第1章 特殊平行四边形（6类压轴题专练）

第1章特殊平行四边形（压轴题专练）题型01：存在性问题1．如图，平面直角坐标系中直线AB：y=33x+2分别与x轴，y轴交于点A和点B，过点A的直线AC与y轴交于点C(1)求直线AC的解析式；(2)若D为线段AC上一点，E为线段BC上一点，当S△ABD=13S(3)在（2）的结论下，将△CDE沿射线DB方向平移得△C'D'E'，使C'落在直线AB上，若M为直线AB2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+2的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD（点A与点C对应，点B与点D(1)求直线CD的解析式；(2)点E为线段CD上一点，过点E作EF∥y轴交直线AB于点F，作EG∥x轴交直线AB于点G，当EF+EG=AD时，求点E的坐标；(3)如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．3．如图，直角三角形ABC在平面直角坐标系中，直角边BC在y轴上，AB,BC的长分别是一元二次方程x2−14x+48=0的两个根，AB<BCA，且BC=2OB，P为AB上一点，且(1)求点A的坐标；(2)求过点P的反比例函数解析式；(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：y=−12x+b交AB于点E，与y轴交于点D(1)求点B的坐标．(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作PF//y轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作PN⊥BM，与x轴交于点N，当SΔDFP=12S四边形PFBC时，在直线CD上是否存在一点R，过点作RQ//x轴交直线PN于点Q题型02：动态问题5．如图①，的顶点P是正方形ABCD两条对角线的交点，∠QPN=α，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）

(1)如图①，当α=90°时，DE,DF,AD之间满足的数量关系是____________；(2)如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，M是AD中点，其他条件不变，当α=60°时，求证：△MPE(3)在（2）的条件下，若旋转过程中的边与线段AD延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE,DF,AD之间满足的数量关系．6．【证明推断】（1）如图1，在矩形ABCD中，AD>AB，点P是BC的中点，将△ABP沿直线AP折叠得到△AB'P，点B'落在矩形ABCD的内部，延长AB'交求证：①EB'=EC；②AP⊥EP；③若CE=ED=

【类比探究】（2）如图2，将（1）中“矩形ABCD”改为“平行四边形ABCD”，其他条件不变，（1）中的①②结论是否仍然成立？请说明理由；【拓展运用】（3）如图3，在平行四边形ABCD中，AD>AB，点P是BC的中点，将△ABP沿直线AP折叠得到△AB'P，点B'落在▱ABCD的内部，延长AB'交CD于点E，连接PE．连接BB'与AP交于点求证：四边形PMB7．如图，四边形ABCD为菱形，AB=2，∠ABC=60°，点E为边BC上动点（不含端点）点B关于直线AE的对称点为点F，点H为DF中点．（1）若∠BAE=30°，求DH的长；（2）作CG⊥AE，垂足为G，当CG=2时，求∠（3）在（2）的条件下，设射线GH交CD于M，求CM的长．8．如图．四边形ABCD、BEFG均为正方形．（1）如图1，连接AG、CE，请直接写出AG和CE的数量和位置关系（不必证明）．（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，直线AG、①AG和CE是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：②连结MB，求证：MB平分∠AME（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与题型03：情景探究题9．综合与实践数学活动：数学活动课上，老师提出如下数学问题：已知四边形ABCD与四边形BEDG都为正方形，P为DF的中点，连接AP，EP，如图1，当点E在AB上时，求证：AP=PE．(1)独立思考：请你证明老师提出的问题；(2)合作交流：解决完上述问题后，“翱翔”小组的同学受此启发，把正方形BEFG绕点B顺时针旋转，当点F落在对角线BD上时（如图2），他们认为老师提出的结论仍然成立．请你予以证明；(3)问题解决：解决完上述问题后，“善思”小组提出如下问题，把正方形BEFG绕点B顺时针旋转（如图3），当点D，E，F在同一条直线上时，DE与BC交于点H．若AD=5，BG=1，请直接写出的值．10．已知四边形ABCD和AFGH都为正方形，连接BD，BH，FH，点N，M，K分别是BD，BH，FH的中点．(1)观察思考如图①，点F，分别在AB，AD上，线段MN和MK的数量关系和位置关系为______；(2)探究证明如图②，将正方形AFGH绕点A旋转，在旋转的过程中MN和MK的上述关系是否发生变化？请结合图②说明理由；(3)综合实践如图③，连接DF，取DF的中点，连接NR，KR.①判断四边形MNRK的形状，并说明理由；②若AD=6，AH=2，在旋转的过程中，四边形MNRK的周长的最大值为______.题型04：最值问题11．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=42，点D为直线AC上一点，连接BD

(1)如图1，当点D在线段AC上时，过点C作交BD的延长线于点E，连接AE，过点A作交于点F，当CE=2时，求EF的长；(2)如图2，延长BD至点G，使AG=AC，作∠BAG的平分线交BD于点H，交GC的延长线于点K．求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，取BC的中点M，连接KM、GM，当点D在直线AC上运动时，直接写出的最大值．12．已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转，∠EDF=90°，DE=DF，连接AE，CF．

(1)如图1，求证：△ADE(2)直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN正方形；②如图3，连接BG，若AB=5，，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．13．在边长为2的正方形ABCD中，点E,F分别在BC,AB上，AF=CE，连接DE，过点F作FG⊥DE，垂足为G．

(1)如图1，延长GF，交DA的延长线于，请完成画图并证明：AH=CD；(2)如图2，点E,F分别在CB,AB的延长线上，连接AG．求AG的长；(3)如图3，连接，则的最小值为________（直接写出结果）．题型05：解答证明题14．在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，对角线BD平分∠ABC

(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；(2)如图2，点E在AB上，点在射线DE上，连接CH，BH，∠HCB的角平分线交BH于点M，若CM⊥BH，求证：∠DHC=∠(3)如图3，在（2）的条件下，若∠BHD=∠BAD=120°，连接AH，BM=3，AH=6，求线段DH15．如图1，F为正方形ABCD内一点，点E在边AD上（不与端点A，D重合），垂直平分交于点O，连接CF．过点D作DG∥CF交射线于点G．

(1)求∠AFC(2)求证：AF=2(3)如图2，连接OD，若OD⊥DG，求16．如图1，正方形ABCD的边长为6cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动（不到点A）．设点E，F

