2024-2025学年高一数学上学期寒假作业1集合与函数概念含解析新人教A版

作业1作业1集合与函数概念1．已知全集，集合，．（1）当时，求集合；（2）若集合中有且仅有一个正整数，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，集合；或，所以，所以．（2）若集合中有且仅有一个正整数，∴集合，则，即；要使中有且仅有一个正整数，当正整数为4时，则，解得；当正整数为1时，则，解得，若正整数为大于4的数，设为，，则中只含有，满意，解出，则要满意，，不满意，舍去，即的取值范围为．2．已知函数．（1）求函数的定义域；（2）推断函数在上的单调性，并用定义加以证明．【答案】（1）；（2）单调递减，证明见解析．【解析】（1）要使函数有意义，当且仅当，由，得，所以，函数的定义域为．（2）函数在上单调递减．证明：任取，，设，则，．∵，，∴，，，又，所以，故，即，因此，函数在上单调递减．一、选择题．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．设集合，，若集合满意，则集合的个数有（）个．A． B． C． D．3．设全集，集合，，则实数的值是（）A． B． C． D．或或4．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与 B．与C．与 D．与5．函数的定义域为（）A． B．C． D．6．若非空数集满意“对于，，都有，，，且当时，”，则称是一个“志向数集”，给出下列四个命题：①0是任何“志向数集”的元素；②若“志向数集”有非零元素，则；③集合是一个“志向数集”；④集合是“志向数集”．其中真命题的个数是（）A． B． C． D．二、填空题．7．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集是_______．8．已知集合，集合，则________．9．已知集合，，若，则实数的取值范围是______．10．已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是_________．三、解答题．11．已知集合，集合．（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围．12．二次函数在区间上有最大值，最小值．（1）求函数的解析式；（2）设，若在时恒成立，求的取值范围．13．已知函数的定义域为．（1）利用函数的单调性定义探讨在上单调性；（2）解不等式．

一、选择题．1．【答案】D【解析】，，，故选D．2．【答案】B【解析】求出后可得．由题意，其子集有个，即有个，故选B．3．【答案】A【解析】，，，或，解得（舍），（舍），，故选A．4．【答案】B【解析】对于的定义域是，的定义域是，故，不是同一函数，故A错误；对于，，是同一函数，故B正确；对于的定义域是，的定义域是，故，不是同一函数，故C错误；对于的定义域是或，的定义域是，故，不是同一函数，故D错误，故选B．5．【答案】B【解析】为使函数有意义，必需且只需，解得，故函数的定义域为，故选B．6．【答案】B【解析】①是非空数集，所以存在，所以，故选项①正确；②若且，则，所以，，……，所以，故选项②正确；③假如是“志向数集”则，冲突，故选项③错误；④假如是“志向数集”则，冲突，故选项④错误，故选B．二、填空题．7．【答案】【解析】∵函数是定义域为的偶函数，∴可转化为，又∵在上单调递减，∴，两边平方得，解得，故的解集为，故答案为．8．【答案】【解析】∵或，，∴，故答案为．9．【答案】【解析】可得，，，解得，故答案为．10．【答案】【解析】由题意，函数在为单调递减函数，可得，即函数的值域构成集合，又由函数在区间上单调递增，可得，即函数的值域构成集合，又由，，使成立，即，则满意，解得，即实数的取值范围是，故答案为．一般地，已知函数，．（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．三、解答题．11．【答案】（1）或；（2）．【解析】因为或．（1）当时，集合，则或，所以或．（2）因为，由，可得或，解得．12．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），其对称轴，上，∴当时，取得最小值为，①当时，取得最大值为，②由①②解得，，故得函数的解析式为．（2），当时，恒成立，即恒成立，∴，∴，设，则，可得．当时，，故得的取值范围是．13．【答案】（1