「.AEGC为等腰直角三角形.

...AAC8ABCE,

空=生=应,

BEEC

线段AG与BE之间的数量关系为AG=&3E；

(3)结论：AG±GE,

理由：如图3中，连接CG,

图3

NCEF=45°,点B、E、F三点共线,

ZBEC=135°.

-,-^ACG^ABCE,

:.ZAGC^ABEC=\35°.

ZAGF=ZAGC+Z.CGF=135°+45°=180°,

.•.点A,G,b三点共线，

ZAGE=ZAGF-ZEGF=180°-90°=90°,

:.AG±GE.

9.(2022•赣州一模)图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰三角形的旋

转变换进行研究.

［观察猜想］

(1)如图1,AABC是以9、AC为腰的等腰三角形，点。、点E分别在9、AC上.旦DEIIBC,将

AADE绕点A逆时针旋转a（0。蛋h360。）.请直接写出旋转后班）与CE的数量关系_BD=CE_；

［探究证明］

（2）如图2,AACB是以NC为直角顶点的等腰直角三角形，OE/ABC分别交AC与两边于点E、点

D.将A4DE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立.若成立，请给出证明；

若不成立，请说明理由；

［拓展延伸］

（3）如图3,80是等边AABC底边AC的中线，AEYBE,AE/ABC.将AABE■绕点3逆时针旋转到AFBE,

点A落在点尸的位置，若等边三角形的边长为4,当彼时，求出。尸的值.

图3

图2

图1

【答案】见解析

【详解】（1）-：AB=AC,

:.AB=AC,

■.■DEI/BC,

:.ZADE=ZB,ZAED=NC,

:.ZADE=ZAED,

AD=AE，

/ZBAC=ZDAE,

:,ZBAD=Z.CAE,

:.NBAD=^AE{SAS),

BD=CE,

故答案为：BD=CE；

(2)(1)中结论不成立，结论为BD=4^EC,理由如下：

・・・AACB是等腰直角三角形，

.•.ZA=ZB=45。，AC=BC,AB=^2AC,

.DE//BC,

ZAED=ZC=90°,ZB=ZADE=45°f

.\ZA=ZADE=45°,

:.AE=DE,

AD=yflAE,

v将AAD石绕点A逆时针旋转，

.\ZDAE=ZCAB,

,\ZCAE=ZBAD,

AEAC_1

ADABy/2'

.-.AACE^AABD,

ECAE_1

'BD-AB-72，

BD=>J2EC；

(3)•,•BD是等边AABC底边AC的中线，

:.CD=AD=2,BD=s/3AD=2y/3,ZCBD=30°=ZABD,

如图3,当AB_L防时，过点/作£〃_1瓦）于",

B

图3

由旋转可得：AB=BF=4,

-.-ABYBF,ZABD=3Q°,

:.ZFBD=O）°,

FHLBD,

:.ZBFH=30°,

:.BH=-BF=2,FH=y/3BH=273,

2

:.DH=2y/3-2,

:.DF2=FH2+DH2=12+16-8^=28-873,

如图，

同理可得：BH=-BF=2,FH=《BH=2出，

2

:.DH=2y/3+2,

DF2=FH2+DH2=12+16+8A/3=28+8A^.

10.（2022•宜春模拟）（1）【问题发现】

如图1,在RtAABC中，AB=AC,/fl4c=90。，点。为的中点，以80为一边作正方形8DFE,点P

恰好与点A重合，则线段CF与AE的数量关系为CF=®E

（2）【拓展探究】

在（1）的条件下，如果正方形5ZWE绕点3顺时针旋转，连接CP,AE,BF,线段CF与9的数量关

系有无变化？请仅就图2的情形给出证明;

（3）【问题解决】

当AB=AC=6,且（2）中的正方形BDFE绕点3顺时针旋转到E,F,C三点共线时，请直接写出线

【答案】见解析

【详解】（1）解：如图1,•.•四边形BDFE是正方形,

:.FE=BE,NE=90°,

BF=siBE2+FE2=y/lFE2=及FE,

♦.•点/与点A重合，AB=AC,

:.CF^AC^AB=BF,FE=AE,

:.CF=y/2AE,

故答案为：CF=0AE.

(2)无变化，

证明：如图2,.EB=EF,NBEF=90°,

ZEBF=ZEFB=45°,BF=yjEB2+EF2=也EB?=s/2EB,

■.■AB=AC,ABAC=90°,

:.ZABC=ZACB=A5°,BC=,AB2+3=J2AB?=叵AB,

ftpL

?.——=——=母，ZCBF=ZABE=450-ZABF,

EBAB

:.\CBF^\ABE,

:.CF=y/2AE.