(1)在点E，F移动过程中，连接CE，CF，EF，则△CEF的形状是(2)如图2，连接EF，设EF交BD移动M，当t=2时，求AM的长；(3)如图3，点G，分别在边AB，CD上，且GH=35cm，连接EF，当EF与GH的夹角为45°，求t17．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点P,Q分别是边AB,AD上的两动点（点P,Q不与点A,B,D重合），以AP,AQ为邻边作矩形APEQ,PE交BD于M点，QE交BD于N点．设AP=x,AQ=y，已知xy=32．

(1)证明：BM(2)连接AM,AN．①如图1，当时，求∠MAN的大小；②如图2，当x≠y时，①中的结论是否成立？并说明理由．题型06：相似三角形在特殊平行四边形中的应用18．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，点F在边AB上，连接DE、EF、DF，DEDE平分∠FDC，过点E作EM⊥DF于(1)求证：DE⊥(2)若G是DF的中点，连接EG、CG，CG交DE于点H．①求证：DE②若CD=6，DF=8，求GH的长．19．综合与实践问题情境在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形ABCD和正方形AEFG中，点G，A，B在一条直线上，连接DG，（如图1）．

操作发现（1）图1中线段DG和的数量关系是______，位置关系是______．（2）在图1的基础上，将正方形AEFG绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．类比探究（3）如图3，若将图2中的正方形ABCD和正方形AEFG中都变为矩形，且AD=2AB，AG=2AE，请仅就图3的情况探究拓展探索（4）在（3）的条件下，若AD=6，AE=2，矩形AEFG在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出的值．20．如图1，矩形ABCD的两条对角线交于点O，点P是BC边上一个动点，连接AP，作DE⊥AP，BF⊥AP，垂足分别是E，F，连接OE，OF．(1)求证：OE=OF；(2)如图2，延长OF交BP于点G，若∠BFG=∠BAP，猜想OG与AD有怎样的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，已知AB=8，AD=10，求EF的值．21．（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB>DE），连接CE,AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系，位置关系；（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转，连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG,CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD=2DG=6，AB=2DE=8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转，直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．22．【问题情境】数学活动课上，老师出示了有关正方形的一个问题：已知正方形ABCD的边长为6，E为对角线AC上一动点（不与点A、C重合），连接，过E作EG⊥BE交CD于点G，探索线段、EG有何数量关系？

（1）数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：如图1，过点E分别作BC、CD的垂线EN、EM，证明△BEN≌△GEM，发现和EG的数量关系是_________．【问题探究】该小组小丽同学受此问题启发，对上面的问题进行了探究，并提出了如下问题：（2）如图2，过点G作GF⊥AC交AC于点F，EF的长度是否发生变化？若不变，请求出这个不变的值；若变化，请说明理由；【深度探究】如图3，连接BG交AC于点H．（3）图中△BEG的面积S（4）若CG=2，则EH的长是_________．

