北京市海淀区高三年级上册期末练习数学试题

海淀区20232024学年第一学期期末练习

高三数学2024.01

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合"={123,4,5,6},A={1,3,5}；8={1,2,3},则令(49)=()

A.{2,4,5,6}B.{4,6}C.{2,4,6}D.{2,5,6}

【答案】A

【解析】

【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.

【详解】由题意集合。={L2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={1,2,3},则人口5={1,3},

4()03)={2,4,5,6}.

故选：A.

2.如图，在复平面内，复数Z],Z2对应的点分别为Z1,Z2,则复数Z1『2的虚部为()

为

2

务……1i

1•

••

(■

Fo-ix

A-iB.-1C.-3iD.-3

【答案】D

【解析】

【分析】由复数对应的点求出复数z-z2,计算z/Z2,得复数4/2的虚部.

【详解】在复平面内，复数4，z?对应的点分别为Z-Z2,

则Z]=1+27,z,=—2+i,得Z].z。=(1+2i)(―2+i)=—4—3i,

所以复数Z1"2的虚部为-3.

故选：D

3.已知直线4:x+]=l,直线，2：2x—ay+2=0,且（〃右，则。=（）

A.1B.-1C.4D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】由直线平行的充要条件列方程求解即可.

【详解】由题意直线4：x+1=l,直线4：2x—ay+2=0,且乙〃/2，所以1x（—a）—gx2=0,解得

a=­l.

故选：B.

4.已知抛物线C:/=8x的焦点为产，点M在。上，|加耳=4,。为坐标原点，则四。|=（）

A.4A/2B.4C.5D.275

【答案】D

【解析】

【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点M的坐标，再利用两点间的距离公式求出|MQ|.

【详解】设〃（加九），叶=8%，

又因为[MF]=%+2=4,所以%=2,yj=16,

故=收+如=VF+16=2^/5.

故选：D.

7T

5.在正四棱锥P—A6CD中，AB=2,二面角尸—CD—A的大小为一，则该四棱锥的体积为（）

4

42

A.4B.2C.-D.-

33

【答案】C

【解析】

【分析】作出辅助线，得到NPQH为二面角尸—CD—A的平面角，所以NPQH=士7T,从而求出四棱锥的

4

高，由棱锥体积公式求出答案.

【详解】连接相交于点〃，则”为正方形ABCD的中心，

故PHJ_底面ABCD,

取CD的中点Q,连接"2PQ，则HQ=^AD=1,

TT

故NP。”为二面角尸一CD—A的平面角，所以NPQH=—,

4

故PH=HQ=1,

1,4

所以该四棱锥的体积为一xAB~PH=—.

33

故选：C

6.已知圆。：/+2%+丁2_1=0,直线如+〃(y—1)=0与圆C交于A,3两点.若为直角三角

形，贝U()

A.mn=0B.m—n=O

C.m+n=0D.m2-3H2=0

【答案】A

【解析】

【分析】由直线与圆相交的弦长公式|=2二产进行求解即可.

【详解】因为圆C:V+2x+y2_i=o,圆心为1(—1,0),半径为厂=收，即3=侬=应

因为“WC为直角三角形，所以|A5|=J|C时+|C4『=2,

一m一”|祖+”

设圆心C(―L0)到直线阳+〃(y—1)=0的距离为d,d=1/,1=丁,

^rrr+H2yjrn2+n2

由弦长公式|=2,产—/得,所以W+1=1,化简得加〃=0.

Vm2+〃2

故选：A.

7.若关于1的方程log/-优=0(〃>0且QW1)有实数解，则。的值可以为()

5

A.10B.eC.2D.-

4

【答案】D

【解析】

【分析】根据反函数的性质以及导数的几何意义，只需函数/(尤)=/与直线y=%相交即可.

