重庆市字水中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（II卷）（含解析）

重庆市字水中学2024-2025学年上期高2026届期中考试数学试卷（试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22~23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上､超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.一､单选题：（本大题共8小题，每个小题5分，共40分）1.如图中的直线的斜率分别为，则（）A.B.C.D.2.已知，且，则（）A.B.C.D.3.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为（）A.B.C.D.5.已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定6.已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（）A.B.2C.6D.7.已知圆，则这两圆的公共弦长为（）A.4B.C.2D.18.已知椭圆的两个焦点为是椭圆上一点，若，则该椭圆的方程是（）A.B.C.D.二､多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分.有错得0分，部分选对得部分）9.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长､短轴长､焦距分别为，则（）A.B.C.D.10.已知直线和圆，则（）A.直线恒过定点B.存在k使得直线与直线垂直C.直线与圆相交D.若，直线被圆截得的弦长为411.如图，在正三棱柱中，，D为棱上的动点，则（）A.三棱锥的外接球的最大半径为B.存在点，使得平面平面C.到平面的最大距离为D.面积的最大值为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.如图，平行六面体中，，则__________.13.已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则__________.14.已知直线与直线相交于点A，点是圆上的动点，则的最大值为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且.（1）求直线和直线的交点坐标；（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程.16.（15分）如图甲，在梯形中，，过点作且，将梯形沿折叠得到图乙.折叠后，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.17.（15分）已知点，动点满足.（1）若点的轨迹为曲线，求此曲线的方程；（2）若点在直线上，直线经过点且与曲线只有一个公共点，求的最小值.18.（17分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为2的菱形，是等腰直角三角形，，平面平面，点分别是的中点.（1）证明：；（2）设平面与直线的延长线交于点，求直线与平面所成角的正弦值.19.（17分）已知过点的直线与圆相交于两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点.（1）当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心；（2）当弦长时，求直线的方程；（3）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由.重庆市字水中学2024-2025学年上期高2026届期中考试数学试卷一､单选题：（本大题共8小题，每个小题5分，共40分）1.答案D解析直线的倾斜角是钝角，故，直线与的倾斜角与均为锐角且，所以，因此，故选D.2.解：因为，所以，，因为，所以，解得：，故选：B.3.答案A解析若两直线平行，则，即，或，故是两直线平行的充分不必要条件.4.【答案】C解：因为，所以三角形是等边三角形，取的中点，以点为原点，建立空间直角坐标系如图：设，则，所以，所以异面直线和所成角的余弦值为，故选：C.5.答案B解析因为在圆外，所以，而圆心到直线的距离.所以直线与圆相交.6.【答案】B解：由题可知点到平面的距离即为在的投影，，，在的投影为.故选：B.7.【答案】C【解析】由题意知，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.故选C.8.答案C解析设，椭圆的方程是.二､多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分.有错得0分，部分选对得部分）9.答案ABD解析由题意可知，可得，所以A正确；，所以B正确；可得.则.则.所以D正确.故选ABD.10.【答案】BC【解析】对于A､C，由，得，令，解得，所以直线恒过定点，故A错误；因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线1与圆0相交，故C正确；对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线1被圆0截得的弦长为，故D错误.故选BC.11.【答案】BCD解：当与重合时，三棱锥的外接球的半径最大，如图，找到球心及球心在底面上的投影，则，设三角形的外接圆半径为，由正弦定理得：，解得：，故，A错误；当点为中点时，平面平面，理由如下：连接与相交于点，连接，则根据勾股定理：，其中为与的中点，所以由三线合一得：，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，B正确；取中点中点，连接，则两两垂直，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设，则设平面的法向量为，由，令得：，故，设到平面的距离为，则，当时，取得最大值，为，C正确；，设点到直线的距离为，则因为，所以当或0时，取得最大值，最大值为，此时，面积为，D正确.故选：BCD三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.【答案】解：因为，所以，所以.13.解：由圆，可知该圆的圆心坐标为，半径为2，因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在直线上，所以有，因为过点向圆作切线，切点为，所以所以，14.【答案】【解析】因为直线恒过定点，直线恒过定点，且，所以两直线的交点A在以为直径的圆上，且圆的方程为，要求的最大值，转化为在上找上一点A，在上找一点，使最大，根据题意可知两圆的圆心距为，所以的最大值为.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为直线的方程为，所以，因为，所以，又直线在轴上的截距为，所以过，即直线，即：直线.联立，即交点为（2）当直线过原点时，设直线，因为直线过，所以，即，直线.当直线不过原点时，设直线在轴截距为.直线，因为直线过，所以，解得，综上或.16.解：（1）证明：取的中点，连接，因为点是的中点，所以，又，过点作且，所以，，所以，所以四边形BCGE是平行四边形，所以，又面面，所以面.（2）解：取的中点，连接，因为，所以面，又，所以面，又，所以是正三角形，，所以以为坐标原点，所在的直线为轴，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，从而，.设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得.设平面与平面所成的锐二面角为，故，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.17.直线经过点且与曲线只有一个公共点，求的最小值.解（1）设点的坐标为，则，化简可得，此方程即为所求.（2）曲线是以点为圆心，4为半径的圆，如图所示.由题意知直线是此圆的切线，连接，则，当最小时，最小，此时，则的最小值为.18.（1）证明：如图，取的中点，连接.四边形是边长为2的菱形，，是等边三角形，又是的中点，.平面平面，且平面平面，上面，面.是等腰直角三角形，且为的中点，，且，又平面，平面.（2）解：延长与相交于点，以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，点是面与直线的延长线的交点，，点是的中点，，，，，，，设平面的法向量为，则解得，.故直线与平面所成角的正弦值为.19.【解析】（1）解：直线与直线垂直，且.故直线方程为，即.圆心为，且，故当直线与直线垂直时，直线经