第1章特殊平行四边形（压轴题专练）题型01：存在性问题1．如图，平面直角坐标系中直线AB：y=33x+2分别与x轴，y轴交于点A和点B，过点A的直线AC与y轴交于点C(1)求直线AC的解析式；(2)若D为线段AC上一点，E为线段BC上一点，当S△ABD=13S(3)在（2）的结论下，将△CDE沿射线DB方向平移得△C'D'E'，使C'落在直线AB上，若M为直线AB【答案】(1)y=(2)23，(3)23−3，4−3，23【分析】（1）根据直线AB的解析式可以求得点A、B的坐标，再结合点C的坐标，用待定系数法可以求出直线AC的解析式；（2）根据S△ABD=13S△AOC可以求出△ABD的面积，设点P是y轴上一点，且满足S△ABP=S△ABD=23，过点P作直线AB的平行线，与直线（3）先根据题意，找到点C'、D【解析】（1）解：在y=33x+2中，令x=0∴B令y=0，得x=−23∴A∵OC=6∴C设直线AC的解析式为，将A−23，0，−23k+b=0b=6∴直线AC的解析式为y=3（2）解：由A−23，0∴S∴S设点P是y轴上一点，且满足S△∴S∴BP=2，∴P过点P作直线AB的平行线，与直线AC的交点就是点D，记直线PD的解析式为，将代入可得b1=4，∴直线PD的解析式为y=3联立y=3x+6y=则D−3，3，显然点D如图，作点A关于x轴的对称点G，则G23，0，作直线，则直线的解析式为：y=−过点D作DF⊥CG于点F，交y轴于点E，点E即为所求，易得直线DF的解析式为：y=33x+4（3）Ⅰ.如图，当C'①C'D'=C'根据题意可得，∠BAO=30°，∠CAO=60°，则∠CAB=30°则AC=43易得∠ACC'=90°由C'M'在Rt△AM1T中，M∴OT=AT−AO=2∴M同理可得，M2②C根据题意可得，D'3，1∴MⅡ.如图，当C'根据题意可得，D'3，1又M3可得M3综上，当以点M，C'，D'，N为顶点的四边形为菱形时，M的坐标分别为：23【点睛】本题属于一次函数综合题，考查平移变换，菱形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决直线的交点问题．2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+2的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD（点A与点C对应，点B与点D(1)求直线CD的解析式；(2)点E为线段CD上一点，过点E作EF∥y轴交直线AB于点F，作EG∥x轴交直线AB于点G，当EF+EG=AD时，求点E的坐标；(3)如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．【答案】(1)y=−(2)E(3)点N的坐标为N1,12或【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出OA和OB的长度，再根据旋转的性质，得出点C和点D的坐标，最后用待定系数法即可求出直线CD的解析式；（2）设Ea,−12a+1，则可将点F和点G的坐标表示出来，进而得出EF,EG的表达式，最后根据（3）根据题意进行分类讨论：①OM为矩形的边时；②OM为矩形的对角线时．【解析】（1）解：把x=0代入y=2x+2得：y=2，把y=0代入y=2x+2得：，解得：x=−1，∴A−1,0∴OA=1,OB=2，∵△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD∴OA=OC=1,OB=OD=2，∴C0,1设直线CD的函数解析式为y=kx+bk≠0把C0,10=2k+b1=b，解得：k=−∴直线CD的函数解析式为y=−1（2）∵A−1,0∴AD=3，∵点E在线段CD上，∴设0≤a≤2，∵EF∥y轴，EG∥∴点F的横坐标为a，点G的纵坐标为−1把x=a代入y=2x+2得：；把y=−12a+1代入y=2x+2得：−∴Fa,2a+2，G∴EF=2a+2−−12∵EF+EG=AD，∴52解得：a=2∴E2（3）①当OM为矩形的边时，过点M作MP⊥OM，交直线CD于点N'，过点O作ON⊥OM，交直线CD于点N，过点N作NP⊥ON交MP于点P，过点N'作N'P'根据作图可得：四边形OMPN和四边形OMN∵ON⊥∴∠MOB+∵∠MOB+∴∠NOC=∵△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD∴OA=OC,∠在△OCN和△OAM∠OCN=∴△OCN∴OM=ON，∵点M为线段AB的中点，AB=CD，∴M−12,1，OM=ON=1∵C0,1∴N1,设直线ON的解析式为y=kx，把点N1,12∴直线ON的解析式为y=1∵ON∥∴设直线MP的解析式为y=1把M−12,1代入得：∴直线MP的解析式为y=1联立直线MP和直线CD的解析式为：y=12x+∴N'②当OM为矩形的对角线时，过点M作MP⊥x轴于点P，过点M作MN⊥y轴于点∵M−12∴MC⊥过一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴点C和点N重合，∴N0,1综上：点N的坐标为N1,12或N【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质．3．如图，直角三角形ABC在平面直角坐标系中，直角边BC在y轴上，AB,BC的长分别是一元二次方程x2−14x+48=0的两个根，AB<BCA，且BC=2OB，P为AB上一点，且(1)求点A的坐标；(2)求过点P的反比例函数解析式；(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)y=(3)存在．N17,−3，N【分析】（1）用因式分解法求出方程的两个根即可求解；（2）根据S△BCP=（3）分3种情况，画出图形，结合图形特点求解即可．【解析】（1）x2x−6x−8x1=6，∵，∴．∴．（2）∵S△∴BP=1∴点P的坐标为2,4．设过点P的反比例函数解析式为y=kx．将点P2,4∴过点P的反比例函数解析式为y=8（3）存在．如图1，当AC为正方形AMCN的对角线时，过点M作ME⊥AB交AB的延长线于点E，过点C作CF⊥ME交直线EM于点F．∵四边形AMCN是正方形，∴∠AMC=90°,AM=CM∵∠CMF+∴∠EAM=∵∠AEM=∴△AEM∴EM=CF．AC=A∴AM=NC=2设Mx,y，则EM=4−y=CF=−x∴x=y−4．∵x−62∴y−4−62∴y2∴y1=3，∴x=3−4=−1，∴M−1,3∵把M−1,3先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得，∴把C0,−4先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得；如图2，当AC为正方形AMNC的边时，过点N作NH⊥BC于点∵四边形AMNC是正方形，∴∠ACM=90°,AC=CN∵∠HNC+∴∠HNC=∵∠CHN=∴△CHN∴HN=BC=8,CH=AB=6，∴OH=CH−CO=2，∴N−8,2如图3，当AC为正方形ANMC的边时，由图2可知，M−8,2∵把C0,−4先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得，∴把M−8,2先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得N综上可知，点N的坐标为：N17,−3，N2【点睛】本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，作出辅助线构造全等三角形是解（3）的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：y=−12x+b交AB于点E，与y轴交于点D(1)求点B的坐标．(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作PF//y轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作PN⊥BM，与x轴交于点N，当SΔDFP=12S四边形PFBC时，在直线CD上是否存在一点R，过点作RQ//x轴交直线PN于点Q【答案】(1)B（10，4）(2)S=(3)存在；R4，3或【分析】（1）先求出直线CD的解析式即可解决问题；（2）用M表示PF的长，利用三角形的面积公式计算即可；（3）由题意可知：14m2−12m=12⋅124+4−−12m+5⋅10−m，整理得：3m2−8m−60=0，解得m=6或−103（舍去），则P6,2，根据PF=PG=2，∠FPB=∠MPG，∠PFB=∠PGM=90°，可证△FPB≌△GPM（AAS），则FB=GM，PM=PB，则M（2，0），根据直线BM解析式为：y=12【解析】（1）解：由题意知C（2b，0），D（0，b），∴OC=2b，OD=b，∵AE∥∴DADO∴DAb∴DA=1，∵OA=4，∴OD=5，∴b=5，∴直线y=−1当y=0时，x=10，∴C（10，0），∴B（10，4）．（2）解：如图所示，∵Pm,−∴PF=4−−∴S=1（3）解：如图2所示：由题意可知：14整理得：3m解得m=6或−10∴P6,2∵PF=PG=2，∠FPB=∠MPG，∠PFB=∴△FPB∴FB=GM，PM=PB，∴M（2，0），∵直线BM解析式为：y=1∵PN⊥∴直线PN的解析式为：y=2x+14，∴N（7，0），MN=5，当点再点P上方时，设R（a，−12则Q（a∵2RQ=MN−OM，∴2a∴a=4，∴R4，3根据对称性可知，R'∴R4，3或R【点睛】本题考查一次函数综合题，矩形的性质，平行线分段成比例定理，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决本题的关键．题型02：动态问题5．如图①，的顶点P是正方形ABCD两条对角线的交点，∠QPN=α，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）