(3)如图2,E,F,C三点共线，且点尸在线段CE上,

BC=>f2AB,AB=AC=6,

BC=A/2X6=6A/2,

由(1)得

2

:.BE=EF=BD=-x6y/2=3-j2,

2

■.■ZBEC=90°,

:.CE=y]BC2-BE2=J(6夜.-(3伪2=376，

CF=CE-EF=3-j6-3A/2,

•••CF=亚AE,

A£=—CF=—X(3A/6-3A/2)=3A/3-3；

22

如图3,E,F,C三点共线，且点尸在线段CE的延长线上,

RFRCr-

V——=——=V2,NCBF=NABE=45。+NCBE,

EBAB

:.\CBF^\ABE,

AEAB

:.CF=42AE,

-,-ZBEF=90°,

ZBEC=180。一NBEF=90°,

21

:.CE=^BC-BE=J(6扬2一(3⑸=3底,

:.CF=CE+EF=3瓜+3版,

综上所述，线段AE的长为3/-3或3百+3.

11.（2022•寻乌县模拟）（1）发现

如图1,AABC和AADE均为等边三角形，点。在3c边上，连接CE.

填空：

①ZDCE的度数是_120°_；

②线段C4、CE、CD之间的数量关系是—.

（2）探究

如图2,AABC和AADE1均为等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,点。在3c边上，连接CE.请判断

NDCE的度数及线段C4、CE、CD之间的数量关系，并说明理由.

（3）应用

如图3,在RtAABC中，ZA=90°,AC=4,AB=6.若点。满足且N3DC=90。，请直接写

出ZM的长.

【详解】（1）发现

解：①•.•在AABC中，AB=AC,44c=60。，

:.ZBAC=ZDAE=60°,

ABAC-ZDAC=ADAE-ADAC,ZBAD=ZCAE,

在和AC4E中,

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

:.ABAD=ACAE(SAS)f

,\ZACE=ZB=60°.

.•.ZDCE=NACE+NACB=60。+60。=120。；

故答案为：120°,

@-.ABAD=ACAE,

BD=CE，

BC=BD+CD=EC+CD,

/.CA=BC=CE+CD；

故答案为：CA=CE+CD.

(2)探究

ZDCE=90°;&CA=CD+CE.

理由：•.•AABC和AADE均为等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

:.AB=AC,AD=AE,ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

即ZBAD=ZCAE.

:.ABAD=ACAE(SAS).

:.BD=CE,N3=ZACE=45°.

ZDCE=ZACB+ZACE=90°.

在等腰直角三角形A9C中，CB=j2CA,

•;CB=CD+DB=CD+CE,

yf2CA=CD+CE.

(3)应用

DA=5后或血.

作于E,连接AD,

•.•在RtAABC中，AB=6,AC=4,ZS4c=90。,

BC=s/AB2+AC2=>/62+42=2^13,

■.■ZBDC=90°,DB=DC,

DB=DC=726,ZBCD=ZCBD=45°,

■.■ZBDC=ZBAC=90°,

.,.点3,C,A,。四点共圆，

:.ZDAE=45°,

，AAZ)E是等腰直角三角形，

AE=DE>

:.BE=6—DE,

-.-BE2+DE2=Blf,

:.DE2+(6-DE)2=26,

DE=1tDE=5,

AD=0或AD=5夜.

12.(2022•江西模拟)【性质探究】

图3

(1)如图1,将AABC绕点A逆时针旋转90。得到AADE,贝I：

①DE与BC的位置关系为DE±BC;

②如图2,连接CD,BE,若点M为班的中点，连接AM,请探究线段AM与8的关系并给予证明.

【拓展应用】

（2）如图3,已知点E是正方形ABCD的边3c上任意一点，以他为边作正方形AEFG,连接3G,点M

为8G的中点，连接A".

①若AB=4,BE=3,求川欣的长；

②若AB=a,BE=b,则AM的长为（用含a,6的代数式表示）.

【答案】见解析

【详解】（1）①•.•将A4BC绕点A逆时针旋转90。得到AADE,

:.DE±BC；

帮答案为DELBC；

②?1M_LCD,AM=-CD,

2

证明：延长54至点N,使AN=AB,连接NE,

图2

V将A4BC绕点A逆时针旋转90。得到MDE,

ZDAB=ZEAC^90°,AE^AC,AD^AB,

ZDAC=90°-ZDAE=ZNAE,

:.AACD=AAEN(SAS),

:.CD=EN,

■.■ZCAE=ZDAN=90°,

MEN可以由/SACD绕点A逆时针旋转90°得到,

由①可知加，8,

•：AN=AB,/为3E的中点，

:.AM//EN,

:.AM±CD,AM=-CD,

2

(2)①如图，连接DE，DG，

图3

•.•四边形ABCD,A£FG为正方形,

;.AB^AD,AE=AG,ZBAD=ZEAG=90°,

ZBAE^900-ZEAD^ZDAG,

:.ABAE=ADAG(SAS),

AZMG可以由MAE绕点A逆时针旋转90°得到,

■：AB=A,BE=3,

:.CE=1,CD=4,

由(1)中②可知40=！£>£,

2

:.AM=-DE^-xs/cE2+CD2=-xVl1+42=,

2222

②同①可知EC=AB—BE=a—b,CD=a,

DE=7CE2+CD2=dg-bf+a2=yl2a2-2ab+b2,

11I-----------------------------

;.AM=-DE=-^2a1-lab+b1.

