数学课后训练：平面的基本性质与推论

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后训练1．经过同一直线上的三个点，可作平面的个数为()．A．1B．2C．3D．无数2．下列图形中,满足α∩β＝AB，aα，bβ,a∥AB，b∥AB的图形是(）．3．下列四种叙述：①空间四点共面,则其中必有三点共线；②空间四点不共面,则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确说法的序号是（)．A．②③④B．②③C．①②③D．①③4．如果平面α和平面β有三个公共点A，B，C,则平面α和β的位置关系为（）．A．平面α和平面β只能重合B．平面α和平面β只能交于过A,B，C三点的一条直线C．如果点A，B,C不共线,则平面α和平面β重合;如果点A，B，C共线，则平面α和平面β重合或相交于过A,B，C的一条直线D．以上都不对5．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（)．A．3B．4C．5D．66．已知点A，直线a，平面α，①A∈a，a∈αA∈α;②Aa，aαAα；③A∈a，aαAα。以上命题中写法正确且正确的个数为__________．7．两条异面直线在同一个平面内的正投影有可能是____________________________.8．下列命题:①空间三点确定一个平面;②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④等腰三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交．其中正确的命题是__________．9．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中,O是BD的中点，对角线AC1与过A1，B,D的平面交于P点，求证：A1，P，O在同一直线上．

参考答案1。答案：D2.答案:C可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断．3.答案：B四棱柱中每个面都有四个点，但这四个点中没有三点是共线的，所以①错;对于④，三点不共线但四点可以共面．4。答案：C应分点A，B，C共线与不共线两种情况讨论．5。答案：C与AB共面也与CC1共面的棱有CD,BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．6.答案：0①中“a∈α”符号不对；②中A可以在α内，也可以在α外，故不正确;③中“Aα”符号不对．7。答案：两条相交直线或两条平行直线或一个点和一条直线要判断两异面直线在同一平面内的正投影的情况，即判断两条异面直线在同一平面内的投影的各种情形，下图只是列举其中的一些可能情况，比如说图(1)中俯视图是两条相交直线的情形，其中bα，当然当b与平面α相交时，也有可能是两条相交直线．8。答案：④由平面的基本性质2知,不共线的三点才能确定一个平面，所以命题①、②均错，②中有可能出现两平面只有一条公共线（当这三个公共点共线时)．③中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点,则这三条直线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由平面的基本性质的推论及平面的基本性质1可知必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形；在正方体ABCD－A′B′C′D′中,直线BB′⊥AB，BB′⊥BC，但AB与BC不平行，所以⑥错;AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，所以⑦错．9.答案：分析：四条直线两两相交且不过同一点,又可分成两种情况：一是有三条直线共点；二是任何三条直线都不共点．因而本题需分类后进行各自的证明．需要注意的是,要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明．证明：(1)有三线共点的情况，如图．设b,c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M且Ka.∵Ka，∴K和a确定一个平面,设为α.∵N∈a，aα，∴N∈α，∴NKα，即bα.同理，cα,dα，∴a，b,c,d共面。(2）无三线共点情况，如图．设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P,a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S。∵a∩d＝M，∴a,d可确定一个平面α。∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα。同理，cα。∴a，b，c，d共面．由(1)(2）知a，b,c，d共面。10。答案：证明：如图，连接AC，A1C1.∵O是BD的中点，∴O是AC的中点,即O∈AC。∴O∈平面ACC1A1。∵P∈AC1，A