(1)如图①，当α=90°时，DE,DF,AD之间满足的数量关系是____________；(2)如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，M是AD中点，其他条件不变，当α=60°时，求证：△MPE(3)在（2）的条件下，若旋转过程中的边与线段AD延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE,DF,AD之间满足的数量关系．【答案】(1)DE+DF=AD(2)见解析(3)DF−DE=【分析】（1）根据题意证明△PAE（2）根据菱形的性质和直角三角形的性质用“ASA”即可证明；（3）根据菱形的性质和直角三角形的性质证明△MPE≌△DPFASA，可得ME=DF【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠APD=90°，∠PAD=∠PDF=45°，PA=PD，∵∠QPN=α=90°∴∠APE=∴△PAE∴DF=AE，∴DE+DF=AD（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°∴AD=CD，，AC⊥BD∴∠ADP=∵AM=MD，∴PM=MD，∴△MDP∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，∵∠QPN=60°∴∠MPE=∴△MPE（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°∴AD=CD，，AC⊥BD∴∠ADP=∵AM=MD，∴PM=MD，∴△MDP∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，∵∠QPN=60°∴∠MPE=∴△MPE∴ME=DF，∴DF−DE=ME−DE=DM=1【点睛】本题主要考查了四边形的综合题,涉及全等三角形,正方形及菱形的性质,解答本题的关键是设计三角形全等,巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系．6．【证明推断】（1）如图1，在矩形ABCD中，AD>AB，点P是BC的中点，将△ABP沿直线AP折叠得到△AB'P，点B'落在矩形ABCD的内部，延长AB'交求证：①EB'=EC；②AP⊥EP；③若CE=ED=

【类比探究】（2）如图2，将（1）中“矩形ABCD”改为“平行四边形ABCD”，其他条件不变，（1）中的①②结论是否仍然成立？请说明理由；【拓展运用】（3）如图3，在平行四边形ABCD中，AD>AB，点P是BC的中点，将△ABP沿直线AP折叠得到△AB'P，点B'落在▱ABCD的内部，延长AB'交CD于点E，连接PE．连接BB'与AP交于点求证：四边形PMB【答案】（1）①见解析；②见解析；③102【分析】（1）①②根据矩形性质和折叠性质以及全等三角形的判定证明Rt△B'PE≌Rt△CPEHL，根据全等三角形的性质结合平角定义可证明结论正确；（2）根据平行四边形的性质和折叠性质得到∠PB'E=∠PCE，在图2中，连接B'C，根据等腰三角形的性质和判定可证明EB'=EC；再证明（3）根据垂直平分线的判定与性质证明AP垂直平分BB'，PE垂直平分B'【解析】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=CD，∵点P是BC的中点，∴，∵△ABP沿直线AP折叠得到△A∴AB=AB'，BP=B'P则B'P=CP,在Rt△B'B'∴Rt△∴∠B'PE=∠CPE，E∴∠APE=∴AP⊥EP；故③∵CE=ED=1∴EB'=12，在Rt△ADE中，∴AD=A（2）结论仍然成立．理由为：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B+∵点P是BC的中点，∴，∵△ABP沿直线AP折叠得到△A∴AB=AB'，BP=B'P则B'∵∠A∴∠P在图2中，连接B'

