专题21三次函数问题（原卷版）

专题21三次函数问题一、单选题1．（2023·四川凉山·统考一模）一元二次方程的两根满足，这个结论我们可以推广到一元三次方程中．设为函数的三个零点，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考期末）如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，若函数的极大值与极小值之和为，则的值域为（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若，则的值为（

）A．－4 B．－2 C．0 D．25．（2023秋·北京·高三校考阶段练习）如图是某高山滑雪场的一段滑道的示意图，图中该段滑道对应的曲线可以近似看作某个三次函数图像的一部分，A，B两点分别是这段滑道的最高点和最低点（在这个三次函数的极值处）.在A，B两点之间的滑道的最陡处，滑道的坡度为（坡度即坡面与水平面所成角的正切值），经测量A，B两点在水平方向的距离为90m，则它们在竖直方向上的距离约为（）A．20m

B．30m

C．45m

D．60m6．（2023·全国·高三专题练习）一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为（），且有三个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023·河南·统考三模）已知为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程的3个实数根为，，，则，，.已知函数，直线与的图象相切于点，且交的图象于另一点，则（

）A． B．C． D．9．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考模拟预测）为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：，分别与该曲线相切于，，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为（

）．A．B．C．D．10．（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．11．（2023·全国·高三专题练习）已知三次函数在上单调递增，则最小值为（

）A． B． C． D．12．（2023春·山西临汾·高三统考阶段练习）已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（

）A． B． C． D．13．（2023春·山西临汾·高三统考阶段练习）已知三次函数的导函数为，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（

）A． B．C． D．14．（2023·全国·高三专题练习）下列关于三次函数叙述正确的是（

）①函数的图象一定是中心对称图形；②函数可能只有一个极值点；③当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点；④当时，则过点的切线可能有一条或者三条．A．①③ B．②③ C．①④ D．②④15．（2023春·重庆·高三重庆一中阶段练习）若三次函数（）的图象上存在相互平行且距离为的两条切线，则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知，则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有组？A．0 B．1 C．2 D．316．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·高三校联考期中）对于三次函数，定义是的导函数的导函数，经过讨论发现命题：“一定存在实数，使得成立”为真，请你根据这一结论判断下列命题：①一定存在实数，使得成立；②一定存在实数，使得成立；③若，则；④若存在实数，且满足：，则函数在上一定单调递增，所有正确的序号是A．①② B．①③ C．②③ D．②④17．（2023·全国·高三专题练习）已知为三次函数的导函数，则它们的图象可能是（

）A． B．C． D．18．（2023·全国·校联考一模）已知三次函数，，且有三个零点.若三次函数和均为上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点，则零点的个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个或个19．（2023·全国·高三专题练习）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A． B．C． D．20．（2023秋·四川成都·高三开学考试）若以曲线上任意一点为切点作切线，曲线上总存在异于的点，以点为切点作切线，且，则称曲线具有“可平行性”，现有下列命题：①函数的图象具有“可平行性”；②定义在的奇函数的图象都具有“可平行性”；③三次函数具有“可平行性”，且对应的两切点，的横坐标满足；④要使得分段函数的图象具有“可平行性”，当且仅当.其中的真命题个数有（

）A．1 B．2 C．3 D．421．（2023秋·吉林·高三舒兰市第一高级中学校阶段练习）已知、是三次函数的两个极值点，且，，则的取值范围是A． B． C． D．二、多选题22．（2023·山西晋中·统考二模）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（

）A．一定有两个极值点B．函数在R上单调递增C．过点可以作曲线的2条切线D．当时，23．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（

）A．， B．函数既有极大值又有极小值C．函数有三个零点 D．过可以作三条直线与图像相切24．（2023·全国·高三专题练习）已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（

）A． B．有3个零点C．的对称中心是 D．25．（2023秋·江苏无锡·高三统考期中）某数学兴趣小组对形如的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是（

）A．函数的图象过点(2，1)B．函数在x＝0处有极值C．函数的单调递减区间为[0，2]D．函数的图象关于点(1，0)对称26．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（

）A．曲线在点处的切线方程为B．C．曲线关于点对称D．当时，三、填空题27．（2023秋·广东珠海·高三珠海市第四中学校考开学考试）设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则___________.28．（2023秋·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知三次函数，且，，，则__________29．（2023秋·广东深圳·高三深圳市高级中学校考阶段练习）已知，为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是___________.30．（2023秋·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知三次函数无极值，且满足，则______.31．（2023·全国·高三专题练习）已知三次函数，数列{}满足，给出下列两个条件：①函数是递减函数：②数列{}是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①的函数的解析式=___________.32．（2023·江苏泰州·统考一模）写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数_________.①为奇函数；②存在3个不同的零点；③在上是增函数.33．（2023·江西·统考模拟预测）设三次函数(b，c为实数)的导数为，设，若在R上是增函数，则的最大值为_______________.34．（2023秋·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是______.35．（2023·四川成都·高三双流中学校考阶段练习）对于三次函数有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，若点是函数的“拐点”，则函数的最大值是__________.36．（2023·全国·高三专题练习）设三次函数，（a,b,c为实数且）的导数为，记，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为____________37．（2023秋·江苏常州·高三常州市第一中学阶段练习）已知三次函数，对于任意，均有且存在唯一，满足，则______38．（2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）三次函数有三个零点a，b，c，且满足f(－1)＝f(2)＜0，f(1)＝f(4)