人教B版高中数学必修第一册第三章函数3.1.3函数的奇偶性课件

3．1.3函数的奇偶性【课程标准】结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．教

材

要

点知识点偶、奇函数1．偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．2．奇函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有________，且______________，则称y＝f(x)为奇函数．－x∈Df(－x)＝－f(x)3．奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于________成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于________对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．原点y轴状元随笔奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．基

础

自

测1．(多选)设f(x)是定义在R上的偶函数，下列结论中错误的是(

)A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝0C．f(x)f(－x)＜0D．f(0)＝0答案：ACD解析：由偶函数的定义知f(－x)＝f(x)，所以f(－x)－f(x)＝0正确，f(－x)＋f(x)＝0不一定成立．f(－x)f(x)＝[f(x)]2≥0，f(0)＝0不一定成立．故选ACD.

解析：A，D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．答案：C3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(

)A．－2B．2C．0

D．不能确定解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.答案：B4．下列图象表示的函数是奇函数的是_____，是偶函数的是____．(填序号)解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．(2)(4)(1)(3)题型1函数奇偶性的判断例1.判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝x＋x3＋x5；【解析】

因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.又因为f(－x)＝(－x)＋(－x)3＋(－x)5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋x3＋x5是奇函数．(2)f(x)＝x2＋1；【解析】因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.又因为f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，所以函数f(x)＝x2＋1是偶函数．(3)f(x)＝x＋1；【解析】因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.又因为f(－1)＝0，f(1)＝2，所以f(－1)≠f(1)且f(－1)≠－f(1)，因此函数f(x)＝x＋1既不是偶函数也不是奇函数．(4)f(x)＝x2，x∈[－1，3]；【解析】因为函数的定义域为[－1，3]，而3∈[－1，3]，但－3∉[－1，3]，所以函数f(x)＝x2，x∈[－1，3]既不是奇函数也不是偶函数．(5)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；【解析】因为x∈R，f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

【解析】方法一作出函数图象如图：关于原点对称，所以函数是奇函数．方法二当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，所以f(－x)＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，所以f(－x)＝－f(x)；当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为R上的奇函数．方法归纳函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．跟踪训练1

判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；解析：∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；解析：∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

(5)y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)；解析：F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又因为x∈(－a，a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数．(6)y＝x2，x∈(－1，1].解析：定义域不关于原点对称，非奇非偶．状元随笔先求函数定义域，再根据函数奇偶性定义判断．题型2函数奇偶性的图象特征

[经典例题]例2.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________________．

根据奇函数的图象关于原点对称作图，再求出f(x)＜0的解集．

方法归纳根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．

－1

状元随笔

利用定义法求a，也可利用特值法f(－1)＝－f(1)．

方法归纳由函数的奇偶性求参数应注意两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．

跟踪训练3

(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2，2a]，则a＝____________，b＝____________；

0

解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x2－bx，f(x)＝－f(－x)＝x2＋bx，即ax2－2x＝x2＋bx，解得a＝1，b＝－2，可验证当x<0时，对a＝1，b＝－2，也有f(x)＝－f(－x)，故f(a＋b)＝f(－1)＝1.

题型4函数的奇偶性和单调性的综合应用

[经典例题]例4.(1)(多选)已知函数f(x)是偶函数，f(x＋1)为奇函数，并且当x∈[1，2]时，f(x)＝1－|x－2|，则下列选项正确的是(

)A．f(x)在(－3，－2)上为减函数

B．f(x)在(－3，－2)上f(x)<0C．f(x)在(－3，－2)上为增函数

D．f(x)在(－3，－2)上f(x)>0【答案】

CD

【解析】因为函数f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)关于点(1，0)对称，则f(－x)＋f(2＋x)＝0，函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，于是，f(x)＋f(2＋x)＝0，用x＋2替换x，可得f(x＋2)＋f(4＋x)＝0，所以f(x＋4)＝f(x).当x∈[1，2]，f(x)＝1－|x－2|＝x－1；当x∈(－3，－2)时，f(x)＝f(x＋4)＝(x＋4)－1＝x＋3>0，所以f(x)在(－3，－2)上为增函数，且f(x)>0.故选CD.(2)已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1，1)，在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)＜0.

状元随笔1.由奇函数得f(－x)＝－f(x)．2．函数单调递减，若f(x1)＜f(x2)得x1＞x2.3．定义域易忽略．

方法归纳1．函数奇偶性和单调性的关系(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．跟踪训练4

(1)如果奇函数f(x)在区间[1，5]上单调递减，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是(

)A．单调递增且最小值为3B．单调递增且最大值为3C．单调递减且最小值为－3D．单调递减且最大值为－3答案：D

解析：当－5≤x≤－1时，1≤－x≤5，所以f(－x)≥3，即－f(x)≥3，从而f(x)≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[－5，－1]上单调递减．(2)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)＜0，求实数a的取值范围；

(3)定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．

状元随笔(2)可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系，再利用单调性转化为自变量的关系．(3)两个自变量1－m，m不一定属于同一单调区间，可考虑用绝对值表示来处理．题型5利用函数的奇偶性求解析式

[逻辑推理]例5.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式．

方法归纳利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．跟踪训练5

设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．

解析：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.

①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2得f(x)＝x2.(①－②)÷2得g(x)＝2x.

答案：AD

2．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时f(x)＝－x2－2x，则(

)A．f(x)的最大值为1B．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减C．f(x)≥0的解集为[－2，2]D．当x>0时，f(x)＝x2－2x答案：ABC

答案：A2．(5分)已知f(x)是定义在[m－5，1－2m]上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(m)＝(

)A．－8B．8

C．－24D．24解析：由奇函数的对称性可知，m－5＋1－2m＝0，∴m＝－4，∵x≥0时，f(x)＝x2－2x，f(x)是奇函数，∴f(m)＝f(－4)＝－f(4)＝－(42－2×4)＝－8.故选A.答案：A3．(5分)偶函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则(

)A．f(1)＞f(3)B．f(1)＜f(3)C．f(1)＝f(3)D．不能确定f(1)与f(3)的大小答案：B解析：方法一因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图象如图，由图象可知f(1)<f(3)．方法二由图象可知f(－1)<f(－3)．又函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，故f(1)<f(3)．

答案：A

(－∞，－2)(－2，0)(0，2)(2，＋∞)x－－＋＋f(x)－＋－＋＋－－＋二、填空题(每小题5分，共15分)5．(5分)已知奇函数f(x)是定义在(－1，1)上的减函数，则不等式f(1－x)＋f(1－3x)＜0的解集为________．

6．(5分)已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b

是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＋b＝________，单调递减区间是________．

7．(5分)给出下列结论：①若f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)是偶函数；②若f(x)是偶函数，则它的定义域关于原点对称；③若f(－2)＝f(2)，则f(x)(x∈R)是偶函数；④若f(x)(x∈R)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；⑤若f(2)≠f(－2)，则f(x)(x∈R)不是偶函数；⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)；⑦若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.其中正确的结论是______