∵B'∴∠P∴∠PB'E−∠P∴EB'=EC在△B'PEB'∴△B∴∠B∴∠APE=∴AP⊥EP，故（3）由（2）证明过程知：AB=AB'，BP=B'P∴AP垂直平分BB'，PE垂直平分∴∠PMB'=∠∴四边形PMB【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、折叠性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，知识点较多，综合性强，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想寻找知识点之间的联系，进而推理论证．7．如图，四边形ABCD为菱形，AB=2，∠ABC=60°，点E为边BC上动点（不含端点）点B关于直线AE的对称点为点F，点H为DF中点．（1）若∠BAE=30°，求DH的长；（2）作CG⊥AE，垂足为G，当CG=2时，求∠（3）在（2）的条件下，设射线GH交CD于M，求CM的长．【答案】（1）1；（2）；（3）1【分析】（1）如图1中，证明点F与C重合，可得结论．（2）如图2中，连接AC．证明ΔACG是等腰直角三角形，可得结论．（3）如图3中，证明∠DHM=30°，过点作交DM的延长线于Q，在DM上取一点T，使得，连接（见左边图），求出DM，可得结论．【解析】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，，∵∠ABC=60°∴Δ，∵∠BAE=30°，∴AE⊥BC，此时点F．（2）如图2中，连接AC．∵Δ∴AC=AB=2，，，CG=2，，，，∴∠BAE=（3）如图3中，由翻折可知，，∴∠BAF=30°∵∠∴∠，∴DF=2，，，AH⊥DF，，，，∴∠GAH=60°，，，，∠ADH=45°，过点作交DM的延长线于Q，在DM上取一点T，使得HT=DH，连接，，，设，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30°角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．8．如图．四边形ABCD、BEFG均为正方形．（1）如图1，连接AG、CE，请直接写出AG和CE的数量和位置关系（不必证明）．（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，直线AG、①AG和CE是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：②连结MB，求证：MB平分∠AME（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与【答案】（1）AG=EC，AG⊥EC；（2）①满足，理由见解析；②见解析；（3）CM=2BN．【分析】（1）由正方形BEFG与正方形ABCD，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS得出三角形ABG与三角形CBE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得证；（2）①利用SAS得出△ABG≌△CEB即可解决问题；②过B作BP⊥EC，BH⊥AM，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM为角平分线；（3）在AN上截取NQ=NB，可得出三角形BNQ为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到BQ=2BN，接下来证明BQ=CM，即要证明三角形ABQ与三角形BCM全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM为等腰直角三角形得到NA=NM，利用等式的性质得到AQ=BM，利用SAS可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．【解析】解：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：∵正方形BEFG，正方形ABCD，∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABG和△BEC中，BG=BE∠∴△ABG≌△BEC（SAS），∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，延长CE交AG于点M，∴∠BEC=∠AEM，∴∠ABC=∠AME=90°，∴AG=EC，AG⊥EC；（2）①满足，理由是：如图2中，设AM交BC于O．∵∠EBG=∠ABC=90°，∴∠ABG=∠EBC，在△ABG和△CEB中，AB=BC∠∴△ABG≌△CEB（SAS），∴AG=EC，∠BAG=∠BCE，∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM，∴∠BCE+∠COM=90°，∴∠OMC=90°，∴AG⊥EC．②过B作BP⊥EC，BH⊥AM，∵△ABG≌△CEB，∴S△ABG=S△EBC，AG=EC，∴12EC•BP=1∴BP=BH，∴MB平分∠AME；（3）CM=2BN，理由为：在NA上截取NQ=NB，连接BQ，∴△BNQ为等腰直角三角形，即BQ=2BN，∵∠AMN=45°，∠N=90°，∴△AMN为等腰直角三角形，即AN=MN，∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM，∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，∴∠MBC=∠BAN，在△ABQ和△BCM中，AQ=BM∠∴△ABQ≌△BCM（SAS），∴CM=BQ，则CM=2BN．【点睛】此题考查了正方形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．题型03：情景探究题9．综合与实践数学活动：数学活动课上，老师提出如下数学问题：已知四边形ABCD与四边形BEDG都为正方形，P为DF的中点，连接AP，EP，如图1，当点E在AB上时，求证：AP=PE．(1)独立思考：请你证明老师提出的问题；(2)合作交流：解决完上述问题后，“翱翔”小组的同学受此启发，把正方形BEFG绕点B顺时针旋转，当点F落在对角线BD上时（如图2），他们认为老师提出的结论仍然成立．请你予以证明；(3)问题解决：解决完上述问题后，“善思”小组提出如下问题，把正方形BEFG绕点B顺时针旋转（如图3），当点D，E，F在同一条直线上时，DE与BC交于点H．若AD=5，BG=1，请直接写出的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)HC=【分析】（1）延长EP交AD于M，可证△DPM≌△FPE（ASA），于是EP=MP=（2）连接PC，过点P作PN⊥BC于N，可证PA=PC，进一步求证PN∥CD∥EF，由平行线分线段成比例定理，得FPPD=ENNC，从而得（3）延长AP至M，使AP=PM，连接FM，EM，AE，证得△APD≌△MPF（SAS），进一步求证∠EFM=∠ABE，结合正方形性质得AB=FM，求证△ABE≌△MFE（SAS），可得△AEM为等腰直角三角形，于是AP=PE，AP⊥PE，运用勾股定理求得【解析】（1）证明：延长EP交AD于M，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴EF∥CB，∴AD∥∴∠PDM=∠EFP，∵点P是线段DF的中点，∴FP=DP，又∵∠DPM=∠FPE，∴△DPM≌∴EP=MP=1又∵∠EAM=90°，PE=PM，∴AP=1∴AP=PE；（2）证明：连接PC，过点P作PN⊥BC于N，∵四边形ABCD是正方形，∴点A，C关于BD对称，∴PA=PC，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴∠BCD=∠BEF=90°，∴CD∥∵PN⊥BC，∴∠PNE=90°，∴∠PNE=∠BCD，∴PN∥∴PN∥∴FPPD∵P是DF的中点，∴PF=PD，∴EN=NC，∴PN垂直平分EC，∴PE=PC，∴AP=PE；（3）解：延长AP至M，使AP=PM，连接FM，EM，AE，∵PD=PF，∠APD=∠FPM，AP=PM，∴△APD≌∴AD=FM，∠DAP=∠PMF，∴AD∥∵AD∥∴FM∥∴∠EFM=∠BHF，∵∠BHF=∠HBE+∠BEH=∠HBE+90°，∠ABE=∠ABC+∠HBE=90°+∠HBE，∴∠BHF=∠ABE，∴∠EFM=∠ABE，∵四边形BEFG是正方形，∴BG=EF，∵AB=AD，AD=FM，∴AB=FM，∴△ABE≌∴AE=EM，∠AEB=∠FEM，∴∠AEM=∠AED+∠FEM=∠AED+∠AEB=90°，∴△AEM为等腰直角三角形，又∵AP=PM，∴AP=PE，AP⊥PE，设DP=PF=x，则AP=x+1，∵AP∴（x+1∴x=1（∴DP=PF=1，∴PE=PF+EF=1+1=2，∴AP=2，∵∠ADP+∠HDC=90°，∠HDC+∠DHC=90°，∴∠ADP=∠DHC，∵∠APD=∠C=90°，∴△APD∽∴APCD∴25∴HC=5【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形判定和性质，直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，结合中点条件添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．已知四边形ABCD和AFGH都为正方形，连接BD，BH，FH，点N，M，K分别是BD，BH，FH的中点．

(1)观察思考如图①，点F，分别在AB，AD上，线段MN和MK的数量关系和位置关系为______；(2)探究证明如图②，将正方形AFGH绕点A旋转，在旋转的过程中MN和MK的上述关系是否发生变化？请结合图②说明理由；(3)综合实践如图③，连接DF，取DF的中点，连接NR，KR.①判断四边形MNRK的形状，并说明理由；②若AD=6，AH=2，在旋转的过程中，四边形MNRK的周长的最大值为______.【答案】(1)MN=MK且MN(2)不变，理由见解析(3)①四边形MNRK是正方形，理由见解析；②16【分析】（1）根据正方形的性质得到BF=DH，BF⊥DH，根据三角形中位线性质得到MN∥DH且MN=12DH，MK∥BF（2）根据三角形中位线性质得到MN∥DH且MN=12DH，MK∥BF且MK=12BF，根据旋转性质和正方形边的性质得到∠BAF=∠DAH，BA=DA，FA=HA，推出△BAF≌△DAH（3）根据三角形中位线性质得到NR∥BF，NR=12BF，MK∥BF，MK=12BF，推出NR∥MK，NR=MK，得到四边形MNRK是平行四边形，根据NM=MK，且NM⊥MK，推出▱MNRK是正方形；【解析】（1）解：∵四边形ABCD和AFGH都为正方形，∴AB⊥AD，AB=AD，∴BF=DH，BF⊥∵M，N，K分别为BH，BD，FH的中点，∴MN∥DH且MN=12DH∴MN=MK且MN⊥故答案为：MN=MK且MN⊥（2）MN=MK且MN⊥∵M，N，K分别为BH，BD，FH的中点，∴MN∥DH且MN=12DH由旋转知，∠BAF=∵BA=DA，FA=HA∴△BAF∴BF=DH，∠FBA=∴∠=90°，∴与DH的夹角为90°，∴BF∴MN=MK且MN⊥（3）①四边形MNRK是正方形，理由如下：∵N，分别为BD，DF的中点∴NR∥BF，由（2）知，MK∥BF，∴NR∥MK，∴四边形MNRK是平行四边形∵NM=MK，且NM⊥∴▱MNRK②当点A在线段DH上时，DH长最大，此时，DH=AD+AH=6+2=8,∴MN=4，∴四边形MNRK的周长的最大值为，CMNRK故答案为：16．【点睛】本题主要考查了正方形，旋转，三角形的中位线，全等三角形，解决问题的关键是熟练掌握正方形的判定和边角性质，旋转的性质，三角形的中位线的性质，全等三角形的判定和性质．题型04：最值问题11．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=42，点D为直线AC上一点，连接

