2025《金版教程•高考数学复习创新方案》第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系课标解读考向预测1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.预计2025年高考主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假的判断和求解异面直线所成的角，主要以选择题或填空题的形式出现，为中、低档题.必备知识——强基础1．与平面有关的基本事实及推论(1)与平面有关的三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过eq\x(\s\up1(01))不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的eq\x(\s\up1(02))两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条eq\x(\s\up1(03))过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l(2)基本事实1的三个推论推论内容图形作用推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面确定平面的依据推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α3.基本事实4和等角定理基本事实4：平行于同一条直线的两条直线eq\x(\s\up1(04))互相平行．等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角eq\x(\s\up1(05))相等或互补．4．异面直线所成的角(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：eq\x(\s\up1(06))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3.2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()(2)没有公共点的两条直线是异面直线．()(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线．()答案(1)√(2)×(3)×2．小题热身(1)(人教A必修第二册习题8.4T3改编)下列说法正确的是()A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两条直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两条直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案C解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，而DD1与B1C1是异面直线，故B错误；如图2，直线AB与CD是异面直线，若AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与直线AB与CD是异面直线矛盾，则直线AC与BD一定不平行，故C正确；如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．故选C.(2)(2023·四川绵阳中学诊断考试)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面答案D解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D.(3)(2024·湖北荆州中学阶段考试)如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.故选C.(4)(2024·浙江杭州二中月考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．CC1与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°答案C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故CC1与B1E是共面的，A错误；由于CC1⊂平面C1B1BC，而AE与平面C1B1BC交于点E，点E不在CC1上，故CC1与AE是异面直线，B错误；同理，AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．故选C.考点探究——提素养考点一基本事实的应用例1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B，且EF＝eq\f(1,2)A1B.又A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，即E，C，D1，F四点共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，∴四边形CD1FE是梯形，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE，且P∈D1F，∵CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝DA，∴P∈DA，∴CE，D1F，DA三线共点．【通性通法】共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．【巩固迁移】1．(多选)(2024·湖北襄阳五中质检)下列关于点、线、面的位置关系的说法中不正确的是()A．若两个平面有三个公共点，则它们一定重合B．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内C．直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b是异面直线D．正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则A，M，O三点共线，且A，M，O，C四点共面答案ABC解析对于A，当这三点共线时，两个平面可以不重合，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A，D，E三个点在一条直线上，但平面ABCD与平面ADD1A1相交，不重合，故A不正确；对于B，从点A出发的三条棱AA1，AB，AD不在同一平面内，故B不正确；对于C，如图，记直线AA1，B1C1分别为c，d，直线AB1，A1B1分别为a，b，可知AB1∩A1B1＝B1，则此时直线a，b相交，故C不正确；对于D，平面AA1C∩平面AB1D1＝AO，因为直线A1C交平面AB1D1于点M，所以M∈AO，即A，M，O三点共线，因为A，M，O三点共线，直线和直线外一点可以确定一个平面，所以A，O，C，M四点共面，故D正确．故选ABC.考点二空间两条直线的位置关系例2(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．故选D.(2)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，与直线BC1异面的棱有()A．1条 B.2条C．3条 D．4条答案C解析在直三棱柱ABC－A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有A1B1，AC，AA1，共3条．故选C.【通性通法】空间两条直线位置关系的判定方法和技巧【巩固迁移】2．(2023·广东广州调研)若空间中四条直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1，l4既不平行也不垂直D．l1，l4位置关系不确定答案D解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取AA1为l2，BB1为l3，AD为l1，BC为l4，则l1∥l4；取AD为l1，AB为l4，则l1⊥l4；取AD为l1，A1B1为l4，则l1与l4异面，因此l1，l4的位置关系不确定．故选D.3.(2024·南京模拟)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是()A．