【详解】对比选项可知我们只需要讨论。＞1时，关于x的方程log/-优=0的解的情况,

若关于x的方程log/—优=0(。＞0且awl)有实数解,

即/(九)=，与g(x)=log“x的图像有交点，

因为/(X)=能与g(x)=log。％互为反函数,

所以/(X)=炉与g(x)=log.X的图像关于直线对称，

如图所示：

设函数/(%)="与直线y=%相切，切点、为P(得，兀)，

1a*。Ina=1%o=e

f(x)=aIna,贝用《，解得：\e/-，

由图像可知，当ae(l,公］时，曲线/(x)=a、与直线y=x有交点，

即/(%)=/与8(力=108“兀的图像有交点，即方程log/-优=0有解.

故选：D.

8.已知直线/r4的斜率分别为匕，左2，倾斜角分别为%，«2＞贝1?'85(。1一％)＞°”是'左/2＞°”的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由题意首项得名,火6［。，万)。1',兀J,再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系,

两角差的余弦公式即可得解.

兀、(71)

【详解】由题意两直线均有斜率，所以0,-lol-,7lI,

2兀71

若取贝U有cos(%—&2)=cos=—>0,{Hk.k=tan—tan-=-3<0；

T-321-733

,,sin«,sin%八

!

若桃,=tanaxtana、=--------->0,又sin/sin%〉0,

costz；costz2

所以cos%costz2>0,而cos(%—a2)=cos(Z]cos%+sinaxsintz2>0,

综上所述，“cos(1—4)>0”是“左上>0”的必要而不充分条件.

故选：B.

9.已知｛4｝是公比为q(qwl)的等比数列，S,为其前几项和.若对任意的“eN*，■恒成立，则

()

A.｛4｝是递增数列B.｛q｝是递减数列

C.6｝是递增数列D.｛S,,｝是递减数列

【答案】B

【解析】

【分析】先根据等比数列前〃项和S=川匕S,结合S,恒成立，得出a4的取值范围，得到M

"1-ql—qIJ

是递减数列.

【详解】｛4｝是公比为q(qwi)的等比数列，s.为其前”项和sJ。—q)

i-q

­.•S<,：.S=q)<恒成立,xq"〉o恒成立,

"\-q""1l—ql—qj

若q<0,则q'可能为正也可能为负，不成立

所以…言”

当4>0,0<q<1,｛4｝是递减数列，

当q（0,q〉L｛叫是递减数列，

故选:B.

10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的

立体模型，底面⑷3CDEF是正六边形，棱AG,BH,CI,DJ,EK,EL均垂直于底面

ABCDEF,上顶由三个全等的菱形PGHZ,PIJK,PKLG构成.设3C=1,

NGP/=N/PK=NKPG=ealO9°28'，则上顶的面积为（）

（参考数据：cosd=--,tan—=V2）

32

A.20B.空C.述D.晅

224

【答案】D

【解析】

【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.

【详解】由于NGP/=N7PK=NKPG=6a109。28'，所以NGm=。a109°28',

连接G/,取其中点为。，连接08,

GOG

所以。±=^/

24

tan—

2

由3c=1,且多边形A3CDEE为正六边形，所以AC=2ABsin60。=6,

由于G/=AC=G，所以OH=受G/=逅，

44

故一个菱形的面积为2sGH,=2xLxG/-OH=百义逅=2叵，

烦244

因此上顶的面积为3x逑=2叵,

44

故选：D

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

的展开式中，*的系数为.

【答案】-5

【解析】

【分析】由二项式的展开式的通项进行求解即可.

【详解】的展开式的通项为ZM=(-i)rq-%^

令工一=1得r=1,所以《=-C；・x=-5x,x的系数为—5.

故答案为:-5.

12.已知双曲线根产=i的一条渐近线为后一丁=0,则该双曲线的离心率为

【答案】2

【解析】

【分析】由双曲线方程可得其渐近线方程,从而得关于流的方程,再结合离心率公式求解即可.