(1)如图1，当点D在线段AC上时，过点C作交BD的延长线于点E，连接AE，过点A作交于点F，当CE=2时，求EF的长；(2)如图2，延长BD至点G，使AG=AC，作∠BAG的平分线交BD于点H，交GC的延长线于点K．求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，取BC的中点M，连接KM、GM，当点D在直线AC上运动时，直接写出的最大值．【答案】(1)2(2)见解析(3)2【分析】（1）令∠BAF=∠1，，，，，，，证明△ABF≌△ACEASA，即可得，问题随之得解；（2）过点A作交的延长线于点Q，令，，，，，先证明在等腰△AGB中，AK垂直平分BG，即有GK=BK，△ABK≌△AGK，再证明△ABQ≌△ACKASA，即有，，进一步有△AQK是等腰直角三角形，问题随之得解；（3）根据（2）可得：△AQK是等腰直角三角形，△ABQ≌△ACKASA，AK垂直平分BG，先证明∠BKC=∠CKA+∠BKA=90°，即可得KM=12BC=4，AM=12BC=4，即GMKM=GM4，即当GM最大时，有最大值；易知点G在以A点为圆心，AG为半径的圆上，即当点【解析】（1）如图1，

令∠BAF=∠1，，，，，，，由题意∠5+∠7=90°，∠4+∠6=90°，而∠6=∴∠4=又∵∠1+∴∠1=∠3，AB=AC，∴△ABF∴，在Rt△ABC中，∴BC=8，在Rt△BCE中，利用勾股定理同理可得∴；（2）如图2，过点A作交的延长线于点Q，

令，，，，，∵AG=AC，AB=AC，∠BAG的平分线交BD于点H，∴AG=AB，，∴在等腰△AGB中，AK垂直平分BG∴GK=BK，△ABK∴，∴，∵∠1+∴∠1=∠KAC，又AB=AC，∴△ABQ∴，，∴△AQK∴．∵，∴；（3）如图，

根据（2）可得：△AQK是等腰直角三角形，△ABQ≌△ACKASA，∴∠CKA=∠AQB=45°，∠CKA=∴∠BKC=∵BC的中点为点M，∴KM=12BC=4即GMKM∴当GM最大时，有最大值，∵AG=AC=42∴点G在以A点为圆心，AG为半径的圆上，∴当点G在点G1，且G1M⊥BC∴G1∴GM最大为42∴GMKM即最大值为2+1．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作出科学的辅助线，掌握全等三角形的判定与性质，是解答本题的关键．12．已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转，∠EDF=90°，DE=DF，连接AE，CF．

(1)如图1，求证：△ADE(2)直线AE与CF相交于点G．①如图2，，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN正方形；②如图3，连接BG，若AB=5，，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可；（2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；②作DH⊥AG交AG于点，作BM⊥AG于点M，证明△BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得结论．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∠EDF=90°，∴∠∴∠∴△（2）①证明：如图，设AG与CD相交于点P．

∠ADP=90°∠DAP+∵△∴∠∵∠∴∠∠PGN=90°∵BM⊥AG，BN⊥∴四边形BMGN是矩形，∴∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∴∠又∵∠∴△∴MB=NB∴矩形BMGN是正方形；②解：作DH⊥AG交AG于点，作BM⊥AG于点M，

此时△AMB∴BM=AHAH2=A∴DH最大时，AH最小，DH=DE=2，，由（2）①可知，△BGM∴B【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．13．在边长为2的正方形ABCD中，点E,F分别在BC,AB上，AF=CE，连接DE，过点F作FG⊥DE，垂足为G．

(1)如图1，延长GF，交DA的延长线于，请完成画图并证明：AH=CD；(2)如图2，点E,F分别在CB,AB的延长线上，连接AG．求AG的长；(3)如图3，连接，则的最小值为________（直接写出结果）．【答案】(1)见解析(2)2(3)2【分析】（1）由正方形ABCD、FG⊥DE，可得出∠FGE=∠DGH=90°，结合在四边形BFGE中：∠FGE+∠B+∠2+∠3=360°，∠4+∠3=180°，可得出∠2=∠4，即可得出∠1=∠4，由ASA即可的而出△HAF≅△DCE，即可证得AH=CD．（2）延长FG，交DA的延长线于，由ASA即可的而出△HAF≅△DCE，故是DH的中点，根据直角三角形的性质可得出AG的长为2．（3）连接AG、AC，由（1）可知：AH=CD，∠DGH=90°，根据直角三角形的性质可得出AG的长为2，根据勾股定理可得AC=22，根据CG≥AC−AG【解析】（1）证明：如图：

在正方形ABCD中：∠C=∴∠BAH=90°∵FG⊥∴∠FGE=在四边形BFGE中：∠FGE+∴∠2+∵∠4+∴∠2=∵∠1=∴∠1=又∵AF=CE，∠FAH=∴△HAF∴AH=CD．（2）解：延长FG，交DA的延长线于，

在正方形ABCD中：∠C=∠BAD=∠ABC=90°，AD=2，∴∠BAH=90°，∠EBF=90°∴∠2+∵FG⊥∴∠DGH=∴∠1+∵∠1=∴∠F=又∵AF=CE，∠FAH=∴△HAF∴AH=CD．∴是DH的中点，∴AH=4，在Rt△HDG中，∴AG的长为2．（3）解：连接AG、AC，由（1）可知：AH=CD，∠DGH=90°∴是DH的中点，在Rt△HDG中，

在正方形ABCD中：∠ADC=90°，AD=CD=2，∴AC=A∴CG≥AC−AG，当A、G、C三点共线时，取得最小值，最小值为：22−2故答案为：22【点睛】此题考查了正方形的性质和勾股定理，直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，线段最小的求法，其中直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，线段最小的求法是解题的关键．题型05：解答证明题14．在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，对角线BD平分∠ABC

