11集合的概念-2022-2023学年高一数学上学期讲与练(人教A版2019)（原卷版）

1.1集合的概念一、元素与集合的概念及表示1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．二、元素的特性1、确定性给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如：著名的科学家、比较高的人、好人、、很难的题目等2、互异性一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．利用集合中元素的特异性求参数：（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．三、元素与集合的关系1、属于与不属于概念：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．2、元素与集合关系的判断方法：（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．四、常用的数集及其记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法或五、列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．六、描述法1、定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．2、用描述法表示集合（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．（2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．题型一判断元素能否构成集合【例1】下面给出的四类对象中，构成集合的是（）A．某班视力较好的同学B．长寿的人C．的近似值D．倒数等于它本身的数【变式11】下列各对象可以组成集合的是（）A．与非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师【变式12】面各组对象中不能形成集合的是（）A．所有的直角三角形B．一次函数C．高一年级中家离学校很远的学生D．大于2的所有实数【变式13】给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（）A．①③B．①②C．①②③D．①②③④【变式14】下面能构成集合的是（）A．中国的小河流B．大于5小于11的偶数C．高一年级的优秀学生D．某班级跑得快的学生题型二判断元素与集合的关系【例2】下列关系中正确的个数是（）①，②，③，④A．B．C．D．【变式21】给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式22】给出下列四个关系：π∈R，0∉Q，0.7∈N，0∈∅，其中正确的关系个数为（）A．4B．3C．2D．1【变式23】（多选）下列关系中，正确的是（）A．B．C．D．题型三利用元素的互异性求参数【例3】如果有一集合含有两个元素：x，，则实数x的取值范围是________．【变式31】已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________.【变式32】已知集合由，，组成，且，求__．【变式33】由，，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型四用列举法表示集合【例4】已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（）A．{x|x=1}B．{x|x=2}C．{1，2}D．{1，2，3}【变式41】设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（）A．{长江，黄河}B．{长江，黑龙江}C．{长江，珠江}D．{长江，黄河，黑龙江，珠江}【变式42】方程的所有实数根组成的集合为（）A．B．C．D．【变式43】方程组的解集是（）A．B．C．D．【变式44】（多选）下列集合中，可以表示为的是（）A．方程的解集B．最小的两个质数C．大于1小于4的整数D．不等式组的整数解题型五用描述法表示集合【例5】用描述法表示下列集合：（1）比1大又比10小的实数组成的集合；（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；（3）被3除余数等于1的正整数组成的集合．【变式51】对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（）A．{x|是小于18的正奇数}B．C．D．【变式52】集合{1，3，5，7，9，…}用描述法可表示为（）A．{x