2

——匕=1的渐近线方程为y=±J-

【详解】由题意得m>0,易知双曲线炉―/冲2=1，即人

Vm

m

1=73,^-=3,

mm

所以该双曲线的离心率e=£

a

故答案为：2.

13.已知点A,B,C在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则荏.就=

；点。到直线A3的距离为.

【解析】

【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算公式以及点到直线的距离公式即可求解.

【详解】以8为原点建立如图所示平面直角坐标系，

由题意4(—2,1),5(0,0)((1,3),所以荏•比=(2,—1>(1,3)=2-3=—1,

1Il+2x3|7A/5

而直线AB的表达式为y=--x,即x+2y=0所以点C到直线AB的距离为d=1,——-1=—.

2A/1+2?5

故答案为：T,撞.

5

14.已知无穷等差数列｛4｝的各项均为正数,公差为d,则能使得anan+1为某一个等差数列｛bn｝的前n项和

(〃=1,2,・•的一组四,d的值为%=,d=.

【答案】①.1②.1(答案不唯一)

【解析】

［分析】设等差数列｛2｝的前〃项和为5“，根据题意可得b也网.根据2d=伪+4,结合等差数列的通项

公式,可得关于的方程,解方程即可.

【详解】设等差数列｛2｝的前〃项和为S”,则S"=anan+1,Sl==a2a3,S3=a3a4.

又｛4｝是公差为d的等差数列，

••b[—S]—=S2—S]—一0102=2dd2,bs=S3—S2~。3a4—〃2“3=2dd3,

2b2=仿+b3,即2x2da,=qo,+2dai,:Ad(ax+d)=q(q+d)+2d(q+2d),

整理得力(%-。)=0,

由题知％>0,.'.tZj=d.

故满足题意的一组为,d的值为％=1,2=1.(答案不唯一)

故答案为：1;1(答案不唯一)

15.已知函数"X)=|cos%+M.给出下列四个结论:①任意aeR,函数的最大值与最小值的差为2；

②存在aeR,使得对任意xeR，/(x)+/(7i-x)=2a；③当时，对任意非零实数了，

+；④当a=0时，存在7«0,兀)，XOGR,使得对任意〃eZ,都有

f(x0)=f(x0+nT).其中所有正确结论的序号是.

【答案】②④

【解析】

77

【分析】取。=0可判断①，取。=1化简后可判断②，先化简，取》=兀可判断③，取7=7可判断④.

【详解】对于①，当a=0时/(x)=|coM，其最大值为1,最小值为0,7(%)的最大值与最小值的差为

1,故①错误；

对于②，当a=l时，/(x)=|cosx+l|=l+cosx,/(K-X)=|cos(7I-X)+1|=|1-cosx|=1-COSX,因此

对任意XGR,/(X)+/(TI-X)=2=2«,故②正确；

对于④，当a=0时/(x)=|cos^,取T=g,毛=：，使得对任意"GZ,都有/(XO)=/(XO+〃T),

故正确.

故答案为：②④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在四棱柱ABC。—A4G。中，侧面A3耳A是正方形，平面平面A3CD,

AB//CD,AD=DC=^AB,M为线段A3的中点，AD±BXM,

(1)求证：CM//平面ADD^；

(2)求直线AG与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵渔

9

【解析】

【分析】(1)连接AD1，由四棱柱性质可得为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得

和知//平面4。24；

(2)由面面垂直的性质以及线面垂直判定定理可求得AD,AB,A4三条棱两两垂直，建立空间直角坐标系

利用空间向量即可求得结果.

