312函数的表示-2022-2023学年高一数学上学期知识点剖析讲义与分层练习(人教A版2019)

函数的表示1函数的表示方法1表格法如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.【例】描点法画函数y=x-2的图像.解析列表x-01234y---012描点连线得(2)图像法如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.(3)解析式比如正方形周长C与边长a间的解析式为C=4a，圆的面积S与半径r的解析式S=π求函数解析式的方法①配凑法②待定系数法③换元法④构造方程组法⑤代入法【例】购买某种饮料x听，所需钱数是y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x{1,2,3,4})解析解析法y=2x,x{1,2,3,4}列表法x1234y2468图象法2分段函数定义：有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．Egf(x)=|x|=&x,   x≥0&-x, x<0，【例】湛江市自来水公司鼓励企业节约用水，按下表规定收取水费，用水量单价（元/吨）不超过40吨的部分1.8超过40吨的部分2.2求用水量与水费之间的函数关系，并求用水30吨和50吨的水费.解析设用水量为x吨，水费为y元，依题意知当x≤40时，y=1.8x元；当x故用水量与水费之间的函数关系为fx所以f30=54，f50=109.4，即用水30吨和50吨的水费分别为54【题型1】求函数解析式方法1待定系数法【典题1】已知函数f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)解析设f(x)=ax若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，∴c=0且ax+1∴c=02a+b=b+1a+b+c=c+1∴f(x)=x点拨当若已知函数的类型，求其解析式时可用待定系数法.方法2换元法【典题1】已知f(x+1)=x+2x，求解析令t=x+1，则∵f(∴ft=t-12+2∴fx∴f点拨用换元法时注意新变量的取值范围.方法3方程组法【典题1】已知f(x)+3f(-x)=2x+1，则f(x)的解析式是．解析∵f(x)+3f(-x)=2x+1…①，用-x代替x，得：f(-x)+3f(x)=-2x+1…②；②×3－①得：8f(x)=(-6x+3)-(2x+1)=-8x+2∴f(x)=-x+1【巩固练习】1.已知f(x+2)=x，则有(A．f(x)=(x-2)2(x≥0) BC．f(x)=(x+2)2(x≥0)答案B解析设x+2=t，t≥2，则x=∴f(t)=(t-2)2，t≥2，∴f(x)=(x-2)2，2.已知f(x-1)=x2+3x-10，则f(x)=0的解集为答案{-6,1}解析∵f(x-1)=x令x-1=t，则x=t+1，∴f(t)=(t+1)∴f(x)=x由f(x)=0，得x2+5x-6=0，解得x=-6或∴f(x)=0的解集为{-6,1}．3.设f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x+3，求f(x)的解析式.答案f(x)=2x+1或f(x)=-2x+3解析设f(x)=ax+b(a≠0)，则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=∴a2∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x+3.4.f(x)满足f(x)-2f(1x)=x，求答案f(x)=-x解析∵f(x)-2f(1x)=x显然x≠0,将x换成1x，得f(1解①②联立的方程组，得f(x)=-x【题型2】与分段函数有关问题【典题1】已知函数f(x)=&3-(1)画出函数f(x)图象；(2)求f(f(3))，fa(3)当fx≥2时，求解析(1)函数f(x)=&3-(2)f(f(3))=f(-6)=13，fa(3)方法1由图象可知，当fx≥2时，方法2当x>0时，3-x2≥2，解得当x=0时，满足fx≥2当x<0时，1-2x≥2，解得x≤-综上可得x的取值范围是x∣x≤-1点拨对于分段函数的赋值问题，特别要注意分类讨论.【典题2】已知函数f(x)=ax2+2x+1,(-2<x≤0)ax-3,(x>0)与x轴有3个交点，则实数解析①当a=0，f(x)=2x+1,(-2<x≤0)-3,(x>0)与x轴有②当a<0时，y=ax-3,(x>0)与x轴没有③当a>0时，y=ax-3,(x>0)与x轴有1若要满足题意，则y=ax2+2x+1在(-2,0)上与x∴a>0a(-2)2+2(-2)+1>0-2<-【巩固练习】1.设函数f(x)=12x-1(x≥0)1x(x<0)，若f(a)=a答案-1解析由题意知，f(a)=a；当a≥0时，有12a-1=a，解得a=－2，当a<0时，有1a=a，解得a=1(不满足条件，舍去)或所以实数a的值是：a=－2.已知函数f(x)=x2-4,x≤02x,x>0答案(解析x≤0时，f(x)=x2-4≥4因为x≤0，故x≤-x>0时，f(x)=2x≥4综上所述，不等式f(x)≥4的解集为(故答案为：(-3.作下列各函数的图象．(1)y=&1x,0<x<1&x,x≥1解析(1)这个函数的图象由两部分组成：当0<x<1时，为双曲线y=1当x≥1时，为直线y=x的一段，如下图．(2)方法一所给函数可写成y=&x-1,    &&x≥1&1-x,    &&x<1是端点为方法二可以先画函数y=x－1的图象，然后把其在x4.求函数fx=答案[-8,1]解析fx=2x-而f(0)=0,f(3)=-3,fx=x2可得到函数图像如右图，易得函数值域为[-8,1].5.已知函数f(x)=x2-6x+6,x≥03x+4,x<0，若互不相等的实数x1,x答案(解析函数f(x)=x不妨设x1<x2<x3且x1满足-则x1+x2+【题型3】函数的简单应用【典题1】如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析对于一个选择题而言，求出每一个图中水面的高度h和时间t之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两个图作定性分析，即充分利用数形结合．对第一个图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；对于第二个图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此高度变化趋势愈加平缓，正确；同理可分析第三个图、第四个图都是正确的．故只有第一个图不正确，因此选A．【典题2】某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元(总成本固定成本生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足R(x)=&-6x2+63x,0⩽x⩽5&165,x>5假定该产品产销平衡((1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本)；(2)要使工厂有盈利，求产量x的范围；(3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？解析(1)由题意得G(x)=42+15x．∴f(x)=R(x)-G(x)=&-6(2)①当0⩽x⩽5时，由-6x2+48x-42>0得x所以1<x⩽5．②当x>5时，由123-15x>0解得x<8.2．所以5<x<8.2．综上得当1<x<8.2时有y>0．所以当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利．(3)当x>5时，函数f(x)递减，∴f(x)<f(5)=48(万元)．当0≤x≤5时，函数f(x)=-6(x-4)当x=4时，f(x)有最大值为54(万元)．所以，当工厂生产400台时，可使盈利最大为54万元．【巩固练习】1.某人去上班，先快速走，后中速走．如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是答案D解析当x=0时，距离学校最远，不可能是0，排除A,C，先快速走，距离学校的距离原来越近，而且变化速度较快，排除B，故选：D．2.如图，将水注入下面四种容器中，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么容器的形状是答案A解析根据题意，考虑当向高为H的容器中注水为高为H一半时，注水量V与水深h的函数关系．如图所示，此时注水量V与容器容积关系是：V<容器的容积的一半．A选项符合题意；故选：A．3.如图，已知底角为45∘角的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为22cm，当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线把梯形ABCD分