专题11圆锥曲线（亮点讲）-2023年高考数学单元复习课件与检测（新高考专用）（原卷版）

专题11圆锥曲线知识回顾一、椭圆的定义及相关性质：椭圆定义1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）图形方程标准方程(>0)(>0)范围─axa，─byb─axa，─byb中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)(0,a),(0,─a),(b,0),(─b,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b焦点F1(c,0),F2(─c,0)F1(0,─c),F2(0,c)焦距2c（其中c=）2c（其中c=）离心率准线x=x=焦半径通径a,b,c关系二.双曲线的定义及相关性质定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若a>c，则集合P为空集.标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2【温馨提示】要点诠释1．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上2．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成3．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线4．离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为1共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上三.抛物线的定义及相关性质抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（其中定点F不在定直线l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．抛物线的数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：方程图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点（0，0）离心率焦半径抛物线上的点【温馨提示】1.抛物线的过焦点的弦：①，；②，，过焦点的所有弦中弦长最短为通径（过焦点垂直于对称轴的弦）。③焦半径为半径的圆：以为圆心、为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点、准线是公切线。④焦半径为直径的圆：以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F，过顶点垂直于轴的直线是公切线。⑤焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。⑥平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点.但它不是抛物线的切线.2．抛物线和椭圆、双曲线的比较（1）抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大.它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它无中心，也没有渐近线.（2）.椭圆、双曲线都有中心，它们均可称为有心圆锥曲线.抛物线没有中心，称为无心圆锥曲线.四.有关圆锥曲线的常见求解问题的提示：1.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．2.处理中点弦问题常用的求解方法：(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq\f(y1－y2,x1－x2)三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用．3.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．4.处理圆锥曲线最值问题的求解方法：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．5.圆锥曲线中定点问题的两种解法：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．6.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略：(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．7.解决探索性问题的注意事项：探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．【温馨提示】椭圆与双曲线的离心率的求法：对于椭圆，有；对于双曲线：，有防止记混．常考题型1.椭圆的标准方程：【例题11】（多选题）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（）A．B．C．D．【自我提升】，则“”是“方程表示椭圆”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例题12】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（,）【自我提升】已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过和两点，则椭圆的标准方程为_______.【例题13】已知，皆为曲线上的点，为曲线上异于，的任意一点，且满足直线的斜率和直线的斜率之积为.（1）求曲线的方程；（2）斜率不为零的直线过点且与曲线交两点，点，若，求直线的方程.【自我提升1】已知椭圆上的一点到焦点的距离为，点是的中点，为坐标原点，则等于（）A．2 B．4 C．7 D．【自我提升2】已知，皆为曲线上的点，为曲线上异于，的任意一点，且满足直线的斜率和直线的斜率之积为．（1）求曲线的方程；（2）直线过点且与曲线交于，两点，求面积的最大值．2.椭圆的简单几何性质：【例题21】求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．【自我提升】过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．【例题22】设，分别是椭圆E：的左､右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【例题23】已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于两点，求弦的长.3.双曲线的标准方程：【例题31】已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点，，在此双曲线上，求双曲线的标准方程【自我提升1】与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是_______.【自我提升2】（多选题）已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（）A．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆B．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆C．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆D．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线【例题32】一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s．(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m／s，求曲线的方程．【自我提升】A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6km，C在B的北偏西30°方向上，相距4km，P为敌炮阵地.某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号（该项信号的传播速度为每秒1km）.A若炮击P地，求炮击的方位角.4.双曲线的简单几何性质：【例题41】求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程【自我提升1】顶点间的距离为6，渐近线方程为的双曲线的标准方程为________.【例题42】如图8—8，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围.【自我提升】若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B． C． D．【例题42】双曲线=1与直线y=kx－1只有一个公共点，求k的值.【自我提升1】若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【自我提升2】一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2，则e1+e2的最小值为（）A.B.2C.2D.45.抛物线的标准方程：【例题51】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）过点（3，4）；（2）焦点在直线x+3y+15=0上.（3）已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为x轴，求抛物线的方程.（4）点M与点F(0，－2)的距离比它到直线l:y－3=0的距离小1,求点M的轨迹方程.【自我提升】已知抛物线过点（11，13），则抛物线的标准方程是（）A.y2=xB.y2=xC.y2=x或x2=yD.x2=y【例题52】如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽．当水位上升后，水面宽是（）A． B． C． D．【自我提升1】如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为．【自我提升2】设抛物线：的焦点为，为坐标原点，是上一点.若，则（）A． B．5 C． D．【自我提升3】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（）A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝x6.抛物线的简单几何性质：【例题61】已知A，B是抛物线两点，O为坐标原点．