【小问1详解】

连接A。，如下图所示:

在四棱柱ABC。—中，侧面CDDC为平行四边形，

所以CQj〃O),CQi=CD,

因为A3〃CD,CD=-AB,/为A3中点，

2

所以CD〃AM,CD^AM,

所以C]R//AM,CR=AM,

所以四边形MAQG为平行四边形，

所以AQ,

因为＜Z平面AZ)24，

所以C]M//平面AZ)2A，

【小问2详解】

在正方形ABB^中，A\LAB,

因为平面ABB^±平面ABCD,平面ABB^J_c平面ABCD=AB；

所以44,，平面ABC。，而ADu平面ABC。，

即可得A4,LAD,

因为ADJ_3]M,u平面ABB14,4M■与相交，

所以平面A544，而ABu平面A544，

即AD上AB；

如图建立空间直角坐标系A-xyz.

不妨设AD=1,则A(o,o,o),q(1,2,1),4(022),M(0,0,1).

所以B=QB,=(-1,0,1),函=(1,2,0).

设平面M4G的法向量为为=

n-C}B]=一x+z=0

则_.，令犬=2,贝|y=—l,z=2,

n-MC1=x+2y=0

于是为=（2T2）；

y/6

因为cosAC],元=

~9~J

所以直线AG与平面MBG所成角的正弦值为逅

9

17.在AABC中，2ccosA=2b—a.

（1）求/C的大小;

（2）若c=6,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在，求AC

边上中线的长.

条件①：AABC的面积为26；条件②：sinB—sinA=；；条件③：b2-2a2=2.

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

TT

【答案】17.-

3

18.不能选①，选②或③，答案均为1

【解析】

1冗

【分析】（1）由正弦定理及sinB=sinAcosC+cosAsinC得到cosC=],结合。£（0,兀），得到。=耳

（2）选①，由三角形面积和余弦定理得到由“2+匕222ab推出矛盾；选②，根据三角恒等

jr

变换得到A=—,AABC是以AC为斜边的直角三角形，由正弦定理得到AC,求出中线；选③，由余弦

6

定理得到片+川一4匕=3,设AC边上的中线长为d,再由余弦定理得到AC边上的中线的长为1.

【小问1详解】

cibC

由正弦定理----=-----=-----及2ccosA=2b—a，

sinAsinBsinC

得2sinCcosA=2sinB—sinA.①

因为A+5+C=7l,

所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC.（2）

由①②得2sinAcosC-sinA=0.

因为AE（0,兀），所以sinAwO.

所以cosC='.

2

因为C«0,71）,

jr

所以c=‘.

3

【小问2详解】

选①，AABC的面积为2石，

即LabsinC=26，即走a6=2退，解得ab=8,

24

因为C=G，由余弦定理得cosC="+"一',

2ab

即工!±二2=工，解得片+^二”，

162

由基本不等式得标+^22^,但H<2x8,

故此时三角形不存在，不能选①，

选条件②：sinB-sinA=—.

2

TT27r

由（1）知，ZB=n---ZA=--ZA.

33

所以sinB-sinA=sinf—一A〕一sinA=cosA+—sinA-sinA

I3）22

J31.

=——cosA——sinA-sin

22

366

所以AABC是以AC为斜边的直角三角形.

因为C=,

所以AC=必-=芭一=2

所以sinCs”

3

所以AC边上的中线的长为^AC=1.

2

选条件③：24=2.

2.720[

由余弦定理得"一=口,即4+^一4,=3.

lab2

设AC边上的中线长为d,由余弦定理得

222

,2b2abe「2b2abba+b-3

d2=a-\-------------2cosC—ciH------------—ci2H------------------------=1.

424242

所以AC边上的中线的长为1.

18.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分(单位：分)

情况统计如下：

场次12345678910

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率;

（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的

场数，求X的分布列和数学期望E（X）；

（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.

甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设乂为甲获胜的场数，心为乙获胜的场数，工为丙获胜的

场数，写出方差。（耳），D（N），。（乂）的大小关系.

3

【答案】（1）—

10

4

（2）分布列见解析，一

3

（3）D化）＞。（工）＞0（毛）

【解析】

【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率；

（2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5

场，第8场，第9场，第10场。乙得分大于丙得分的场数X的取值为0,1,2,通过超几何分布的知识点，

得到X的分布列及数学期望E（X）.

