2024-2025学年广西高三（上）调研数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年广西名校高三（上）调研数学试卷（9月份）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设集合4={1,2a+1},B={3,a-1,3a-2},若4=B,贝b=（）

A.-2B.-1C.1D.3

2.若复数z是方程%2一4%+5=0的一个根，则团=（）

A.3B.73C.5D.近

3.在平行四边形中，AB=3,AD=四,乙4=45。,DE=2EC,贝।麻.战=()

3

A.1B.|C.2D.3

4.已知sin(g+a)=3s讥d—a),则cos2a=()

44

4334

A--5B-5C5D5

5.设等比数列｛斯｝的前ri项和为%，a2+a5=I，a3+a6-则=()

A.苧B.63C.尹D.31

4Z

1

e+2

-4---3

6.已矢口Qeog=log52,则a,b,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

7.已知点P在抛物线M：y2=4x±,过点P作圆C：（X-2）2+y2=i的切线，若切线长为2，7,则点P到

M的准线的距离为（）

A.5B.<29C.6D.\A30

8.根据公式sin3a=3sina—4sin3a,sinl。。的值所在的区间是（）

11111111

A・G，d)B.(肃)C.(-a)D,(-,-)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表：

月份t12345

销量y（万辆）11.712.413.813.214.6

根据上表的数据，下列说法正确的是（）

A.销量的极差为3.6B.销量的平均数为13.5

C.销量的第40百分位数为13.8D.销量的中位数为13.2

10.已知函数/(X)=COS(3X-，)(3>0),则下列说法中正确的是()

A.当3=2时，-兀是f(x)的一个周期

B.将f(x)的图象向右平移着个单位后，得到函数g(x)的图象，若或久)是奇函数，则3的最小值为2

C.若存在孙冷e［-］,月014久2)，使得/01)=f3)=W，则3的取值范围是［10,+8)

oO(A)L

D.存在3,使得f(x)在［-也刍上单调递减

11.已知双曲线C：/一［=1的左、右焦点分别为6、F2,过点尸2且倾斜角为a的直线/与双曲线的右支交

于4、B两点(力在第一象限)，则下列说法中正确的是()

A.双曲线C的虚轴长为，G

n7T.,2兀

B.§<aV—

C.△力的周长的最小值为16

D.当tana=-相时，△伤心的内切圆面积为:

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数/(久)=sin2x+3x+L且/(a)=4,则/(-a)=.

13.将一个底面半径为2,高为门的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为.

14.已知有4,B两个盒子，其中4盒中有3个黑球和3个白球，B盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外

完全相同.甲从力盒，乙从B盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入力盒

中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入8盒中.按上述方法重复操作两次后，2盒中有8个

球的概率是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

记△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,已知4s=，3(炉—a?-c2).

(1)求NB的大小；

(2)若E是4C的中点，S.AB1BE,求BE.

16.(本小题15分)

某高新技术企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件组装而成，这三个电子元件在生产过程中的

次品率均为9.组装过程中不会造成电子元件的损坏，当且仅当三个电子元件都不是次品时，产品能正常工

O

作，否则该产品为次品.

(1)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为X,求X的分布列和期望；

(2)设4="任取一件产品为次品”，B="该产品仅有一个电子元件是次品”，求P(B|4)；

(3)安排质检员对这批产品进行逐一检查，确保没有次品流入市场.现有两种方案，

方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；

方案二：安排一个质检员检测成品，若发现次品，则进行电子元件的更换，保证产品能正常工作.更换电子

元件的费用为15元/个.

已知每位质检员的月工资为3000元，该企业每月生产该产品800件，请从企业获益的角度考虑，应该选择

哪种方案？

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBD1底面4BCD,PB=PD=2,底面4BCD是边长为，2的正方形.

(1)求证：PA=PC；

(2)E是棱24上一点，若4C与平面BDE所成角为60。，求四棱锥E—ABCD的体积.

18.(本小题17分)

椭圆冬+/=l(a>b>0)的离心率为宇过点P(a,b)的直线Z与椭圆E交于M,N两点.当直线1过坐

标原点。时，\MN\=2".

(1)求椭圆E的方程.

(2)设48分别是椭圆E的右顶点和上顶点，过点M作x轴的平行线分别与直线4B,N8交于C,。两点.试探

究D,C,M三点的横坐标是否构成等差数列，并说明理由.

19.(本小题17分)

已知函数/'(x)=Inx+2-l(aGR),且无轴是曲线y=f(x)的切线，

(1)求/(x)的最小值；

111

(2)证明：率+市+…+万〈仇25EN*)；

⑶设尸(%)=券一m》—zn/(g)(ni>2),F(l)=F(n)(n>1),证明：对任意工€(1,九］,(m-l)/nx>x-

1.

参考答案

1.C

2.0

3.2

4.C

5.C

6.A

7.C

8.F

9.4B

1Q.ABC

11.BCD

12.-2

13.12兀

14”

70

15.解:(1)由4s=6(/_。2-2),

可得4x|acsinB=V_3(/?2—a2—c2),

由余弦定理，可得sinB=-4~3COSB,

即力cm3=-V-3,又BE(0,7i),

所以"手

(2)因为ABIBE,所以Z718E=90。，NEBC=30。，

因为E是4C中点，所以SA"E=SABEC，

即9c•BE=卜a•BE-s出30°,即a=2c,

代入炉=a2+c2-2accosB,B=y-,b=y/~7,

解得c=1,所以BE=VAE2-AB2=亨.