直线CD与直线GH异面B．直线CD与直线EF共面C．直线AB与直线EF平行D．直线GH与直线EF共面答案B解析如图，点C与点G重合，故A错误；∵CE∥BD，且CE＝BD，∴四边形CDBE是平行四边形，∴CD∥EF，∴CD与EF共面，故B正确；∵AB∩EF＝B，∴AB与EF相交，故C错误；∵EF与GH既不平行也不相交，∴EF与GH是异面直线，故D错误．故选B.考点三异面直线所成的角例3(2024·河北邢台月考)已知圆柱的母线长与底面半径之比为eq\r(3)∶2，四边形ABCD为其轴截面，若点E为上底面eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，则异面直线DE与AB所成角的余弦值为()A．eq\f(2\r(11),11) B．eq\f(2\r(7),7)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(3),3)答案A解析如图所示，因为AB∥CD，所以∠EDC(或其补角)为异面直线DE与AB所成的角．设CD的中点为O，过点E作EF⊥底面圆于F，连接OE，OF，因为E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，所以F是eq\o(CD,\s\up8(︵))的中点，CD⊥OF.又因为EF⊥圆O，所以EF⊥CD.由于EF∩OF＝F，OF，EF⊂平面OEF，则CD⊥平面OEF，OD⊥OE.设AD＝eq\r(3)，则OD＝OF＝2.所以OE＝eq\r(7)，ED＝eq\r(11)，所以cos∠EDC＝eq\f(OD,DE)＝eq\f(2,\r(11))＝eq\f(2\r(11),11).故选A.【通性通法】求异面直线所成角的步骤(1)作：通过作平行线得到相交直线．(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)．(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．【巩固迁移】4．(2023·湖北荆州模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA1＝eq\r(2)，则异面直线A1C与AD所成角的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则AD∥A1D1，∠CA1D1(或其补角)就是异面直线A1C与AD所成的角．连接D1C.∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，∴A1D1⊥平面BCC1B1，∵D1C⊂平面BCC1B1，∴A1D1⊥D1C，∴△A1CD1为直角三角形，在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝eq\r(3)，∴∠CA1D1＝60°.故选C.课时作业一、单项选择题1．下列叙述错误的是()A．若P∈α∩β，且α∩β＝l，则P∈lB．若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面C．三点A，B，C确定一个平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α答案C解析对于A，点P是两平面的公共点，则点P在两平面的交线上，故A正确；对于B，由基本事实的推论可知，两相交直线确定一个平面，故B正确；对于C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故C错误；对于D，由基本事实2，直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内，故D正确．故选C.2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是()A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行答案A解析m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行、相交或异面，故D错误．故选A.3．(2024·辽宁营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l共面，则a，b，l相交或a，b，l有两个平行、另一直线与之相交或三条直线两两平行，所以若a，b，l共面，则a，b，l两两相交不一定成立；而若a，b，l两两相交，则a，b，l共面成立．故“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的充分不必要条件．故选A.4．(2024·辽宁沈阳高三模拟)如图是某正方体的展开图，其中A，B，C，D，E，F分别是原正方体对应棱的中点，则在原正方体中与AB异面且所成的角为60°的直线是()A．CD B．DEC．EF D．CE答案C解析由题设，将展开图还原成正方体及各点的空间位置如图所示．结合选项及正方体的性质知，与AB异面的直线有EF，CE，其中只有EF与AB所成的角为60°.故选C.5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是()A．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN与EF平行B．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN与EF平行C．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN与EF异面D．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN与EF异面答案D解析设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2a，则MN＝eq\r(MCeq\o\al(2,1)＋C1N2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2))＝eq\r(2)a，作点E在平面ABCD内的射影为点G，连接EG，GF，所以EF＝eq\r(EG2＋GF2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2)＋（\r(2)a）2)＝eq\r(3)a，所以MN≠eq\f(1,2)EF，故A，C错误；连接A1D，B1C，因为E为平面ADD1A1的中心，所以DE＝eq\f(1,2)A1D，又因为M，N分别为B1C1，CC1的中点，所以MN∥B1C，又因为B1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，所以MN与EF异面，故B错误，D正确．6．(2023·山东威海期末)在空间四边形ABCD中，若E，F分别为AB，BC的中点，G∈CD，H∈AD，且CG＝2GD，AH＝2HD，则()A．直线EH与FG平行B．直线EH，FG，BD相交于一点C．直线EH与FG异面D．直线EG，FH，AC相交于一点答案B解析因为CG＝2GD，AH＝2HD，且∠ADC＝∠HDG，所以△ADC∽△HDG，所以HG∥AC且HG＝eq\f(1,3)AC，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC且EF＝eq\f(1,2)AC，所以HG∥EF且HG≠EF，故四边形EFGH为梯形，且EH，FG是梯形的两腰，所以EH，FG交于一点，设交点为P，则P∈EH，P∈FG，又因为EH⊂平面ABD，FG∈平面BCD，所以P∈平面ABD，且P∈平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，所以点P是直线EH，BD，FG的公共点，故直线EH，FG，BD相交于一点．故选B.7．