（3）通过题目条件得到10场比赛甲获胜的概率为之，乙获胜的概率为白，丙获胜的概率为工，因为甲、

乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差。（乂），。（毛）的大小关系.

D（Y2）,

【小问1详解】

根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.

3

设A表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则尸（A）=一.

「10

小问2详解】

根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，

分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，

分别是第2场、第5场、第8场、第9场.

所以X的所有可能取值为0，1，2.

p（X=0）=^4^=—,p（x=l）=^f^=—,p（x=2）=^^=~.

l，或15'，或15'，或5

所以X的分布列为

X012

182

p

15155

iQ24

所以E（X）=0><B+lx^+2xg=§

【小问3详解】

由题意，每场比赛甲获胜的概率为之，乙获胜的概率为丙获胜的概率为工，还需要进行6场比赛,

1025

而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以

D（X）=6xQ3（l-0.3）=126,D（K）=6x0.5（l-0.5）=1.5,。化）=6x0.2（1-0.2）=0.96

故。匕）＞。（功＞。&）.

19.已知椭圆石：=+々=1（。〉6〉0）过点4（3,0）,焦距为2指.

ab

（1）求椭圆石的方程，并求其短轴长；

（2）过点P（l,0）且不与x轴重合的直线/交椭圆£于两点C,D,连接CO并延长交椭圆E于点直

线AM与/交于点N,。为0。的中点，其中。为原点.设直线NQ的斜率为左，求上的最大值.

22

【答案】（1）土+上=1,4

94

⑵空

9

【解析】

【分析】（1）由题意根据长轴顶点坐标、焦距以及平方关系列方程即可求解.

（2）不妨设直线CD的方程为％=%+1,C（%，x）,£＞（%,%），则/（一外,一%）.联立直线CD的方

程与椭圆方程，由韦达定理得另+为=二|^-，联立直线CD与直线A"的方程得点N的坐标，由中

4m+9

点坐标公式得点。的坐标，由斜率公式以及韦达定理可得斜率的表达式（只含有参数加），对加分类讨论

即可求解.

【小问1详解】

由题意知a=3,2c=2y/5.

所以c=A/5,b2=a2-c2=4.

22

所以椭圆E的方程为土+乙=1，其短轴长为4.

94

【小问2详解】

设直线CD的方程为》=阳+1,C（x1,y1）,£＞（%,%），则/（一百，一%）・

（22

土+匕=]

由＜94，得（4疗+9）/+8玖y-32=0.

x=my+l

—8m

所以X+%

4m2+9

由A（3,0）得直线AM方程为一

•X]i-D

y="(x-3)

由1%+3、/得y=

x=my+1

因为％+1,

所以y=_段，X=m^-y^+l=2.

所以―

因为。为。。的中点，且*2=加丁2+1，

所以。产卢,9

所以直线NQ的斜率

k=52=%+%=4加2+9二8加

my2+12-my1m(%+%)—1—8m2112m2+9

224m2+9

当加40时，k<Q.

当相>0时，

因为127〃+2之2厄了=12百，当且仅当加=且时，等号成立.

m2

所以左=3“哈

所以当加=且时，左取得最大值型.

29

20.已知函数/(%)=加-xsinx+b.

(1)当a=l时，求证:

①当x>0时，/(%)>/?；

②函数“另有唯一极值点;

(2)若曲线C1与曲线G在某公共点处的切线重合，则称该切线为G和C2的“优切线”.若曲线y=/(%)与

曲线y=r:o&x存在两条互相垂直的“优切线，，，求。，力的值.

【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析

2

(2)a=------,k&Zj,b=Q

4E+兀

【解析】

【分析】(1)①当。=1时，/(x)=x2-xsiax+Z2=x(x-sinx)+Z?,故只需证明当尤>0时，

g(x)=x—sinxNO即可，利用导数即可求解.②求导得/'(x)=x(l—cosx)+x—sinx,由此可得当x>0

时，制x)>0,结合((-x)=-/<])即可得证.