16.解：(1)根据题意可得X的所有可能取值为0,1,2,3,

易知P(X=0)=(1—=需，p(x=I)=程(1—$2X上=P(X=2)=C^l-i)1X2=21

-512’

P(X=3)=(款=为

所以X的分布列如下:

X0123

343147211

p

512512512512

1923

可得期望值为E(X)=0x+1x+2x+3x=

5128

,,2421AQ147

(2)由(1)可知PQ4)=1一号|=贵，P(XB)=

147

则P(B|A)=^=遥147

169；

V}512

(3)若采用方案一，则每月支出总费用为匕=3x3000=9000元,

若采用方案二,

由(1)可知平均每个产品需更换的电子元件个数E(X)

则每月生产的800件产品平均需更换800E(X)=300个，

每月更换电子元件的总费用为300x15=4500元，

则每月支出总费用为％=1x3000+4500=7500元；

显然匕<匕，

所以从企业获益的角度考虑，应该选择方案二.

17.(1)证明：设4C与BD相交于点。，连接OP,

因为底面4BCD是边长为，2的正方形，

所以2C1BD,且点。既是4C的中点，也是8。的中点，

又平面PBD1底面ABCD,^PBDO^ABCD=BD,ACu平面

ABCD,

所以AC1平面PBD,

因为。Pu平面P8D,所以AC1OP,

又点。是AC的中点，

所以P4=PC.

(2)解：因为PB=PD,。是BD的中点，所以BD1OP,

结合(1)可得，。4,OB,OP两两垂直，

故以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则1(1,0,0),C(—1,0,0),5(0,1,0),D(0,-l,0),P(0,0,C),

所以方=(2,0,0)，DB=(0,2,0),PA=(1,0,-73).

设而=APA=(A,0,-73A).AG[0,1],

则屁=DP+PE(0,1,<3)+(A,0,-73A)=(4,1,<3-,

设平面BDE的法向量为元=(x,y,z),贝©,丝=2"°「l，

(n-DEAx+y+(/3-<3A)z=0

取X=6(4—1)，则y=0，z=A,所以元=(6(4-1),0,4)，

因为AC与平面BOE所成角为60。，

一、.\CA-n\2/3(l-A).,no731

>==

所以ms(瓦"I=WW2XJ3X)W=力解得"4

所以两=：可，

所以四棱锥E-ABCD的体积U="PTBCD=|x|xOPxS正方形的。=’x守x门X(加=今

18.解：(1)由题意得e=£=]1-：=竿,所以"争，

当过点P(a,b)的直线/过坐标原点。时，直线斜率为2=

则此时直线，的方程为y=1x,设直线/与椭圆E交点MQo，yo)，

不妨取沏>°，贝1JN(fo,-%))，且犯=30①，

因为|MN|=2=,所以据+犬=5②，

由①②可得%o=苧，>0=苧，”(当，苧)，

f2_J_

所明产+12b2=1，解得「二：,

la=3

”2

故椭圆E的方程为卷+f=1.

(2)D,C,M三点的横坐标构成等差数列，理由如下：

不妨设直线MN的方程为x=my+n,M。[％),N(x2,y2)(y1Hl,y2丰1),

因为直线MN经过点P(3,l),所以zn+九=3,

x=my+n

2

x2入，消去工并整理得（血2+9）y2+2nmy+九2-9=0,

{y+y-1

—2mmn2-9

由韦达定理得yi+y=

27n2+9'丫1丫27n2+9,

所以急+/=畸需早

2my1y2^-(n—rri)(<y1+y2)—2n

，1及一(%+丫2)+1

rn^—9,z-、—2mn

2m•—、F(n—m)•—□n2n

-mz+9mz+9

n^—9—2mn।

7712+9m2+9

_—18(m+n)_久

—2-=-b，

(m+n)

因为B,D,N三点共线，所以上=鼻,

y2T力-i

y「i=以一力_OT=i,

XQ孙一%B3—03

即已+/=一6卷=2•己,

则第1+xD=2xc,

故Q,C,M三点的横坐标成等差数列.

19.(1)解：由/(%)=m%+2-1(。eR)得广(x)=(一黄，

因切线方程为y=0,令/'(")=：—/=。，得％=。，故可知切点为(a0)，

所以/(。)=Ina+——1=0,得Q=1,

故/(%)=.%+：-1,r(%)=)一>=妥，

当%e(0,1)时，f(x)<o,/(%)在区间(0,1)上单调递减，

当工£(1,+8)时，/(%)>0,/(%)在区间(1,+8)上单调递增，

故/(%)的最小值为/(I)=0.

(2)证明：由(1)可知/(%)=)％+§—1之0,故"％之三士故ln(x+l)N*^

1

令x=，，neN*,则1叫+1)2点=击，即In(军)2击，即ln(n+1)一"n2击，

n

111

故+n+i++石<ln(n+1)—Inn+ln(n+2)—ln(n+1)4----Fln(n+n)—ln(n+n—1),

即:T---zH—+<ln(2