若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．【自我提升】直线与抛物线：交于，两点，若，则，两点到抛物线的准线的距离之和为（）A．1 B．2 C．3 D．4【例题62】在直角坐标系中，已知定点，定直线，动点到直线的距离比动点到点的距离大.记动点的轨迹为曲线.（1）求的方程，并说明是什么曲线？（2）设在上，不过点的动直线与交于，两点，若，证明：直线恒过定点.【自我提升】已知抛物线：的焦点到其准线的距离为4，经过点的直线与该抛物线交于，两点．（1）求抛物线的方程；（2）求的最小值．7.圆锥曲线的定点、定值问题：【例题71】已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为eq\f(\r(2),2)，过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点.【例题72】已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，，短轴端点为，．（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点．【例题73】已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦，，且，则直线经过定点为________．【例题74】已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（不经过点）交椭圆于点，试问直线与直线的斜率之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【自我提升】设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜）与椭圆交于A，B两点，现给出下述结论：①|AF|+|BF|为定值；②△ABF的周长的取值范围是[6，12]③当m＝时，△ABF为直角三角形；④当m＝1时，△ABF的面积为．其中所有正确结论的序号是__．【例题75】设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．【例题76】A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）.求证：（1）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；（2）直线AB经过一个定点.【自我提升】已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1):①点P到抛物线焦点的距离为②过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为③过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0④过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值其中正确的是________.8.圆锥曲线的中点弦问题：中点弦问题：解决中点弦问题的常用方法：中点弦问题求解的关键是充分利用好“中点”这一条件，善于把斜率与中点联系起来，会灵活运用中点坐标公式和一元二次方程根与系数的关系.（1）通过方程组转化为一元二次方程，结合一元二次方程根与系数关系及中点坐标公式进行求解.（2）点差法：设出弦的两端点的坐标，代入方程，得到两个等式，两式相减即得弦中点与斜率的关系.例如：是椭圆上的两个不同的点是弦的中点，则，所以，变形得，即.（3）中点转移法：先设出一个端点的坐标，再借助中点得出另一个端点的坐标，然后消去二次项.【例题81】椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是________．【例题82】在直角坐标系中，过动点的直线与直线垂直，垂足为，点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）直线与（1）中的轨迹交于两点，如果线段的中点为，求直线的方程．【例题83】已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为________．【自我提升】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点．若，=.【例题84】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．9.圆锥曲线的弦长问题：【例题91】如图，设椭圆（a＞1）.（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【自我提升】已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．(1)求椭圆的方程；(2)求的面积【例题92】已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．【例题93】斜率为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，则线段的长为________．【自我提升】已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，抛物线的方程.【例题94】已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合.（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度.【自我提升】抛物线y2=12x中，一条焦点弦的长为16，求此焦点弦所在直线的倾斜角.10.直线与圆锥曲线的位置关系问题：【例题101】已知以F1(2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________.【自我提升】椭圆的离心率是，斜率为1的直线过M(b，0)且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，则椭圆的标准方程是___________．【例题102】在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由．【自我提升】已知抛物线的准线为，是抛物线上一点，．（1）求抛物线的方程；（2）设与轴的交点为，直线过定点且与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程.11.轨迹问题：【例题111】已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程【例题112】知的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹【例题113】如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆与定圆，都外切，求动圆圆心的轨迹方程．【例题114】已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（）A． B．C． D．12.最值问题：【例题121】已知椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，上、右顶点分别是A、B，满足∠F1AF2＝120°，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)与圆x2+y2＝1相切的直线l交椭圆C于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的斜率．【自我提升】已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（）A．3 B．2 C． D．【例题122】已知是双曲线的右焦点，是双曲线左支上的一点，且点的坐标为，则的周长最小为_________，此时其面积为___________．【例题123】已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为（）A． B． C． D．【自我提升1】已知抛物线方程为，点在此抛物线上运动，则点与点之间的距离的最小值为______________.【自我提升2】已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（）A．1 B． C．2 D．13.圆锥曲线的综合问题：【例题131】抛物线y2＝－12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________.【自我提升】若抛物线的准线与椭圆相切，则a＝（）A．﹣4或4 B．4 C．﹣8或8 D．8【例题132】已知命题有两个不等的实根；命题q方程表示双曲线，若为假命题，为真命题，求m的取值范围．【例题133】已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点，(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=x对称?若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由.【例题134】2021年5月，在美丽的崇明岛举办第十届中国花卉博览会，主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和2米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度.【例题135】已知抛物线：经过点.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若，轴.垂足为，求证：.【例题136】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足.（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆的左焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程.【自我提升】已知是抛物线的焦点，若直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，圆心为，设圆与轴交于点，，则的取值范围是（）A． B． C． D．1.已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（）A． B．或C． D．以上都不对2.已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（）A．1 B． C．2 D．3.某椭圆或双曲线的标准方程对应的图形经过点，，则关于该图形判断正