工程数学 - 第一章 函数

工程数学主

编

马玉

高琰

卢静函

数第一章目录函数的概念01函数的性质02初等函数03初步认识MATLAB04CONTENTS行业PPT模板/hangye/第一节函数的概念010101一、函数的定义定义1.1.1设D是一个给定的非空数集,如果对于任意一个数x∈D,按照某一个对应法则f,实数集中总有唯一确定的元素y与之对应,则称f为D上x到y的一个函数,简称y是x的函数,记作

y=f(x),x∈D式中,x为自变量;y为因变量;D为函数的定义域.定义域D就是自变量x的取值范围,也就是使函数y=f(x)有意义的数集.当x取遍D中的一切数时,对应的函数值f(x)的全体所构成的集合{yy=f(x),x∈D}称为函数的值域,一般用Rf或f(D)表示.注意:函数的定义域与对应法则称为函数的两要素,两个函数相同的充分必要条件是它们的定义域和对应法则均相同01二、函数的定义域与函数值

0101表示函数的方法主要有三种:列表法、图像法和解析法.列表法是将自变量的值与对应的函数值列成表格来表示两个变量函数关系的方法,如三角函数表、对数表等.图像法是用图像表示两个变量x与y之间的函数关系的方法.如图1-2表示的就是函数f(x)=x+1的图像.三、函数的表示方法0101定义1.1.2对于这样一个函数

y=f(x),x∈D,y∈Z若对于任意一个y∈Z,D中只有一个x值与之相对应,这就确定了一个以Z为定义域的函数,这个函数就称为y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),y∈Z.按照习惯记法,x作自变量,y作因变量,因此y=f(x)的反函数x=f-1(y)可以记作y=f-1(x),x∈Z.由反函数的定义知,反函数的定义域为原函数的值域,反函数的值域为原函数的定义域.若函数y=f(x)具有反函数,这就意味着,它的定义域D与值域Z之间按照对应法则f建立了一一对应的关系,且反函数y=f-1(x)与y=f(x)的图像关于y=x对称.四、反函数01第二节函数的性质0202

定义1.2.1设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个不为零的数T,对于D内任意的x,都有f(x+T)=f(x)成立,则称f(x)为周期函数,称T为它的一个周期.

若T是函数的一个周期,则nT(n为非零整数)也是它的周期.通常称周期中的最小正周期为周期函数的周期,显然函数y=sinx和y=cosx的周期都是2π,函数y=tanx的周期是π.

注意:并非每个周期函数都有最小正周期.例如,常数函数为周期函数,任意非零实数为其周期,无最小正周期.

例1.2.1设f(x)=cos(x-1),指出函数f(x)的周期.

解因为f(x+2π)=cos(x+2π-1)=cos(x-1)=f(x),所以f(x)的周期为2π.一、周期性二、有界性02

定义1.2.2设函数的定义域为D,数集X⊂D,若存在正数M,使得对任意的x∈X,都有f(x)≤M(可以没有等号),则称f(x)是X上的有界函数,否则称f(x)是X上的无界函数.也就是说,如果对于任何正数M,总存在x1∈X,使得|f(x1)|>M,那么f(x)是X上的无界函数.

从定义中我们可以看出,有界函数的图像必介于两条平行于x轴的直线y=M和y=-M之间.

例如,函数y=sinx在它的定义域(-∞,+∞)内始终都有|sinx|≤1.于是根据有界函数的定义可知,函数y=sinx在它的定义域内是一个有界函数.三、单调性02

定义1.2.3设函数f(x)在区间D上有定义,若对于D中的任意两点x1,x2,当x1<x2时,恒有

(1)f(x1)≤f(x2),则称函数f(x)在D上单调增加,称f(x)为D上的单调增函数.区间D称为f(x)的单调增区间.

(2)f(x1)≥f(x2),则称函数f(x)在D上单调减少,称f(x)为D上的单调减函数.区间D称为f(x)的单调减区间.