(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；(2)如图2，点E在AB上，点在射线DE上，连接CH，BH，∠HCB的角平分线交BH于点M，若CM⊥BH，求证：∠DHC=∠(3)如图3，在（2）的条件下，若∠BHD=∠BAD=120°，连接AH，BM=3，AH=6，求线段DH【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)83【分析】（1）利用由一组邻边相等的平行四边形是菱形判定即可；（2）利用全等三角形的判定与性质，菱形的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可；（3）过点A作于点F，过点A作AG⊥BH，交BH的延长线于点G，利用全等三角形的判定与性质得到AG=AF，BG=DF，HG=HF，∠AHG=∠AHF，再利用含30°角的直角三角形的性质，边角关系定理求得线段HG，BG的长度，则DH=DF+FH，结论可得．【解析】（1）证明：，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD∴∠∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∴AB=AD∴平行四边形ABCD是菱形；（2）证明：∵CM∴∠∵CM是∠HCB∴∠在ΔHMC和ΔBMC中，∠HMC=∴ΔHMC∴CH=CB由（1）知：四边形ABCD是菱形，∴CB=CD，∴∠DHC=（3）解：过点A作于点F，过点A作AG⊥BH，交BH的延长线于点G，如图，

∵∠BHD=∠BAD=120°∴∠在ΔGBA和ΔFDA中，∠AGB=∴ΔGBA∴AG=AF，BG=DF．在RtΔGHA和RtΔAH=AHAG=AF∴RtΔ∴HG=HF，∠AHG=∵∠∴∠∴∠∵AH=6∴AG=∴HG=HF=由（2）知：ΔHMC≅∴BM=HM=，∴BG=BH+HG=5∴DF=BG=5∴DH=DF+FH=5【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用已知条件添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．如图1，F为正方形ABCD内一点，点E在边AD上（不与端点A，D重合），垂直平分交于点O，连接CF．过点D作DG∥CF交射线于点G．

(1)求∠AFC(2)求证：AF=2(3)如图2，连接OD，若OD⊥DG，求【答案】(1)∠(2)见解析(3)10【分析】（1）连接，根据垂直平分线性质得到AB=BF，根据正方形的性质，得到AB=BC，∠ABC=90°，推出BC=BF=AB，根据∠BCF+∠BFC+∠AFB+∠BAF+∠ABC=360°得到∠CFB+∠AFB=135°从而求出∠AFC的大小；（2）过点D作DH⊥AG于点，由（1）可得∠GFC=45°，根据平行线性质得到∠DGF=∠CFG=45°，得到DH=HG，根据勾股定理求出DH=22DG，可证△ABO≌△DAHAAS，得到AO=DH（3）连接，DF，设AG与CD交于点M，根据正方形性质和直角三角形得到∠ADO=∠CDG，推出△ODG为等腰直角三角形，可证△DAO≌△DCGSAS，推出△CGF为等腰直角三角形，推出∠AFD=90°，AF=2DF，利用勾股定理表示出AD=5DF，【解析】（1）证明：连接．

垂直平分，∴AB=BF∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°∴BC=BF=AB∴∠BCF=∠BFC，∠BAF=∵∠∴2∴∠∴∠（2）过点D作DH⊥AG于点

，由（1）可得∠GFC=45°∵DG∴∠∴DH=HG在Rt△DHG中，∴DH=∵∠由∠DAH+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，得∠ABO=又，∴△ABO，又，∴AF=2AO=2DH=2×（3）如图，连接，DF，设AG与CD交于点M，

∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠ADC=90°∵OD∴∠∴∠由（2）知：∠AGD=45°∵OD∴△，∴△DAO∴AO=CG，∠DAO=∵∠∴∠∴△∴CG=FG∴OF=AO=CG∴OF=FG∴DF⊥OG，DF=OF=OA，∴∠AFD=90°，AF=2DF，在Rt△ADF中，由勾股定理得在中，由勾股定理得DG=DF∴DG【点睛】本题是四边形的综合题型，考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线性质，三角形内角和定理，平行线性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．16．如图1，正方形ABCD的边长为6cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动（不到点A）．设点E，F

(1)在点E，F移动过程中，连接CE，CF，EF，则△CEF的形状是(2)如图2，连接EF，设EF交BD移动M，当t=2时，求AM的长；(3)如图3，点G，分别在边AB，CD上，且GH=35cm，连接EF，当EF与GH的夹角为45°，求t【答案】(1)等腰直角三角形(2)2(3)3【分析】（1）通过证明得到CF=CE，∠DCE=∠BCF，则易推知△CEF是等腰直角三角形；（2）过点E作EN∥AB，交BD于点N，∠END=∠ABD=∠EDN=45°，EN=ED=BF，可证△EMN≌△FMB，得到EM=FM，由勾股定理求得EF的长度，即可得到答案；（3）连接CE，CF，设EF与GH交于P，通过证明四边形GFCH是平行四边形得到CF=GH=35，由勾股定理计算得到BF=3【解析】（1）解：等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=BC，根据题意可得：，在△CDE和△CBFDC=BC∠∴△∴CF=CE，∴∠∴△故答案为：等腰直角三角形；（2）解：如图2，过点E作EN∥AB，交BD于点N，

，则∠NEM=∴∠∴EN=ED=BF在△EMN与△FMB∠NME=∴△∴EM=FM∵Rt△AEF中，AE=4∴EF=∴AM=（3）解：如图3，连接CE，CF，设EF与GH交于P，

，由（1）得∠CFE=45°又∵∠EPQ=45°∴GH∵AF∴四边形GFCH是平行四边形，∴CF=GH=3在Rt△CBF中，得∴t=3【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．17．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点P,Q分别是边AB,AD上的两动点（点P,Q不与点A,B,D重合），以AP,AQ为邻边作矩形APEQ,PE交BD于M点，QE交BD于N点．设AP=x,AQ=y，已知xy=32．

(1)证明：BM(2)连接AM,AN．①如图1，当时，求∠MAN的大小；②如图2，当x≠y时，①中的结论是否成立？并说明理由．【答案】(1)见解析(2)①45°；②成立，见解析【分析】（1）根据，结合正方形的性质，运用完全平方公式计算证明．（2）①证明是等腰直角三角形，利用角的计算求解即可．②将△ABM绕A点逆时针旋转90°至△ADF，连接FN，证明△MAN【解析】（1）证明：∵边长为8的正方形ABCD，AP=x,AQ=y，∴，∴，∴∴MN=BD−BM−ND=2∵xy=32，∴MN故BM（2）解：①如图1，