(2024·浙江绍兴质检)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为2，M，N分别为AB，BC的中点，则异面直线A1M与B1N所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(4,5)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(7,10)答案D解析如图，延长MB到P，使得BP＝MB，因为M是AB的中点，则MP＝AB，又MP∥A1B1，所以四边形A1B1PM是平行四边形，A1M∥B1P，所以异面直线A1M与B1N所成的角是∠PB1N(或其补角)，又N是BC的中点，所以BP＝BN＝1，PN＝eq\r(BP2＋BN2－2BP·BNcos∠PBN)＝eq\r(12＋12－2×1×1×cos120°)＝eq\r(3)，又三棱柱是正三棱柱，所以B1P＝B1N＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，cos∠PB1N＝eq\f(B1P2＋B1N2－PN2,2B1P·B1N)＝eq\f(5＋5－3,2×5)＝eq\f(7,10).故选D.8．(2023·上海浦东华师大二附中练习)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱A1D1，D1C1，AB的中点，Q是线段MN上的动点，则下列直线中，始终与直线PQ异面的是()A．AB1 B．BC1C．CA1 D．DD1答案A解析对于A，AB1⊂平面ABB1A1，P∈平面ABB1A1，Q∉平面ABB1A1，所以直线PQ与AB1异面，A符合题意；对于B，当点Q与点N重合时，因为PB∥NC1，又M，N，P分别是棱A1D1，D1C1，AB的中点，所以PB＝NC1，所以直线PQ∥BC1，B不符合题意；对于C，连接A1P，PC，CN，NA1，在正方体中，易得A1P∥CN且A1P＝CN，所以A1C与PN相交，即当点Q与点N重合时，直线PQ与CA1相交，C不符合题意；对于D，取A1B1的中点H，连接D1H交MN于点E，连接DP，PH，因为PH∥DD1且PH＝DD1，所以DP∥D1H且DP＝D1H，故当点Q与点E重合时，直线PQ与DD1相交，D不符合题意．故选A.二、多项选择题9．(2023·广西梧州模拟)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是()答案BD解析对于A，直线GH∥MN；对于B，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；对于C，连接GM，GM∥HN，因此直线GH与MN共面；对于D，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，G∉MN，因此直线GH与MN异面．故选BD.10．(2024·江苏南京一中高三检测)在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别为AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法正确的是()A．M，N，P，Q四点共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四边形MNPQ为梯形答案ABC解析对于A，易知MQ∥BD，NP∥BD，则MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠QEM＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C正确；对于D，易知MQ∥BD，MQ＝eq\f(1,2)BD，NP∥BD，NP＝eq\f(1,2)BD，所以MQ∥NP，MQ＝NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确．故选ABC.三、填空题11．(2023·安徽芜湖阶段考试)设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________．答案0解析若a⊥b，b⊥c，则a与c可能相交、平行、异面，故①错误；若a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故②错误；若a，b相交，b，c相交，则a，c可能异面、相交、平行，故③错误；同理④错误．故真命题的个数为0.12.(2024·湖南长郡中学阶段考试)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，CC1的中点，则异面直线A1E与BF所成角的大小为________．答案eq\f(π,2)解析取D1D的中点G，连接AG，GF，记A1E与AG的交点为M，如图所示，因为G，F分别是棱D1D，CC1的中点，所以GF∥AB，且GF＝AB，故四边形ABFG为平行四边形，所以AG∥BF，所以A1E与BF所成的角即为A1E与AG所成的角，因为E，G是棱AD，D1D的中点，所以A1A＝AD，AE＝GD，∠A1AD＝∠ADG＝eq\f(π,2)，所以△A1AE≌△ADG，所以∠AA1E＝∠DAG，因为∠DAG＋∠A1AG＝∠A1AE＝eq\f(π,2)，所以∠AA1E＋∠A1AG＝eq\f(π,2)，所以∠AMA1＝π－(∠AA1E＋∠A1AG)＝eq\f(π,2)，故A1E与AG所成的角为eq\f(π,2)，即A1E与BF所成的角为eq\f(π,2).13.(2024·陕西渭南模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1D1，A1A的中点，点O为对角线AC，BD的交点，若平面EOF∩平面ABCD＝l，l∩AB＝G，且AG＝kGB，则实数k＝________．答案eq\f(1,3)解析延长EF，交DA的延长线于点H，连接OH，交AB于点G，∵H∈EF，EF⊂平面EOF，H∈AD，AD⊂平面ABCD，平面EOF∩平面ABCD＝l，∴H∈l，故直线OH即为直线l，取AD的中点M，连接MO，ME，又E，F分别是棱A1D1，A1A的中点，∴AH＝A1E＝AM，∴AG＝eq\f(1,2)MO＝eq\f(1,4)AB，BG＝eq\f(3,4)AB，∴AG＝eq\f(1,3)GB，即k＝eq\f(1,3).14.(2024·湖南衡阳八中校考阶段练习)如图所示，圆锥底面半径为2，O为底面圆心，A，B为底面圆O上的点，且∠AOB＝eq\f(π,3)，∠PAO＝eq\f(π,4)，则直线OA与PB所成角的余弦值为________．答案eq\f(\r(2),4)解析连接AB，取AP，AB，PO的中点分别为M，Q，N，连接OQ，则MN∥OA，MQ∥PB，PO⊥平面AOB，所以∠NMQ(或其补角)为直线OA与PB所成的角，又OA⊂平面AOB，OB⊂平面AOB，所以PO⊥OA，PO⊥OB，因为∠AOB＝eq\f(π,3)，∠PAO＝eq\f(π,4)，OA＝OB＝2，所以PO＝OA＝2，ON＝eq\f(1,2)PO＝1，PB＝eq\r(2)PO＝2eq\r(2)，OQ＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，所以MQ＝eq\f(1,2)PB＝eq\r(2)，NQ＝eq\r(OQ2＋ON2)＝2，MN＝eq\f(1,2)OA＝1，则由余弦定理，得cos∠NMQ＝eq\f(12＋（\r(2)）2－22,2×1×\r(2))＝－eq\f(\r(2),4)，所以直线OA与PB所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4).四、解答题15.(2024·河南洛阳阶段考试)如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，点G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，H，G四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．证明(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.∵在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，H，G四点共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC，∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．16.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，所以FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.17.(多选)(2023·山西太原模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是()A．GH与EF