特别地,如果不等式f(x1)<f(x2)成立,则称f(x)为D上的严格增函数.如果不等式f(x1)>f(x2)成立,则称f(x)为D上的严格减函数.

例如,如图1-4所示,函数f(x)=x2在区间(-∞,0]内是单调减少的,在区间[0,+∞)内是单调增加的,在区间(-∞,+∞)内不是单调的.如图1-5所示,函数f(x)=x3在区间(-∞,+∞)内是单调增加的.0202四、奇偶性第三节初等函数0303一、基本初等函数(一)常数函数y=C(C为常数),x∈(-∞,+∞)常数函数如图1-6所示.(二)幂函数03(三)指数函数03(四)对数函数03(五)三角函数图1-1303(六)反三角函数03

定义1.3.1已知两个函数

y=f(u),u∈D1,y∈Z1

u=φ(x),x∈D2,u∈Z2

则函数y=f[φ(x)]是由函数y=f(u)和u=φ(x)经过复合而成的复合函数.其中,通常称f(u)为外层函数,φ(x)为内层函数,u为中间变量.复合函数可以由两个函数复合而成,也可以由多个函数复合而成.

例如,函数y=ecosx是由y=f(u)=eu,u=φ(x)=cosx这两个函数复合而成的.

复合函数是一个函数,为了研究需要,今后经常要将一个给定的函数看成由若干个基本初等函数复合而成的形式,从而将它分解为若干个基本初等函数.二、复合函数和初等函数03第四节初步认识MATLAB0404

20世纪70年代,美国新墨西哥大学的CleveMoler为了减轻学生编程的负担,用FORTRAN编写了MATLAB.1984年,MathWorks公司正式将MATLAB推向市场.到20世纪90年代,MATLAB已成为国际上流行的标准计算软件.

现在MATLAB是美国MathWorks公司旗下的商业数学软件,广泛应用于数据分析、无线通信、深度学习、图像处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、机器人、控制系统等领域.

MATLAB以矩阵作为数据操作的基本单位,提供了十分丰富的数值计算函数和强大的绘图功能,而且简单易学、编程效率高.掌握MATLAB对数学学习和数学模型的建立有很大的帮助.本书主要介绍MATLAB在数学中的一些简单应用.一、MATLAB简介04

变量和关键字是MATLAB编程中最基本的两个概念,它们是构成MATLAB表达式的常见元素.MATLAB变量是在程序运行中值可以改变的量,变量由变量名来表示.

在MATLAB中有一类特殊的变量,是由系统默认给定符号来表示的.例如,pi,它代表圆周率π这个常数,即3.1415926…,这类变量类似于C语言中的符号常量,有时又称为系统预定义的变量.

二、变量、常量与函数04

MATLAB算术运算符包括:+加法;-减法;∗乘法;/和\除法;^幂运算;命令分隔符,逗号和;分号.

关系运算符是指两数值或字符操作数之间的运算符,这种运算将根据两操作数的关系产生结果true或false.MATLAB中的关系运算符有6个

关系运算符可以用来对两个数值、两个数组、两个矩阵或两个字符串等数据类型进行比较,同样也可以进行不同类型的两个数据之间的比较.比较的方式根据所比较的两个数据类型的不同而不同.关系运算符通过比较对应的元素,产生一个仅包含1和0的数值或矩阵.返回值是1表示比较结果是真,返回值是0表示比较结果是假.

逻辑运算符是联系一个或两个逻辑操作数并能产生一个逻辑结果的运算符.MATLAB支持4种逻辑运算,分别是与、或、非、异或,其中:与、或和非运算既可以使用逻辑运算符,也可以使用逻辑运算函数;异或运算只能使用逻辑运算函数三、关系运算04MATLAB可以进行代数式的运算,要先用符号对象来建立代数式.查找符号表达式中的符号变量:findsym(expr)%按字母顺序列出符号表达式expr中的所有符号变量.findsym(expr,N)%按顺序