22

，2/-2"+尸

故答案为

2

13.(2022•石城县模拟)【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术

性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.我们知道：如图1,点c把线段AS分成两部分，如果生=生，

ACAB

那么称点C为线段AB的黄金分割点.

【问题发现】如图1,请直接写出AC与CB的比值是叵虫.

-2-

【问题探究】如图2,在RtAABC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,在BA上截取=,再在AC上

截取隹=">,则”的值为

AC-----

【问题解决】

如图3,用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN,连接硒，将AE折叠到

EN上，点A对应点打，得折痕CE,试说明：C是他的黄金分割点.

【拓展延伸】

如图4,正方形ABCD中，M为对角线上一点，点N在边CD上，豆CN<DN,当N为CD的黄金分

割点时，ZAMB=ZANB,连NM,延长交加于E,请用相似的知识求出一的值为

AE

【答案】见解析

【详解】【问题发现】解：•.•点C为线段的黄金分割点,

,CB_45-1

..-------------,

AC2

.AC_A/5+1

••—,

CB2

故答案为：好以；

2

【问题探究】解：♦.•NC=90。，AC=2,BC=1,

AB=>/22+12=A/5,

•;BD=BC=1,

:.AE=AD=AB-BD=-j5-l,

,AE_亚-1

..----=---------,

AC2

故答案为：好匚；

【问题解决】解：如图3,设EC与交于点尸,

D

N

B

­/MN//AB,且M为E4的中点，

.NPEM_1

"~\C~~EA~^

过点尸作PQLEN,

・・・£C平分NA£7V,

/.PM=PQ,

^PM=PQ=^AC=x,

：.PN=MN-PM=6-xf

•・・EN=^DE2+DN2=^62+32=3A,

PQEM

...sinZENM=

1PN~^N

x_3

即

6-1―3百

345-3

解得x=

2

经检验尤=述二1是原方程的解,

2

AC=2x=3百-3,

AC3M3BC

AB-62~AC

故点。为AB的黄金分割点；

【拓展延伸】解：如图4,延长NE交延长线于尸，过点A作AP_LAN于尸,

过点尸作PQ_L尸B于Q,过N作FH_LEB于"，

・・・ZAMB=ZANB,

.•.点A、M、N、5四点共圆，

・・・NDB4=45。，

.\ZENA=45°,（同为A"所对的圆周角）

又・・・Z7W=90。，

「.AR4N为等腰直角三角形，

:.PA=AN,

・・・PQ//AD,

ZQPA=ZPAD,

ZPAD+ZDAN=90°,ZDAN+ZNAB=90°,

:.ZPAD=ZNAB,

ZQPA=ZNAB,

又•・・ZPQA=ZAHN=90°,

:.^QA=\AHN（AAS^

:.AQ=NH=BC=CDfPQ=AH=DN,

・・・N为CD的黄金分割点，

:.设DN=&\,贝S=2,

设下。=%,

・.♦PQ//NH,

/.AFPQ^AFNH,

,FQ_PQ_DN

…FH~NH~CD"

Bnxy/5—1

即------r-=—，

X+2+75-12

解得了=3+行＞

经检验无=3+若是方程的解，

:.AF=FQ+AQ=3+-j5+2=5+j5,

•：AF//DN,

:.ZF=ZDNE,ZFAD=ZNDA=90°,

:.ANDE^AFAE,

DEDN百-13小-5

EA~AF~5+y/5~10

故答案为：3加一$

14.(2022•石城县模拟)如图1,菱形ABCD中，AB=6.NB=60。，四边形EFGB的顶点E,G分别在

边5c和AB上，EF//CD,FG//AD,连接FD.

(1)若DF平分NADC,求证：四边形EFGB为菱形；

(2)在(1)中的条件下，当EC=2时，将四边形£74十绕点5顺时针旋转至图2所示的位置，连接AG.

①猜想AG与小的数量关系，并加以证明；

②当G尸过点C时，求sin/GSC的值.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：如图1,连接AT、CF,

,四边形ABCD是菱形，

:.AB//CD,BC//AD,

■：EF!/CD,FG//AD,

:.EF//AB,FG//BC,

二.四边形EFG3是平行四边形；

\AD=CD,ZADF=ZCDF,DF=DF,

:.AADF=ACDF(SAS)f

/.AF=CF,ZDAF=ZDCF,

・・・ZDAG=/DCE,

ZDAG-ZDAF=ZDCE-ZDCF,

:.ZFAG=ZFCE；

•・,ZAGF=NB,NCEF=ZB,

:.ZAGF=NCEF,

/.AAGF=ACEF(AAS),

:.GF=EF,

二.四边形EFGB是菱形.

(2)①任=@.

DF3

证明：如图2,连接B尸、BD,作于点M,贝i)NAA©=90。,

•••AB//BC,ZABC=60°,

ZBAD=120°,

・・・AB=AD,

:.ZABD=ZADB=30°BM=DM=-BD,

f2

由旋转得，ZGBE=ZABC=60°,

同理，ZBGF=120°,ZGBF=ZGFB=30°,

:.ZABD=Z.GBF,ZBAD=