江西省景德镇市高三第一次质量检测数学试题-含答案

景德镇市2025届高三第一次质检试题数学命题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知（为虚数单位），则在复平面内对应的点在第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四3.已知，，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知，则（）A. B. C. D.5.过点且与曲线相切的直线方程是（）A. B. C. D.6.函数的零点个数是（）A.5 B.6 C.7 D.87.函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（）A. B. C. D.8.甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（）A. B. C. D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数为偶函数，且最小正周期为4B.若，，则往方向上的投影长为C.是抛物线上一点，，则的最小值为1D.已知两直线与，则“”是“，互相平行”的充分不必要条件10.在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中名男生的数学平均成绩为77分，名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩，近似为样本均值，则下列正确的是（）参考数据：若，则，，A.B.总体是35万人C.样本均值为73.5D.估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人11.已知，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，为双曲线上位于第一象限内任意一点，设，，的面积为，则下列说法正确的是（）A.的值随着的增大而减小 B.是定值C. D.若，则第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知公比不为1的等比数列，且，，成等差，则________.13.已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为________.14.甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数.（1）求函数的单调递减区间和对称中心；（2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，求.16.（15分）如图四棱锥，底面是边长为1的正方形，平面平面，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.17.（15分）已知为坐标原点，椭圆，是上一点，离心率.（1）求的方程；（2）斜率为的直线交于，两点，在以为直径的圆上，求的最大值.18.（17分）已知函数，其中.（1）已知，若在定义域内单调递增，求的最小值；（2）求证：存在常数使得，并求出的值；（3）在（2）的条件下，若方程存在三个根，，，且，求的取值范围.19.（17分）第一组数据，其中，第二组数据，这个数互不相等，，分别为其中最大与第二大的数.先从第二组数据中剔除一个数（剩余数相对位置保持不变）得到一组新数据，若将该组数据中相邻两数对换位置称为一次对换，经过至少次对换得到最终数据，简记.若用直线拟合点列，相关系数.（1）第一组数据，第二组数据，若剔除10，经过后得到拟合最佳；若剔除8，经过得到最佳.求的值；（2）在一组互不相等的数的排列中，定义在的右边比其小的数的个数称为的逆序数.已知，的逆序数分别为，，剩余各数按相对顺序从大到小排列.若经过后将这个数从小到大顺序排列，求的所有可能取值；（3）若剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.若，求证：为定值，并求出该定值.

景德镇市2025届高三第一次质检试题数学参考答案第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1234567891011DDBCABBABCADABD1．D【解析】，，．故选D．2．D【解析】，∴对应的点为在第四象限．故选D．3．B【解析】，．故选B．4．C【解析】，故选C．5．A【解析】，点A不在曲线上，由已知可求得切线过点，得直线方程为，，故选A．6．B【解析】数形结合．故选B．7．B【解析】∵是奇函数，∴，即关于点对称．又函数的定义域为，故．且当时，令，即，解得．根据对称性可知当时，．综上所述，的解集是．故选B．8．A【解析】分别取的中点，不难发现平面即平面，平面即平面，∴平面和平面位于正四面体内部的交线为线段，∵正四面体的棱长为1，不难计算得出．故选A．EEF二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分．9．BC【解析】∵，显然是奇函数，故A错误；往方向上的投影长为，故B正确；设，其中，∴，即的最小值为，故C正确；∵互相平行，∴，解得或，经检验时两直线重合，∴“”为“互相平行”的充要条件，故D错误．故选BC．10．AD【解析】由分层随机抽样的特征可知：，故A正确；总体是35万考生的数学成绩，故B错误；根据分层随机抽样的均值知样本均值，故C错误；∵，，，∴小于66分的人数约为人，故D正确．故选AD．11．ABD【解析】在中，由正弦定理可知，显然均为锐角且随着的增大分别减小与增大，即随着的增大分别减小与增大，∴的值随着的增大而减小，故A正确；，由于，∴，∴为定值，故B正确；，而，∴，故C错误；，，∴，∴，解得，∴，故D正确．故选ABD．第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．12．【解析】由题知：∵成等差，∴，又是公比不为1的等比数列，∴，∴，．故答案为．13．【解析】，∴，半径为，，∴，半径为．若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，∴．由于，故，，即的最小值为．14．【解析】第一次给出黑球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为，第一次给出黑球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为，第一次给出白球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为，第一次给出白球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为，∴在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率．故答案为．四、解答题：本大题共5小题，满分77分．15．（本小题13分）解：（1），…………2分该函数的单调递减区间为：……4分令，解得，∴函数的对称中心坐标为，其中．……………6分（2）∵，∴，∴或，∵，∴．…………………………8分∵，…………………9分且，，∴，解得：…11分由余弦定理可知，．…………13分16．（本小题15分）解：（1）取中点，连接，∵，故．∵，平面平面，平面，∴平面，∴．…………4分又∵，∴平面．………6分（2）由上可知，又，∴平面．…………7分如图以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系．……8分∴，……9分设平面的法向量，则，令，解得．………………11分同理，平面的法向量，……………………13分∴平面与平面夹角余弦值…………14分∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为．…15分17．（本小题15分）解析：（1）由题意，解得，∴椭圆的方程为．………………5分（2）设直线为，设，设中点为，联立，根据韦达定理可知，其中．………………8分∴，．∴，………10分∴，…………12分令，∴，等号当且仅当，即时取到，满足………14分∴，即的最大值为．……………………15分18．（本小题17分）解：（1）依题意可知当时，恒成立，…………1分即，而的最小值为，故，………………3分解得，即的最小值为．……………4分（2），……………………6分∵，∴，解得．即当时，．…………9分（3）构造函数，则方程存在三个根即函数函数存在三个零点．∵，∴．………………10分令，得，于是为的一个零点．…………………11分若存在零点，且，由可知，则必存在相应的零点，且．∴必在上存在唯一零点．……………13分若恒成立，即成立，解得，此时在上单调递增，无零点；………………14分若，则，且，∴在上单调递增，故在上存在零点，当时，，单调递减，当时，，单调递增．……………15分∵，即，解得，………16分∴，即．综上所述，的取值范围是．…………………17分19．（本小题17分）解：（1）第一次将对换得到，∴．…………2分第二次将对换得到，∴．故．…………………4分（2）∵的逆序数分别为，∴必为这个数中的最大数．的逆序数分别为，则可能是这个数中第二大或者第三大的数．………………5分若是第二大的数，先将对换到末位需要次对换，再将对换到倒数第二位需要次对换，而后将其余各数对换到相应位置分别需要次对换，则；…………………6分若是第三大的数，则只能是第二大的数，同理需要对换次，需要对换次，需要对换次，…，∴．……………………8分综上所述，或．……………………9分（3）先证明排序不等式，不妨假设,是的一个排列，，不妨假设，则，于是成立的充要条件为，于是经过若干次对换后得：．……………………12分假设经过若干次对换后得到，其中，则．∵，其中与均为正常数，要使得拟合效果最佳，则．∵，不妨假设，则．……………………13分设的所有逆序数之和为，反之，正序数之和为，由于这个数互不相等，则．∵剔除后要使得拟合效果最佳且，