(2)由题意设曲线y=/(x)与曲线丁=-co&x的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为占,甚，

其斜率分别为匕，匕,则左]&=—1•再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可

求解.

【小问1详解】

①当a=l时，/(x)=x2-xsinx+Z2=x(x-sinx)+Z?.

记g(x)=x-sinx(x>0),则g'(x)=l-cosx>0.

所以g(x)在［0，+。)上是增函数.

所以当x>0时，g(x)>g(O)=O.

所以当x>0时，/(%)=x(x-sinx)+Z?>Z?.

②由f(x)=x2-xsinx+/?^#/'(%)=2x-sinx-xcos%,且/'(0)=0.

当尤>0时，f(%)=x(l-cosx)+x-sinx.

因为l-cosx20,x-sinx>0,

所以/'4x)>0.

因为/'(f)=(x)对任意xeR恒成立,

所以当x<0时，r(x)<o.

所以。是的唯一极值点.

【小问2详解】

设曲线y=/(%)与曲线V=YO5的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为芯,%,其斜率分别

为左一k2,则左］&=-L

因为(一cosx)，=sinx,

所以sinXj-sinx2=k岛=-l.

所以{si叫,sinx2}={-1,1}.

TT

不妨设sin%i=l,则玉=2也+万,左eZ.

因为左1=/'(毛)=2axi-sinXj_%co阴,

由“优切线”的定义可知2%-si叫-Xjcosx；=sirUj.

12,~

所以〃==­，攵£Z.

玉4也+兀

12•公

由“优切线”的定义可知一•不一%加叫+〃=-cosxj,

石

所以Z?=0.

2兀兀

H

当〃=-------，keZ,Z?=0时，取％=2E—，x?=—2kn—，

4左兀+兀22

r

则/(%)二-cos石=0,/(x2)=-cosx2=0,/'(玉)=sinX]=l,/(x2)=sinx2=-1,符合题意.

2

所以〃=-------,kwZ,b=0.

4E+兀

【点睛】关键点睛：第一问②的关键是，求导得/'(x)=x(l—cosx)+x—sinx,然后以x=0为分界点讨

论即可；第二问的关键是结合“优切线的定义”以及导数即可顺利得解，综合性比较强.

21.对于给定的奇数加(〃后3),设A是由“2X77?个实数组成的加行加列的数表，且A中所有数不全相

同，A中第i行第/列的数羯e{—1,1},记厂。)为A的第i行各数之和，c(j)为A的第/列各数之和,

其中z,je{1,2,­­•,m}.记/(A)=——1⑴+厂?+…+厂(可.设集合H={(/,%•厂⑺<0或

a.-c(j)<0,i,jG{1,2,•••,«)},记H(A)为集合H所含元素的个数.

(1)对以下两个数表A，a，写出〃A)，"(A)，”4)，H(4)的值；

bbLL-b-hbbb

bbIPL-1，-h1。b-h

bLh-h-bbLb-b-b

bh-h-h-hL-L-b-h

b-h-h-h-hL-h-h-b-h

44，

(2)若r⑴/(2),・・・,r(m)中恰有s个正数，f中恰有/个正数.求证:

、”(A)

(3)当加=5时，求八的最小值.

【答案】⑴"4)=10,"(4)=12；"4)=12,"(4)=15

Q

(2)证明见解析(3)-

9

【解析】

【分析】(1)按定义求出r(i),c(j),，=1,2,…,5,/=1,2,…,5,进行求解即可.

⑵分两种情况进行证明,即①se{0,3或代{0,叫,②“{0,相}且才e{0,叫分别证明即可.

(3)因为7〃=5,分情况讨论①若se{0,5}或/e{0,5}