连接AE交BD于G点，∵，∴四边形APEQ是正方形，AE平分∠PEQ∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵∠DAB=90°∴；②如图2，①中的结论仍然成立，理由如下：将△ABM绕A点逆时针旋转90°至△ADF，连接FN，∴，DF=BM，∴，∴，∵MN∴MN=NF，∵AM=AFMN=NF∴，∴．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，完全平方公式，三角形全等的判定的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，完全平方公式，三角形全等的判定的性质是解题的关键．题型06：相似三角形在特殊平行四边形中的应用18．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，点F在边AB上，连接DE、EF、DF，DEDE平分∠FDC，过点E作EM⊥DF于(1)求证：DE⊥(2)若G是DF的中点，连接EG、CG，CG交DE于点H．①求证：DE②若CD=6，DF=8，求GH的长．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②【分析】（1）根据已知条件先证明△DEM≌△DEC(HL)，再证明△BEF≌△MEF(HL)，由于∠BEF+∠MEF+∠DEM+∠DEC=180°，则知∠FED=90°（2）①证明△DEF∼△DCE，利用相似三角形各边的比例即可求出结果；②根据①的结果求出，再根据条件求出CG=27，证明△GHE∼△CHD，根据边之间的比例求出GH即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∴EC⊥∵DE平分∠FDC，EM⊥DF，EC⊥∴EM=EC，在Rt△DEM和EM=ECDE=DE∴△DEM∴∠DEM=∵E是BC的中点，∴EB=EC，∴EB=EM，在Rt△BEF和EB=EMEF=EF∴△BEF∴∠BEF=∵∠BEF+∴∠FED=90°∴DE⊥（2）解：①证明：∵，∠DEF=∠∴△DEF∴DFDE∴DE②解：∵DE2=DF⋅DC∴，∵在Rt△DEF中，G是∴EG=1∵，∴EG=GD，∵DE平分∠FDC∴∠GED=∴GE=CD，∴∠CEG=∴CG=G∵GE=CD，∴△GHE∴即4∴GH=【点睛】本题主要考查了角平分线，平行线的性质，以及三角形的全等和相似，题目较为复杂，找到突破点是解题的关键．19．综合与实践问题情境在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形ABCD和正方形AEFG中，点G，A，B在一条直线上，连接DG，（如图1）．

操作发现（1）图1中线段DG和的数量关系是______，位置关系是______．（2）在图1的基础上，将正方形AEFG绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．类比探究（3）如图3，若将图2中的正方形ABCD和正方形AEFG中都变为矩形，且AD=2AB，AG=2AE，请仅就图3的情况探究拓展探索（4）在（3）的条件下，若AD=6，AE=2，矩形AEFG在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出的值．【答案】（1）BE=DG；；（2）成立；理由见解析；（3）DG=2BE；（4）BE=6【分析】（1）延长交DG于点H，证明△AGD≌△AEB，得出BE=DG，∠AEB=∠AGD，求出∠BHG=90°，即可证明结论；（2）延长交DG于点H，交AD于点T，证明△AGD≌△AEB，得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，求出∠DHT=90°，即可证明结论；（3）延长交DG于点H，交AD于点T，证明△ADG∽△ABE，得出DGBE=ADAB（4）分两种情况讨论，当F在线段DE上时，当E在线段DF上时，分别画出图形，根据勾股定理，求出结果即可．【解析】解：（1）延长交DG于点H，如图所示：

∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴，AD=AB，∠EAG=∠∴△AGD∴BE=DG，∠AEB=∵∠ABE+∴∠ABH+∴∠BHG=90°∴．故答案为：BE=DG；．（2）成立；理由如下：延长交DG于点H，交AD于点T，如图所示：

∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴，AD=AB，∠EAG=∠∴∠DAG+∴∠DAG=∴△AGD∴BE=DG，∠ABE=∵∠ABE+∠ATB=90°，∠ATB=∴∠DTH+∴∠DHT=90°∴．故答案为：BE=DG；．（3）延长交DG于点H，交AD于点T，如图所示：

∵四边形ABCD和AEFG都是矩形，∴∠EAG=∴∠DAG+∴∠DAG=∵AD=2AB，∴ADAB∴△ADG∴DGBE即DG=2（4）当F在线段DE上时，如图所示：

∵四边形AEFG为矩形，∴∠AEF=∠GFE=90°，GF=AE=2，EF=AG，∴∠DFG=90°∴DE=A∵AG=2∴EF=22∴DF=DE−EF=22∴DG=D根据解析（3）可知，DG=2∴BE=2当E在线段DF上时，如图所示：

∵四边形AEFG为矩形，∴∠AEF=∠GFE=90°，GF=AE=2，EF=AG=2∴∠AED=90°∴DE=A∴DF=DE+EF=62∴DG=D根据解析（3）可知，DG=2∴BE=2综上分析可知，BE=6或38【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等和三角形相似的判定方法，注意进行分类讨论．20．如图1，矩形ABCD的两条对角线交于点O，点P是BC边上一个动点，连接AP，作DE⊥AP，BF⊥AP，垂足分别是E，F，连接OE，OF．(1)求证：OE=OF；(2)如图2，延长OF交BP于点G，若∠BFG=∠BAP，猜想OG与AD有怎样的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，已知AB=8，AD=10，求EF的值．【答案】(1)详见解析(2)，详见解析(3)EF=【分析】（1）如图所示，延长FO交DE于点Q，根据垂直可证DE∥BF，根据矩形对角线可得BO=DO，可证△BOF≌△DOQ(AAS)，得到点O是FQ的中点，在Rt△EFQ中，（2）∠ABC=90°，∠AFB=90°，及角的和差关系，可得∠FBG=∠BFG，，再根据∠BFP=90°可得GF=GP，点G是BP的中点，在Rt△BFP中，GF=12BP，OE是△ACP的中位线，即点E是（3）如图所示，过点O作OM⊥BC于M，可得OM是中位线，可求出OM,BM,BP,PC,OE,AP的长，再根据OE是△ACP的中位线，OE∥BC，可证△EO